第一章拉各朗日方程和哈密顿方程

1、中北大学理学院物理系中北大学理学院物理系四大力学：四大力学：1、理论力学、理论力学2、量子力学、量子力学3、电动力学、电动力学4、热力学统计物理、热力学统计物理理论力学理论力学分析力学基础部分牛顿力学回顾牛顿力学回顾物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。一、研究对象一、研究对象 rr t二、牛顿的时空观二、牛顿的时空观（ 狭义相对论的时空观）狭义相对论的时空观） 时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，它们与运动无关且彼此独立，它们与运动无关且彼此独立，“同时性同时性”和力学规和力学规律也是绝对的，而物体的坐

2、标和速度是相对的。律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。三、力学状态的确定三、力学状态的确定同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）四、力学规律的表达形式四、力学规律的表达形式力是力学系统的核心。力是力学系统的核心。力学系统的运动微分方程：力学系统的运动微分方程：22d rmFdt 力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在特殊的惯性系。特殊的惯性系。五、伽利略相对性原理（五、伽利略相对性原理（ 爱因斯坦相对性原理）爱因斯坦相对性原理）六、牛顿力学的适用范围六、牛顿力学的适用范围 低速（低速（ ）、宏观物

3、体（）、宏观物体（ ）的）的运动。运动。83 10/vm s1010lm问题：问题：力学规律是否只有牛顿形式？力学规律是否只有牛顿形式？ 力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密顿形式。密顿形式。经典力学：牛顿力学分析力学经典力学：牛顿力学分析力学分析力学的分析力学的主要内容主要内容1-1自由度和广义坐标自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置可以用三个独立参一个自由质点在空间的位置可以用三个独立参数来确定，我们说该自由质点有数来确定，我们说该自由质点有3个自由度。一般质个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少，在点运动会受到约束限制

4、，则其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数的数完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数。目等于系统的自由度数。2222()()()xaybzcR 故该质点在空间的位置由故该质点在空间的位置由x、y 就可确定，其自由就可确定，其自由度数为度数为2。例如：例如：一质点一质点M 限制在球面的上半部运动，则限制在球面的上半部运动，则222()()zcRxayb 对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度数。数。 一般讲，一个由一般讲，一个由n 个质点组成的质点系，若受到个质点组成的质点系，若受到s 个完整约束作用，则其

5、在空间的位置可由个完整约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个个坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中位置的独立参数，称为位置的独立参数，称为广义坐标广义坐标，用，用 来表示。广义坐标对时间的微商来表示。广义坐标对时间的微商 称为称为广义速度广义速度，用，用 来表示。来表示。1233n sqqqq、 、idqdt1233n sqqqq、 、222)2()2(2 ,2baRczyx 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。 如上面例题的质点如上面例题的质点M的位置由的位置由x，y 确定，则确定，则x，y

6、就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的一组独立参量来表达其位置：一组独立参量来表达其位置：1-2 拉格朗日方程拉格朗日方程 力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道物体的受力情况。物体的受力情况。牛顿力学的运动微分方程：牛顿力学的运动微分方程：22d rmFdt 拉格朗日方程的特点是避开矢量力，而利用标量拉格朗日方程的特点是避开矢量力，而利用标量动能和势能动能和势能来描述运动。来描述运动。从牛顿方程出发推导拉格朗日方程从牛顿方程出发推导拉格朗日方程1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置，、单个质

7、点不受约束需三个独立坐标描述其位置，即有三个自由度。即有三个自由度。直角坐标系中：直角坐标系中：rxiyjzkUUUUFUijkrxyz 2、单个质点在保守力场中运动：、单个质点在保守力场中运动： 势能函数势能函数 U r由牛顿第二定律，质点的运动方程为：由牛顿第二定律，质点的运动方程为：UmrFr 分量形式：分量形式：xyzmxFmyFmzF又记又记x，y，z为为x1，x2，x3，上式又写为：，上式又写为：111UmxFx 222UmxFx 333UmxFx 上式合写为：上式合写为：1,2,3iiiUmxFix 说明：说明：(1)、以上选取的是直角坐标系，但坐标系的选取、以上选取的是直角坐标

8、系，但坐标系的选取要根据具体情况而定。要根据具体情况而定。(2)、若、若U=U(r)，即势能仅是质点到力心距离的函数，即势能仅是质点到力心距离的函数，此时适宜于选取球坐标系。此时适宜于选取球坐标系。3、直角坐标系中质点的动能为：、直角坐标系中质点的动能为：122iiiTmxmxx3222211122iiTm xyzmxiiidTmxFdtx上式再对时间求微分得：上式再对时间求微分得：动能对动能对 求偏导求偏导ix iidTFdtxiiUFx 由由 和和 二式相加得二式相加得 ： 0iidTUdtxx4、引入、引入拉格朗日函数拉格朗日函数LLTU 动能动能T仅是速度仅是速度 的函数，势能的函数，

9、势能U仅是坐标仅是坐标 的函数，因此的函数，因此ix ixiiiTUdTddLdtxdtxdtxiiiUTULxxx 0iidLLdtxx 此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉格朗日方程。格朗日方程。 可以证明，将可以证明，将 换成广义坐标换成广义坐标 ，即可得到用广义坐标表示的具有即可得到用广义坐标表示的具有s个自由度的系统的个自由度的系统的一般形式的一般形式的拉格朗日方程拉格朗日方程。123,x x x12,sq qq01,2,iidLLisdtqq说明：说明：1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方、拉格朗日方程是力学系统的基本运动

10、方程，运动方程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉格朗日方程。格朗日方程。2、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。3、由、由 可以看出，只要给出力学体可以看出，只要给出力学体系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。,iiLTUL q q4、 不再限于直角坐标，在此为广义坐标。不再限于直角坐标，在此为广义坐标。iq5、在很多情况下，由拉格朗日方程得到的关于广义、在

11、很多情况下，由拉格朗日方程得到的关于广义坐标的运动微分方程是二阶非线性的，求解很困难。坐标的运动微分方程是二阶非线性的，求解很困难。例题：例题：写出有心力场中质点的运动方程。写出有心力场中质点的运动方程。sinrdrdrerd erd e 上式两边除以上式两边除以dt，得：，得：sinrrrer ere解：选球坐标系，位移解：选球坐标系，位移 在在球坐标系中的表达式：球坐标系中的表达式：dr 2222222211221sinsin21sin2rrTmvmrm rer ererer erem rrr动能：动能：所以拉格朗日函数为：所以拉格朗日函数为： 2222221sin2LTUm rrrU r

12、 222sinLLmrmrmrUrrr222sincosLLmrmr22sin0LLmr求偏导：求偏导： 2222221sin2LTUm rrrU r得到运动方程：得到运动方程： 222sind mrmrmrUrdt222sincosdmrmrdt22sin0dmrdt000dLLdtrrdLLdtdLLdt将以上结果代入拉格朗日方程将以上结果代入拉格朗日方程 多自由度系统线性振动问题的处理方法多自由度系统线性振动问题的处理方法 各自由度的振动相互耦合各自由度的振动相互耦合, 比较复杂比较复杂, 但由于方程是线但由于方程是线性的性的, 最终能找到最终能找到解耦解耦的方法的方法。 数学中数学中求

13、求本征值本征值和和本征矢量本征矢量的方法的方法 实际振动系统不一定是线性的实际振动系统不一定是线性的, 但如果振动是微小的但如果振动是微小的, 可化为线性方程。可化为线性方程。通过一个实例通过一个实例, 学习学习解法解法及一些重要及一些重要概念和结论概念和结论。1-3 小振动问题小振动问题 设质量均为设质量均为 m 的两个质点的两个质点, 只沿水平方向运只沿水平方向运 动动, 被被3个个轻弹簧连接轻弹簧连接, 两侧弹簧的一端均被固定。中间弹簧的劲度两侧弹簧的一端均被固定。中间弹簧的劲度系数为系数为k1 , 两旁弹簧的劲度系数为两旁弹簧的劲度系数为k2 , 两质点静止时各弹两质点静止时各弹簧无伸

14、长。试求两质点在平衡位置附近的小振动。簧无伸长。试求两质点在平衡位置附近的小振动。 自由度为自由度为 2, 选取选取 x1 和和 x2 为系统的广义坐标为系统的广义坐标, 它们分它们分别表示两质点相对自身平衡位置的位移。别表示两质点相对自身平衡位置的位移。 系统的动能为：系统的动能为： 广义速度常系数二次齐次式广义速度常系数二次齐次式, 可有一常数项可有一常数项 系统的势能为：系统的势能为：广义坐标常系数二次齐次式广义坐标常系数二次齐次式, 可有一常数项可有一常数项系统的拉格朗日函数为：系统的拉格朗日函数为：将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动方程将上式代入拉格朗日方程可得系统的运动方程 常系

15、数、二阶、线性、齐次微分方程组常系数、二阶、线性、齐次微分方程组 x1 的变化与的变化与 x2 的变化相互耦合的变化相互耦合设方程组解的形式为：设方程组解的形式为： 代入运动方程得：代入运动方程得： 要使要使 A1 , A2 有非零解有非零解, 方程组系数行列式必为零方程组系数行列式必为零上方程称为特征方程上方程称为特征方程, 展开得展开得 这是关于这是关于的二次方程的二次方程, 说明振动频率不能取任意值说明振动频率不能取任意值, 它们只能取以下数值它们只能取以下数值(本征值本征值): 两个频率是系统固有的两个频率是系统固有的, 称为系统的简正频率称为系统的简正频率。 从下面我们将看到从下面我

16、们将看到, 对应一种简正频率对应一种简正频率, 系统存在一种系统存在一种简单的、基本的振动方式。对应不同的简正频率简单的、基本的振动方式。对应不同的简正频率, 系统有系统有不同的振动方式不同的振动方式, 这种与简正频率相对应的基本振动方式这种与简正频率相对应的基本振动方式称为简正模式称为简正模式。 将将 代入方程：代入方程： 将将 A1 ，A2 写成写成 A11 ， A21 , 表示这组振幅与表示这组振幅与1相应相应两个方程有一个是不独立的两个方程有一个是不独立的, 不能完全确定不能完全确定 A11 , A21 , 只能只能确定它们的比值：确定它们的比值：所以与所以与1 对应的振动方程为对应的

17、振动方程为其中其中1是与是与1相应的振动的初相。二质点振动位相相等相应的振动的初相。二质点振动位相相等, 运动步调完全一致运动步调完全一致, 称为对称模式称为对称模式, 它的简正模式如图它的简正模式如图(a)所示。所示。 （A11 , A21 ） 组成一个二维矢量组成一个二维矢量 , 称为与本征值称为与本征值1对应对应的本征矢量的本征矢量, 它确定简正模式。它确定简正模式。(a) 对称模式对称模式(b) 反对称模式反对称模式 将将 代入方程代入方程相应的振幅用相应的振幅用A12 ,A22 表示表示, 得得 只能获得比值只能获得比值：（A 11 , A 22 ）组成与）组成与2 对应的本征矢量对

18、应的本征矢量 , 相应的振动相应的振动方程为：方程为： 可见二质点的振动位相相反可见二质点的振动位相相反, 振幅相同振幅相同, 称为反对称模式称为反对称模式, 它的简正模式如图它的简正模式如图(b)所示。所示。 方程组的通解是它们的特解的线性组合方程组的通解是它们的特解的线性组合, 即即式中式中4个待定常数个待定常数 A11 , A12 ,1 ，2 由初始条件确定由初始条件确定 设设t = 0 时时, 可求得可求得 代入得到方程的解为：代入得到方程的解为： 本问题除了选择本问题除了选择 x1 , x2 为广义坐标外为广义坐标外, 还可选择其他还可选择其他变量为广义坐标变量为广义坐标, 其中其中

19、, 有这样的特殊变量有这样的特殊变量, 它可以使方程它可以使方程的解成为仅包含一个简振频率的简谐振动的解成为仅包含一个简振频率的简谐振动, 这样的广义坐这样的广义坐标称为简正坐标。标称为简正坐标。如何寻找简正坐标呢如何寻找简正坐标呢? 我们从解我们从解中得到启发。中得到启发。 (x0cos1t) / 2 和和(x0cos2t) / 2 就是两个简正就是两个简正坐标坐标, 设：设：这是一种坐标变换关系这是一种坐标变换关系, 通过反解就可求得简正坐标。通过反解就可求得简正坐标。 代代人人得得可见采用简正坐标后可见采用简正坐标后, 动能、势能的表达式分别成为广义动能、势能的表达式分别成为广义速度和广

20、义坐标的平方和形式。速度和广义坐标的平方和形式。 系统的拉格朗日函数为：系统的拉格朗日函数为：代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程, 得运动方程为：得运动方程为：可见每个方程只包含一个变量可见每个方程只包含一个变量, 方程组已解耦方程组已解耦, 其解分别为其解分别为简谐振动。简谐振动。其中其中 , 它们就是系统的它们就是系统的简正频率。在上述初始条件下简正频率。在上述初始条件下, 可求出积分常数可求出积分常数B1 , B2 ,1 ,2 , 得得 1-4 哈密顿方程哈密顿方程一、广义动量一、广义动量将动能将动能T对速度分量求偏导数，即可得动量的分量。对速度分量求偏导数，即可得动量的分量。iiiTmq

21、pq2112siiTmq势能函数只与广义坐标有关，与广义速度无关，因此势能函数只与广义坐标有关，与广义速度无关，因此iiiiTUTLpqqq称为广义动量称为广义动量iLq二、勒让德变换二、勒让德变换设有设有,ff x y,ffdfdxdyP x y dxQ x y dyxyd QyydQQdy又又d QyfydQPdx两式相减得：两式相减得：变换后的函数：变换后的函数：gQyf称为函数称为函数f的勒让德变换的勒让德变换,gQyfg x Q1、若要将变量、若要将变量y变为变为Q2、若要将变量、若要将变量x变为变为P,ffdfdxdyP x y dxQ x y dyxyd PxxdPPdx两式相减

22、得：两式相减得：d PxfxdPQdy,gPxfg y P变换后的函数：变换后的函数：gPxf称为函数称为函数f的勒让德变换的勒让德变换3、 三个变量（可推广到三个变量（可推广到N个变量）个变量）, ,ff x y z要将要将 ，采用与前面一样的方法，有：，采用与前面一样的方法，有：, ,x y zx Q R, , , ,fffdfdxdyxyzP x y z dxQ x y z dyR x y z dzd QyRzydQQdyzdRRdzd QyRzfydQzdRPdx,gQyRzfg x Q R三、哈密顿函数三、哈密顿函数广义动量广义动量iiLpq01,2,iidLLisdtqqiiiid

23、LLppdtqq根据拉格朗日方程根据拉格朗日方程1111ssssiiiiiiiiiiiiLLdLdqdqp dqp dqqq,iiLL q q又又对对L进行勒让德变换，目的：进行勒让德变换，目的：iiqp1111111siiissssiiiiiiiiiiiissiiiiiidp qLp dqq dpp dqp dqq dpp dq定义定义哈密顿函数哈密顿函数H1siiiHp qL11ssiiiiiidHq dpp dq,iiHH q p四、哈密顿函数的物理意义四、哈密顿函数的物理意义112ssiiiiiiHp qLp qTE112siiip qTHEH就是系统的能量就是系统的能量E。五、哈密顿

24、方程五、哈密顿方程,iiHH q p由由 得得 ： 11ssiiiiiiHHdHdqdpqp比较比较11ssiiiiiidHq dpp dq于是有：于是有：iiiidqHdtpdpHdtq 哈密顿方程（正则方程，系统的运动方程）哈密顿方程（正则方程，系统的运动方程）说明：说明：1、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（2s个），个），而拉格朗日形式上为二阶微分方程而拉格朗日形式上为二阶微分方程简化数学计算；简化数学计算；3、哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子、哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡。力学的过渡。2、哈密顿方程中，、哈密顿方程中， 地位平等地位平等相互共轭的正相互共轭的正则变量；则变量；,iiq p例题：例题：写出有心力场中两