第二章各向异性弹性力学

1、精选课件精选课件l差别在于差别在于: :本构方程本构方程l其它平衡方程其它平衡方程, ,几何方程几何方程, ,协调方程协调方程, ,和边界条和边界条件等则完全相同件等则完全相同. .l即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律, ,这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂. .精选课件单元体应力及正负号规定单元体应力及正负号规定如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的正向正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应则应力分量为正。当两个下标中

2、力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴只有一个指向坐标轴的正向时的正向时,该应力分量就为负该应力分量就为负.yyyzyxyzyxyx作用在y面上的正应力作用在y面内x方向的剪应力z精选课件220()xyxxzuXxyzt220()xyyyzvYxyzt220()zyxzxwZxyzt静力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元体的体积力力要平衡！力要平衡！精选课件xuxyvyzwzzywvyzzxwuxzyxuvyx变形要协调！变形要协调！三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！亦可以描述变形，它们之间满足以下关

3、系！精选课件反映出材料反映出材料的性质！的性质！6, xyzyzxzyx个应变分量,6, xyzyzxzyx个应力分量,与与之间的关系之间的关系精选课件l与各向同性弹性力学一样与各向同性弹性力学一样, ,各向异性弹性各向异性弹性力学有力学有1515个未知量个未知量3个位移分量,u,v,w6, xyzyzxzyx个应变分量,6, xyzyzxzyx个应力分量,l1515个场方程个场方程静力平衡方程（静力平衡方程（3 3）几何关系（）几何关系（6 6）本构方程（）本构方程（6 6）可以求解了吗？可以求解了吗？精选课件,xxyxzyxyyzzxzyzlmnXlmnYlmnZ已知已知已知定解还需边界条

4、件！定解还需边界条件！精选课件,uuvvww已知已知已知精选课件l与各向同性弹性力学一样与各向同性弹性力学一样, ,各向异性弹性各向异性弹性力学有力学有1212个未知量个未知量6, xyzyzxzyx个应变分量,6, xyzyzxzyx个应力分量,3个位移分量,u,v,wl1212个场方程个场方程静力平衡方程（静力平衡方程（3 3）几何关系（）几何关系（6 6）本构方程（）本构方程（6 6）变形协调方程（变形协调方程（3 3）精选课件22222yxyxyxx y 22222yzyzzyz y 22222xzxzxzz x 2()2xyyzxzxxyzxz y 2()2xyzyyxzyzxyz

5、x 2()2zyxyzxzzxyzy x 只有三个是独立的，为什么？只有三个是独立的，为什么？精选课件l以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方面构成各向异性弹性力学的基本方程,与各向同性弹性力学的区别在于物理方程.其它均相同精选课件 弹性介质的本构关系弹性介质的本构关系 均质弹性体的弹性性质均质弹性体的弹性性质 坐标转换坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式应力应变及弹性系数转轴公式) 弹性对称性弹性对称性本构关系的简化本构关系的简化 正交异性材料弹性常数的物理意义正交异性材料弹性常数的物理意义精选课件2.1.1 2.1.1 弹性介质的本构关系弹性介质的本构关系 :LijijklklLijij

6、klklM, , ,1,2,3i j k l :M 规定下标规定下标i，j与一维指标对应如下次序：与一维指标对应如下次序：316222333234325111137128219(21) 则（则（2 21 1） 的两式可以写成的两式可以写成矩阵乘法矩阵乘法的形式，第一式的形式，第一式可以写作可以写作 精选课件1111111122113311231132113111131112112122221122222233222322322231221322122221333311332233333323333233313313331233212323112323231131221LLLLLLLLLLLLL

7、LLLLLLLLLLLLLLLL2233323232332233123132312232132113222323332233232323132133212322131113122313331233132313131133112312113111322133313231332133113131312132112111222123312231232123LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1122332332311311213121212211221112122213321232132213121132112212121LLLLLLLLLLLL 记作记作

8、 L 可以理解为张量等式，可以理解为张量等式， ， 理解为应力张量和应变张理解为应力张量和应变张量，量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式，理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式， ， 理解为应力列矢量和应变列矢量，理解为应力列矢量和应变列矢量， L理解为弹性刚度矩理解为弹性刚度矩阵。阵。L与与M具有具有Voigt对称性，因此矩阵对称性，因此矩阵L与与M为为9列列9行的行的对称矩阵。对称矩阵。 （22）精选课件 由于应力张量与应变张量都是对称张量。（由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2 22 2）式）式中的列矢量中的列矢量 与与 的第的第4行与第行与第5行相同，第行相同，第6行与

9、第行与第7行行相同，第相同，第8行与第行与第9行相同。弹性刚度矩阵行相同。弹性刚度矩阵 与柔度矩阵与柔度矩阵 第第4行、列与第行、列与第5行、列相同，第行、列相同，第6行、列与第行、列与第7行、列相同，行、列相同，第第8行、列与第行、列与第9行、列相同。利用这种对称性，可以把应行、列相同。利用这种对称性，可以把应力张量力张量 与应变张量与应变张量 写成写成6个元素的个元素的“列矢量列矢量” LM 112233233112 112233233112 相应的，相应的，L与与M可写成可写成6行行6列的对称矩阵列的对称矩阵精选课件 11111122113311231131111222112222223

10、3222322312212331133223333332333313312231123222333232323312312311131223133312331313112121112221233122312311212222222222222222222LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL也就是说，各列除去重复的元素，但第也就是说，各列除去重复的元素，但第1、2、3列的元素的数值不变，而第列的元素的数值不变，而第4、5、6列的元素列的元素则乘以则乘以2。此时，张量运算与矩阵运算仍然一。此时，张量运算与矩阵运算仍然一样，但失去了矩阵地对称性。样，但失去了矩阵

11、地对称性。精选课件有的文献中定义应力有的文献中定义应力“列矢量列矢量”为为111222333423531612 应变应变“列矢量列矢量”为为 111222333423253126122注意：注意： ， ， 就是剪切角就是剪切角 ， ， 。 456233112精选课件于是可以把弹性本构关系写成：于是可以把弹性本构关系写成： iijjC111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 或或 iijjs1111

12、21314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS（23）（24）精选课件容易导出矩阵容易导出矩阵C，s与与L，M之间的关系为之间的关系为 1111112211331123113111122211222222332223223122123311332233333323333133122311232223332323233123123111312231333123313131121211122212331223123

13、11212LLLLLLLLLLLLLLLLLLCLLLLLLLLLLLLLLLLLL 1111112211331123113111122211222222332223223122123311332233333323333133122311232223332323233123123111312231333123313131121211122212331223122222222222244422244422244MMMMMMMMMMMMMMMMMMSMMMMMMMMMMMMMMMMM23112124M精选课件012ijijU 0ijklklijijUL 固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性

14、体固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体内。这种能量称为应变能。内。这种能量称为应变能。 通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：其中其中 (Voigt对称性对称性) (Voigt对称性对称性)ijklklijLLijklklijMM精选课件1122iiijjiWC 2jjiiijjijjijiiWWWCC iidWd 精选课件 对于均质弹性

15、体，材料的性质与位置坐标无关。其应对于均质弹性体，材料的性质与位置坐标无关。其应变位能是应变分量变位能是应变分量 ， ， 的函数，而且只取决于的函数，而且只取决于应变的最终值。从数学上说，应变的最终值。从数学上说， 是应变状态的单值函数，是应变状态的单值函数，而且与积分路径无关，而且与积分路径无关， 必是对必是对 应变分量的全微分，应变分量的全微分，即：即：xyxy0U0dU0U0000000 xyzyzzxxyxyzyzzxxyUUUUUUdUdddddd可得可得0 xxU0yyU0zzU0yzyzU0zxzxU0 xyxyU（25）精选课件为了便于以后的讨论，给出为了便于以后的讨论，给出

16、的展开式的展开式0U2011121314151622222324252633234353644452246555666121122121122xxyxzxyzxzxxxyyyzyyzyzxyxyzzyzzzxzxyyzyzzxyzxyzxzxxyzyUCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC （26）精选课件为了讨论过点为了讨论过点A任意斜面任意斜面的应力，在点的应力，在点A附近取一附近取一个四面体微元个四面体微元ABCD(图图 21 )。 图21精选课件斜面斜面BCD的外法线为的外法线为N，令令N的方向余弦为：的方向余弦为：cos(, )1cos(, )cos(, )N xN ymN zn

17、则有则有()xdFldF()ydFmdF()zdFndF 式中，式中， 、 、 、 依次为三角形依次为三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面斜面BCD上应力向量在坐标方向上的分量为上应力向量在坐标方向上的分量为 、 、 ，则由，则由四面体微元的四面体微元的 的条件得到的条件得到 ：()dF()xdF()ydF()zdFNxPNyPNzP0 xF （27）()()()()0NxxxyzyzxxP dFdFdFdFXdVyx精选课件得到方程如下：得到方程如下：NxxyxzxNyxyyzyNxxzyzzPlmnPlmnPlmn写成矩阵形

18、式写成矩阵形式NxxyxzxNyxyyzyNzxzyzzPlPmPn 也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。（28）精选课件三维情况：三维情况：图22坐标系如图坐标系如图22所示，新坐所示，新坐标与原坐标的方向余弦列于标与原坐标的方向余弦列于表表1 ：其中其中1cos( , )lx x2cos( , )ly x3cos( , )lz x1cos( , )mx y2cos( , )my y3cos( , )mz y1cos( , )nx z2c

19、os( , )ny z3cos( , )nz z精选课件 xyzxl1m1n1yl2m2n2zl3m3n3 表1 123123123llllmmmnnn111123222123333123xy xz xxyxzxx yyz yxyyzyy xy zzxzyzzlmnllllmnmmmlmnnnn 即即 Tll （29）精选课件 将式（将式（29）展开，并按一定次序排列应力张量，可）展开，并按一定次序排列应力张量，可得应力分量转轴公式：得应力分量转轴公式：2221111 11 111222222222 222222333333 3332 3232323322 33 223323 1313 13

20、11 33 11 331131 2121222222222xyzyzzxxylmnmnnll mlmnm nn ll mlmnm nn ll ml lm mn nm nm nn ln ll ml ml lm mn nm nmnn lnll ml mllmmn n2122 11 22 11221xyzyzzxxymnm nnln ll ml m T （210） T称为应力转换矩阵称为应力转换矩阵精选课件同理可得，应变分量转轴公式同理可得，应变分量转轴公式2221111 111112222222 22 2222223333 33 3332 3232 32 33 22 33 223323 1313

21、13 11 33 11 331131 2121222222222xyzyzzxxylmnmnnllmlmnmnnll mlmnmnnll ml lmmnnmnmnnlnll ml mllmmnnmnmnnlnll mlmllmmnn21 22 11 22 11221xyzyzzxxymnmnnlnllml m T （211）称为应力转换矩阵称为应力转换矩阵 T精选课件二维情况二维情况 ：二维情况的坐标建立如下两图：二维情况的坐标建立如下两图：图23图24精选课件 1216122()yxxxyymnmnnmnm Tll 126xyxyT22222222mnmnTnmmnmnmnmn同理：同理：

22、T 22222222mnmnTnmmnmnmnmn（212）（213）（214）精选课件 各向异性体的弹性特性随方向不同而异，即各向异性各向异性体的弹性特性随方向不同而异，即各向异性体的弹性系数是方向的函数，它们与坐标的取向有关，只体的弹性系数是方向的函数，它们与坐标的取向有关，只有在各向同性情况下，弹性系数在任意正交坐标系是不变有在各向同性情况下，弹性系数在任意正交坐标系是不变的。的。 已知已知 T T 求逆求逆 1T 1T 又因为又因为 S C 所以可得所以可得 1TS TS 1TC TC 1T精选课件通过单位体积应变能函数通过单位体积应变能函数U0可以证明：可以证明：1TTT1TTT从而

23、可以得到：从而可以得到： TTS T TTC T所以所以 S C 其中其中 TSTS T TCTC T 为新坐标系中的柔度矩阵为新坐标系中的柔度矩阵 为新坐标系中的刚度矩阵为新坐标系中的刚度矩阵 以上即为弹性系数转轴公式的矩阵形式。以上即为弹性系数转轴公式的矩阵形式。 （215）精选课件 大多数工程材料内部结构具有对称性，这决定大多数工程材料内部结构具有对称性，这决定了材料的弹性特性也具有对称性。了材料的弹性特性也具有对称性。 均质弹性体中，若过每一点的不同方向的弹性均质弹性体中，若过每一点的不同方向的弹性特征不同，称为特征不同，称为一般均质各向异性体一般均质各向异性体，它具有，它具有3636

24、个个非零的非零的弹性系数，但其中弹性系数，但其中21个独立的弹性系数。若物个独立的弹性系数。若物体中的每一点出现有对称的方向，这些方向上的弹体中的每一点出现有对称的方向，这些方向上的弹性特征相同，它就具有弹性对称。具有弹性对称的性特征相同，它就具有弹性对称。具有弹性对称的物体，广义虎可定律的方程和能量函数的表达式都物体，广义虎可定律的方程和能量函数的表达式都可以简化，在弹性系数之间出现依赖关系。可以简化，在弹性系数之间出现依赖关系。 ijklklijLLVoigt对称性对称性: 可证明张量可证明张量L对双指标对双指标ij和和kl具有对称性具有对称性。精选课件 弹性对称面就是指经过物体内的每一点

25、都有这样的弹性对称面就是指经过物体内的每一点都有这样的平面，在这个平面的对称方向上弹性特性是相同的。平面，在这个平面的对称方向上弹性特性是相同的。 取取xy坐标面与弹性对称面平行，坐标面与弹性对称面平行，z轴与弹性对称面垂轴与弹性对称面垂直（如图），现研究体微元直（如图），现研究体微元ABCDE的弹性对称问题。的弹性对称问题。 由弹性对称面的由弹性对称面的定义知，当倒置定义知，当倒置z轴轴 时，在坐标系时，在坐标系(x、y、z)和（和（x、y、 ）中，中，体微元具有相同的应体微元具有相同的应力、应变关系。换言力、应变关系。换言之，弹性系数之，弹性系数 、 不因倒置不因倒置z轴而发生变轴而发生变

26、化。化。 zijCijS图25精选课件 弹性体单位体积的应变能弹性体单位体积的应变能 是应变状态的单位函数，是应变状态的单位函数，而且能量是标量，不因坐标的选择不同而改变其量值。但而且能量是标量，不因坐标的选择不同而改变其量值。但是当是当z轴变成轴变成 轴时，有些物理量将变号。用轴时，有些物理量将变号。用u，v，w和和u，v，w分别表示两坐标中的位移分量，存在着下述关系：分别表示两坐标中的位移分量，存在着下述关系：0Uzzz ww 与与 有关的剪应变分别为：有关的剪应变分别为：zz xuwzx所以可得：所以可得： yzyz z xzx 也就是说，也就是说，z轴倒置时，与轴倒置时，与z方向有关的

27、剪应变分量变号。方向有关的剪应变分量变号。 （216）（217）yzwvyz精选课件 由由 的表达式不难看出，除非含的表达式不难看出，除非含 和和 的一次项的一次项的刚度系数等于零，否则不能保证的刚度系数等于零，否则不能保证 的量值不变。于是，的量值不变。于是，有有0Uyzzx0U14152425343546560CCCCCCCC 刚度系数减少了刚度系数减少了8个，剩下个，剩下13个。个。 同样可以证明，柔度系数也剩下同样可以证明，柔度系数也剩下13个。个。 于是，当于是，当z轴垂直弹性对称面时，应力、应变关系为：轴垂直弹性对称面时，应力、应变关系为： 11112131622122232633

28、132333644455455616263660000000000000000 xyzyzyzzxzxxyxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC（218） 垂直于弹性对称面的方向为垂直于弹性对称面的方向为弹性主方向弹性主方向，坐标轴在弹，坐标轴在弹性主方向时称为性主方向时称为弹性主轴弹性主轴。上述的。上述的z轴即为弹性主轴。轴即为弹性主轴。 精选课件1111213161222232623333634444545555666600000000SSSSSSSSSSSSS对称精选课件l如果 其他应力分量为0,301133S2233S3333S23031021363S当沿弹性主轴拉伸时,除纵向伸

29、长,横向收缩外,还会引起与主轴垂直的面(弹性对称面)内的剪应变,且弹性主轴方向不变精选课件 若经过均质弹性体的每一点都有三个互相垂直的弹性若经过均质弹性体的每一点都有三个互相垂直的弹性对称面，则称之为正交异性弹性体。对称面，则称之为正交异性弹性体。 取坐标取坐标x，y，z方向为弹性主方向。沿用前面的方法，方向为弹性主方向。沿用前面的方法，将将y轴转轴转1800成成y轴，因为轴，因为 和和 变号，必须有：变号，必须有： yzxy14243456162636450CCCCCCCC 新增加的等于零的刚度系数是后四个。再转动新增加的等于零的刚度系数是后四个。再转动x轴不能增加新轴不能增加新的等于零的刚

30、度系数。的等于零的刚度系数。将将z轴转轴转1800成成z轴同样可以得出，新增加的等于零的柔度系数为四轴同样可以得出，新增加的等于零的柔度系数为四个。独立的弹性系数剩下个。独立的弹性系数剩下9个。个。 从而得到应力应变关系为：从而得到应力应变关系为：精选课件l设仅有 作用,其余应力分量为0,这时应变能14,221111414444/ 2/ 2WSSS 对于上述两种坐标系计算时, 变号， 为了使W保持不变,必须使 41 4S= 0同理 1 4S2 43 44 6= S= S= S= 01 5S2 53 55 6= S= S= S= 0精选课件（219） 从上可以看出，对于正交异性体，若坐标方向从上

31、可以看出，对于正交异性体，若坐标方向为弹性主方向，则为弹性主方向，则正应力不引起剪应变正应力不引起剪应变，剪应力不剪应力不引起线应变引起线应变，反之亦然。，反之亦然。 111213111121222322223132333333442323553131661212000000000000000000000000CCCCCCCCCCCC精选课件111121312222323333444455556666000000000000SSSSSSSSS对称没有拉压没有拉压剪切耦合剪切耦合现象现象没有不同平没有不同平面内的剪切面内的剪切耦合现象耦合现象精选课件 在平面内一切方向的弹性特性均相同的平面称为各

32、向在平面内一切方向的弹性特性均相同的平面称为各向同性面如果过材料的每一点都有一个相互平行的各向同同性面如果过材料的每一点都有一个相互平行的各向同性面，就称为性面，就称为横观各向同性材料横观各向同性材料。 取取oxy面为各向同性面，面为各向同性面，z轴垂直于该面显然当涉及轴垂直于该面显然当涉及x或或y方向时，刚度系数方向时，刚度系数 的下标可以不加区别，的下标可以不加区别，即即 ， ， 而且可以证明而且可以证明 。 因此，独立的弹性常数减少为因此，独立的弹性常数减少为5个，应力应变关系简化个，应力应变关系简化为：为： ijC1122CC1323CC4455CC661122()/2CCC精选课件1

33、11213111112111322221313333333442323443131111212120000000000000000000()000002CCCCCCCCCCCCC（220）精选课件 若经过均质体内每一点的任意方向上弹性特性均相同，若经过均质体内每一点的任意方向上弹性特性均相同，即任意方向都是弹性主方向，则称之为即任意方向都是弹性主方向，则称之为各向同性体各向同性体。显然，。显然，弹性系数之间存在下述关系：弹性系数之间存在下述关系： 112233CCC121323CCC44556611121()2CCCCC 对于各向同性材料，弹性系数与方向无关。应力应变对于各向同性材料，弹性系数

34、与方向无关。应力应变关系为（关系为（显然只有两个独立的弹性常数了）显然只有两个独立的弹性常数了） ：（221）111212121112111112121122221112333323231112313112121112000000000()000002()000002()000002CCCCCCCCCCCCCCC精选课件表2精选课件 在本构关系式中，刚度矩阵和柔度矩阵虽然是联系应在本构关系式中，刚度矩阵和柔度矩阵虽然是联系应力和应变的数学符号，但是也有其物理意义。通过简单的力和应变的数学符号，但是也有其物理意义。通过简单的拉伸试验和剪切试验，可以导出各分量与材料机械性能之拉伸试验和剪切试验，可

35、以导出各分量与材料机械性能之间的关系，称为用工程常数表示。间的关系，称为用工程常数表示。 首先：首先：研究沿弹性主方向研究沿弹性主方向1简单拉伸情况（如图简单拉伸情况（如图2 26 6 ） （图26）111213111121222322223132333333442323553131661212000000000000000000000000SSSSSSSSSSSS精选课件其应力和应变张量为：其应力和应变张量为： 1100000000 11112212 113313 11000000000000 根据正交异性材料的本构关系，可得到：根据正交异性材料的本构关系，可得到：111111111SE22

36、2111121211111 SEE 由此可得：由此可得：1111SE12212SE13311SE同理，根据同理，根据2和和3方向的简单拉伸，可得：方向的简单拉伸，可得： 21122SE2221SE23322SE31133SE32233SE3331SE精选课件 式中式中 和和 即为人们所熟悉的工程弹性常数，即为人们所熟悉的工程弹性常数， 是是i方向的弹性模量，方向的弹性模量， 是是i方向正应力引起方向正应力引起 j 方向横向应方向横向应变的泊松比。变的泊松比。 iEijiEij 其次其次：研究一个纯剪切试验，这时应力和应变张量为：研究一个纯剪切试验，这时应力和应变张量为

37、： 12210000000 12210000000 同样根据本构关系可写出：同样根据本构关系可写出：126612121212SG于是得到：于是得到：66122111SGG精选课件 类似的有：类似的有：44231SG55131SG 由此得到用工程常数表达的正交异性材料柔度矩阵为由此得到用工程常数表达的正交异性材料柔度矩阵为（刚度系数的表示可由刚度系数与柔度系数的关系得刚度系数的表示可由刚度系数与柔度系数的关系得到）到） ： 312112332121231323123233112100010001000100000100000100000EEEEEEEEESGGG精选课件1.1.刚度系数和柔度系数的关系刚度系数和柔度系数的关系 因为刚度矩阵和柔度矩阵是互逆的因为刚度矩阵和柔度矩阵是互逆的: ，所以根据求逆法则，可得到相互关系：所以根据求逆法则，可得到相互关系：222332211S SSCS1323123312S SS SCS233111322S SSCS1223132213S SS SCS211221233S SSCS1213231123S SS SCS44441CS55551CS66661CS其中其中 2221122331223131123221333122SS S SS S SS SS SS S 在用刚度系数表