最新多元微积分A下-期末复习题解答

1、精品文档精品文档复习题2、填空题（每小题4分，共20 分）1.设曲线L:x2 y222L(x - y 1)x y ds =4，则曲线积分8 :则常数xyz4.设球面1 : x2y2z2 = R2的质量面密度 珥x,y,z）二，x2 y2z2,则球面2.若在全平面上曲线积分（axy - sin x）dx （x2 _cosy）dy与路径无关,3. 向量场 F =：exsi n y, ex cosy , xy l n z f 的散度 divF 二构件的质量为4二:nBl x5.幕级数訂在收敛区间（-4,4）上的和函数s（x）二心4、单项选择题（每小题3分，共18 分）1 设有向曲线L为yx，从点（1

2、,1）到点（0,0），贝U l f （x, y）dx二（01f(x.x)dx;C. .：f(y2,y)dy;0 1 f (x八 x)dx; ：2yf(y2,y)dy.2设曲面匕质量分布均匀，且曲面3的面积A =3，曲面匕的质心是（2,-1,0）,则.ydS 二(A ).IA . - 3 ;B. -2;C. 0;D. 1.3.设曲面匕为z = -1（ 0乞x乞1,0乞厂乞1）的上侧，贝U（ D ）.zdxdy 二 1;B. iizdydz=1;C.zdzdx=-1;IIzdxdy= -1.精品文档4. 下列正项级数中收敛的是(BHg53nA.n ;n44D.二nj nKgJ （1） n5. 幕级

3、数a Xxn （ C ）. n 二 nA.在x = -1， x =1处均发散;B.在x - -1处收敛，在x =1处发散；C.在x = -1处发散，在x =1处收敛;D.在x = -1， x = 1处均收敛.6.设f(x)是以2二为周期的函数，在一个周期内B ).则f(x)的傅里叶级数在点x二0处收敛于(- x, - 二 _ x _ 0x, 0 ： x :二'A. 2;B. 1;C. 0;D. -1.三、(6分)设曲线，(x, y)二xy，求该曲线构件的质量M .L:y=2xT ( 0_x_1 )上任意一点处的质量密度为解： y = 2，ds =5dx，（1 分）M =Qxyds（3

4、分）=0x（2x 1）, 5dx（5 分）（6 分）（2 分）四、(6分)求质点在平面力场F(x, y)二y i 2xj作用下沿抛物线L : y = 1 - x2从 点(1,0)移动到点0, 1所做的功W的值.-x22x（ -2x） Idx解： W = l y dx 2xdy（4 分）（5 分）0 2=0 （1 -5x ）dx精品文档（6 分）五、（7分）利用格林公式计算曲线积分L（y2cosx y）dx （2ysinx 3x 1）dy ,其中曲线L为x2 y2 =1的右半部分，从A（0, -1）到B（0,1）.解：L! ：x =0，y 从 1 到-1，（ 1 分）=2ycosx 3, （ 2

5、 分） .x（5分）（6分）（7 分）2ISMP = y cosx y , 2y cosx 1, Q = 2ysin x 3x 1 ,q PdxQdy =（色一生）dxdy = ii'2dxdy 畐，L L1d ；叹:yd又L PdxQdy （ dy = 2所以丄（y2cosx y）dx （2ysin x 3x 1）dy =二 2六、（6分）利用对面积的曲面积分计算旋转抛物面1 : z = 1 _ x2 _ y2在 xoy面上方部分的面积.納22，22解： z=1-x - y ， Zx 二-2x, Zy = -2y , dS = 1 4x 4y dxdy，（1 分）（2 分）（4 分）

6、（5 分）（6 分）七、（6分）利用高斯公式计算曲面积分 di xydydz yzdzdx- yzdxdy ,其中为2圆锥面z = . x2 y2及平面z = 0，z=1所围成的圆锥体11的整个边界曲面的外侧解： P = xy, Q = yz, R - - yz，精品文档初 10 djZ Zdziixydydz yzdzdx - yzdxd £卫過dv二:y: zHi zdv八、_ 4（6分）求幕级数a （x3）n的收敛区间. n 卫（n国 1） 5n解：a1-(n 1) 5n=lim-，n：5(n 2)5收敛区间为x-3 ：5，即（- 2,8）九、（7分）判别交错级数a （-1）n

7、 =11n sin -是否收敛？如果收敛,n是绝对收敛还是条件收敛.1解： un = sin 0，lim un = 0，Un单调递减,z 由莱布尼茨申敛法知，交错级数 Vn d1(-1)nsi n 收敛。n又(-1)nsi所以阴(-1)n =1n .1sin 一 n发散,故交错级数（-1）n sin 1为条件收敛.n壬n（3分）（5分）（6分）（2分）（4分）（6分）通过推导，指出（3分）（6分）（7分）n十、（7分）求幂级数:琵的和函数，并求数项级数精品文档芒忙=1丄1心23的和.解：设s（x）八n4 n 2n '两边求导得s（x）=7n42n2 x（一2：X ：2）,两边积分得s(x) -s(0) = -ln(1，又 s(0)=0 ,收敛；当x=2时，a 1发散,所以 s(x) - -In(1 -x)，2（-2 空 x：2 ）,令 x = -2 ,、_ln2解:n =1_ 1 1 C1)n._ _231一、（6分）将函数f （x）二占展开为x的幂级数.n -0八xn1 -x（一 1 ： x ： 1），两边求导得(1 X)1 -2 八，nxn4(-1 ：x：1)，所以(1-x)2乂二' nxn (-1 x ： 1)（2分）（4分）（6分）=In 2（7 分）（2分）（4分）（6分）精品文档十二、（