最新1994考研数三真题及解析

1、学习-好资料1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）2 X 十 x|，厂*.已知f (x)Xf (xo - 2x) - f(X。- X) 设方程ex，+ y2 =cos x确定y为x的函数，则 * =.dx0a0L00a2L设A =MMM000Lan00L0 10M ,其中q H0,i =1,2丄，n,则Aan0（5）设随机变量X的概率密度为"2x,0 c x c 1,(x0,其他,以Y表示对X的三次独立重复观察中事件X _丄 出现的次数，则=I 2J二、选择题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小

2、题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(1)1 2ex2 arctan(x 1)(x_2)的渐近线有(A) 1 条 (B) 2条()条(D) 4(C) 3设常数0,而级数V a2收敛，则级数（-1）nn =1n =1an（A） 发散 （B）条件收敛（C）绝对收敛（D） 收敛性与有关更多精品文档 设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r ,矩阵B = AC的秩为r,则(A) r *(B)r :r1(D)r与ri的关系由C而定设 0 cP(A) <1,0 cP(B) c1,P(A B) + P(AB) =1,则(A)事件A和B互不相容(C)

3、事件A和B互不独立(B)(D)事件A和B相互对立事件A和B相互独立设Xi,X2丄,Xn是来自正态总体N (丄,二)的简单随机样本,X是样本均值，记2 1 nS2r (Xin -1 ij2 1 n s2-(Xin-1 y-X)2,)2,2 i nS； j (Xin i 二2 1 ns： (Xin y-X)2,-J)2,则服从自由度为n -1的t分布的随机变量是(A) tX - 1Si一 n -1(B)S2n -1(C) t(D)tS4、n(本题满分6分)计算二重积分 11 (x y)dxdy,其中 D - ' (x, y) x2 y2 _x y 1.D四、(本题满分5分)设函数y =y(

4、x)满足条件丄y4y 4y = 0,.y(0) =2,y(0) 4,求广义积分-bo0 y( x)dx .;:x.:y五、(本题满分5分)已知f(x, y)=x2arctan y2arctan ,求xy六、(本题满分5分)设函数 f(x)可导，且 f(0) =0,F(x)二；tn4f(Xn -tn)dt,求 IJm開.七、(本题满分8分)已知曲线y=a、, x(a 0)与曲线y =ln、兴在点(x0, y0)处有公共切线，求:(1)常数a及切点(x0,y0)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.八、(本题满分6分)假设f(x)在a, ：)上连续，厂(x)在a, :内

5、存在且大于零，记F(x)(x)-叫 a),x a证明F (x)在a,亠i内单调增加.九、(本题满分11分)设线性方程组"丄丄 23Xi+aiX2+ai X3=ai,23Xi +a?X2 +a?X3 =a2,丄丄 23Xi +a3X2 +83X3 =a3,丄丄 23吾 +a4x2 +a4x3 =a4.(i)证明：若ai.a2.a3.a4两两不相等，则此线性方程组无解;,其中 设aak.aa -k(k =0),且已知+,空是该方程组的两个解写出此方程组的通解 十、(本题满分8分)0 0 i设A = x i y有三个线性无关的特征向量 ，求X和y应满足的条件i 0 0 一(本题满分8分)假

6、设随机变量 Xi,X2, X3,X4相互独立，且同分布PXj =0 ；=0.6,卩訣=i ；=0.4(i =i,2,3,4),求行列式x = XiX3X2的概率分布X4十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布 N（1）,内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损已知销 售利润T（单位：元）与销售零件的内径 X有如下关系：-1, X <10,T =二20,10 EX 乞12,-5, X 12.问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？学习-好资料1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一

7、、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】In 3【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数时，积分为0；被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知X2X22 x"o/x更多精品文档2f?dx22【解析】根据导数的定义，有f(Xo) = l.im。所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式Iim f (Xo -2x) - f (Xo -x)7Xf(Xo -2x) - f (Xo) - f (Xo -x) f (Xo) =limx )of(Xo：X) f (Xo)LX，从而求得极限值.由于X«2)IXmof(Xo2

8、X(Xo) Xm/ExTg-2x-X= -2f (Xo) f (Xo)=1.2=ln (2 +x )o =ln 6In 2 = l n 3.【答案】1x1所以 原式二lim-二1.T f(Xo 2X) f(X。X) 1【答案】yexy sin xxexy 2y【解析】将方程exy y2二cosx看成关于x的恒等式，即y看作x的函数. 方程两边对x求导，得xyxyye sin xe (y xy ) 2yy - -sinx= yXTxe +2y【相关知识点】两函数乘积的求导公式：f(x) g(x)l 二 f (x) g(x) f(x) g (x).【答案】aia2IIIIIIIIIIIIan【解析

9、】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式Af0a132an所以，本题对A分块后可得9【答案】旦64【解析】已知随机变量1aia232anIIIIIIIIIIIIanX的概率密度，所以概率P X丄12 2xdx =04,求得二项分布的概率参数后，故Y B©,1).4由二项分布的概率计算公式，所求概率为p1y»c23唁【相关知识点】二项分布的概率计算公式:若 Y、B( n,p),则 pfY 二 k.；=C：pk (仁 p)nJs,k =0,1川，n,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题由于lim ex arctanx

10、 L :2x2x 1(X 1)(x_2)1arcta n(-们刮- n2(第一个不等式是由a _0,b _0,ab iU(a22b2)得到的.)又、 a2收敛，2收敛,(此为p级数:n#n#2 n2二丄当p .1时收敛；当P1时发散.) nd np所以an2 n壬2oO收敛，由比较判别法，得Vn =1(T)n|an|收敛., n故y蔦为该曲线的一条水平渐近线2x2x 1(X 1)(x-2)故X = 0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条 故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim f (x)二a ,则y = a为水平渐近线;铅直渐近线：若有lim f (x)=：,则x

11、 =a为铅直渐近线；x )af (x)斜渐近线：若有 a= lim ,b =lim f (x)-ax存在且不为二,则y=ax，b为斜渐X ；： x x :-近线.【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数因12 1 1 1 2 1亠?an 2 n2 ？an "2n故原级数绝对收敛，因此选(C).【答案】(C)【解析】由公式r(AB)乞min(r(A), r(B),若A可逆,则r(AB) Er(B) =r(EB) =rA(AB)乞 r(AB).从而r( AB)二r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以选(C).学习-好资料【答案】(D)【解析】事实上，当0 ： P(B) ：:

12、1时，P(A| B) =P(A|B)是事件A与B独立的充分必要条件,证明如下：若 P(A| B)二 P(A|B),则P(B) _1 _P(B)P(AB) _P(B)P(AB) = P(B)P(AB),P(AB)二 P(B) P(AB) P(AB)二 P(B)P(A),由独立的定义，即得A与B相互独立.若A与B相互独立，直接应用乘法公式可以证明P(A| BP(A| B).P(A| B) =1 - P(A| B) = P(A|B).由于事件B的发生与否不影响事件 A发生的概率，直观上可以判断 A和B相互独立 所以本题选(D).【答案】(B)【解析】由于X1lX2LXn均服从正态分布N(*；2),根

13、据抽样分布知识与t分布的应 用模式可知其中XXi ,n y2更多精品文档-X)L 2(n-1),L t(n-1).因为t分布的典型模式是：设xL|N(0,1),yL 2( n),且X,Y相互独立，则随机变量X T服从自由度为n的t分布，记作TL|t(n).Y/n因此应选(B).三、(本题满分6分)(1 2(2 3【解析】方法1:由x2 yx y 1,配完全方得i xy.学习-好资料= rsinr,引入极坐标系(rj),则区域为人ii令 x rcosy-22= g(r,日)0兰日兰2兀，0兰r <(x y)dxdy 二d02(iDr cost r sin R rdr1 +23 ： (COS

14、T sinr)dr3 . . 2 二 3(sin 日cos日 j0 =尹方法2：由x2 ySiix y i,配完全方得 y_i 泡2引入坐标轴平移变换：u-X-1 v =2，y 一 ,则在新的直角坐标系中区域D变为圆域2Di W(u,v)| u2 v2.2而x y =u v 1,则有dxdy = dudv，代入即得i i(x y)dxdy 二 (u v 1)dudv二 ududv亠 i ivdudv亠 i idudv.DiD1DiDi由于区域D1关于v轴对称，被积函数u是奇函数，从而11 ududv = 0.Di同理可得iivdudv =0,又Di“3I7dudv = D<i = 兀，2

15、Di更多精品文档故 ii(x y)dxdy四、(本题满分5分)【解析】先解出 y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解.方程y ； 4y ' 4y = 0的特征方程为 2 -二0 ,解得 - '2 - -2 .故原方程的通解为 y = (Ci C2X)e ".由初始条件 y(0) =2, y(0) - -4 得 Ci =2,C2=0,因此，微分方程的特解为y = 2 e-x.再求积分即得Fy(x)dx = J2rxdxb 2x2x b=lim (2x )= lim ex =1.【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程y ： py qy =

16、 0 :首先写出方程 、 py ' qy =0的特征方程：r2 pr q = 0 ,在复数域内解出两个特 征根, r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根rnr2,则通解为y二Ge1 (2) 两个相等的实数根r, =r2,则通解为y二G C2x erxi;(3) 对共轭复根 ri,2=a±iP,则通解为 y (G cosPx + C2 sinPx).其中Ci,C2为常数五、(本题满分5分)【解析】由复合函数求导法fy2xarcta n :xx,首先求,由题设可得ex22y=2xarcta n x23x y y 2xarctany y22 - 22 一 2x arctan

17、y x y x yx再对y求偏导数即得-2 C2 2 22x 1, 2x , x - y- _ _ 1二 2 2_ 1 二 2 2 .xy1 y x xy xy1 x【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u 二(x, y), v=(x, y)都在点(x, y)具有对x及对y的偏导数，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f( (x, y)(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在,且有；zZ ；:uZ : vuv .+=f十2 -jx；:u；x:v ；x；x:x；:z:u:z .:v一u_v+f1f2 -ju.:v ：yjy；：y六、(本题满分

18、5分)【解析】运用换元法,令xn -tu,则X 11 xnF(x) =-tn)dt 二 n 0 f(u)du=F (x) =xnf(xn).由于lim F(2x)为“ 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达 x 0 X 0法则，可得F(x)2nF(x)2n x2n'n J n、x f(x )2n2nx1x 2n x)0x - 0lim2n x 01由导数的定义，有 原式 f (0). 2n【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：丨(t)若 F(t)二'f (x)dx, ： (t), -(t)均一阶可导，则at)F 八 f f(t)L七、(本题满分8分)

19、【解析】利用(x°,y°)在两条曲线上及两曲线在(x°,y°)处切线斜率相等列出三个方程，由此,b 2可求出a,x°,y°,然后利用旋转体体积公式二.f (x)dx求出乂.a(1)过曲线上已知点(x°, y°)的切线方程为y - y° =k(x-x°),其中，当y(x)存在时，k = y(X。).由 y = ajx 知 y" = 由 y = l nj 知,=丄24x2x由于两曲线在(x°, y°)处有公共切线a,可见2jx°1議，得x°12 .

20、a八、(本题满分6分)【解析】方法1:l ”、 f (x)(x a) - f (x) +f (a)1F (x)2_2 f (x)(x-a)- f(x) f (a)(x-a)x-a令(x)二 f (x)(xa)f (x) f (a)(xa),由(x)二 f (x)(x-a) f (x)-f (x) =(x-a) f (x)0(x a),知(x)在a,= 上单调上升，于是：(x) :(a) =0 故F (x)二一(x)70.(x-a)所以F(x)在a,：内单调增加.方法2:F(x)(x)(xa)f2x)-f(a) 11f (x)-f(x) f(a).转一周所得的旋转体体积为:a2I 1八丿X-ax

21、-a.x-a由拉格朗日中值定理知一()二f)，(a ：< x).x a1将Xo2分别代入两曲线方程a=In于是112a, xo2 二 e，ea从而切点为(e2,1).(2)将曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式，可得旋转体体积为e2 ieVx =兀 J。 (一Vx)2dx兀 £ (In >/x)2dx =e: 2e2e In2xdx4 1兀 2兀2e2e2兀2jie -一一 .ix In x1 -2 In xdx=ex24 11 J122y = f (x)、e2JI=i 2【相关知识点】由连续曲线直线x = a,x = b及x轴所围成的曲边梯

22、形绕 x轴旋f 2(x)dx.1匕于是有F (x) f (x) - f ().x-a由f (x)0知f (x)在a,：上单调增,从而f (x) f (),故F (x)0 .于是F(x)在a, ：内单调增加.【相关知识点】1.分式求导数公式：- - u v；uv2丿 v22.拉格朗日中值定理：如果函数f (x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点( ' :：: b),使等式f (b)_ f(a)二f ( J(b _a)成立.九、(本题满分11分)【解析】 因为增广矩阵 A的行列式是范德蒙行列式 2,228344两两不相等,贝U有A = (a2 a) a

23、3 ai)( a4 ai)( a3 a2 )( a4 a2)(a4 a3)式 0 ,故 r(A) =4.而系数矩阵 A的秩r(A)=3,所以方程组无解(2)当 a, = a3 = k, a2 = a4 - -k(k =0)时，方程组同解于|x, kx2 k2x3 二 k3,x, - kx2 k2x3 二-k3.,1 k因为=2k 式0,知 r(A) = r(A) =2 .1-k由n-r(A) =3-2=1,知导出组Ax=0的基础解系含有 1个解向量，即解空间的维数 为1.由解的结构和解的性质是Ax = 0的基础解系于是方程组的通解为-nr-2i1+ k0J 一2 J,其中k为任意常数【相关知识

24、点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵，线性方程组 Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AP.A%的秩,即r(A)=r(A).(或者说,b可由A的列向量r2ln线表出,亦 等同于12l(n与：1,2l(n,b是等价向量组)设A是m n矩阵,线性方程组Ax=b,则(1)有唯一解r( A) = r(A) = n.(2)有无穷多解r( A) = r(A) ： n.(3)无解r(A) 1 二 r(A).b不能由A的列向量:1,2,|l（Cn线表出2. 解的结构：若冷、2是对应齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系，知Ax = b的通解形 式为ki 1 *2 2，其中1

25、, 2是Ax=o的基础解系是Ax = b的一个特解.3. 解的性质：如果1, 2是Ax=o的两个解，则其线性组合 ki 1 k2 2仍是Ax = o的解；如果是Ax=b的一个解，是Ax=0的一个解，则； 仍是Ax=b的解十、（本题满分8分）【解析】由 A的特征方程，按照第二列展开，有2-1)2( 1)=0,&0丸 E A = x丸一1-10得到A的特征值为 2 =1，3 _ -1.由题设有三个线性无关的特征向量，因此=1必有两个线性无关的特征向量从而r（E -A） =1.这样才能保证方程组（E -A）X =0解空间的维数是2， 即有两个线性无关的解向量 .由初等行变换，将E-A第一行加到第三行上，第一行乘以x后加到第二行上有-'1 0 -11 0 -1 1E A =_x