机械振动基础第三章二自由度系统

1、3.1 引引 言言 第第3章章 二自由度系统二自由度系统多自由度系多自由度系统指需要用统指需要用两个或两个两个或两个以上的独立以上的独立坐标坐标才能描才能描述其运动的述其运动的振动系统。振动系统。 二自由度系二自由度系统是统是最简单最简单的多自由度的多自由度系统。系统。 矩阵知识补充矩阵知识补充,1,2,TijjiAnAAaai jnA对称矩阵对称对称阵的特点设 为 阶方阵，如果满足，即那是：它的元素以主对角线为对么 称为，简称称轴对。阵应相等。1212000000,.nnAAdiag 除了主对角线元素外，其他元素全为零的方阵，即形如的方阵称为，并且记作：对角阵3.2 运动微分方程运动微分方程

2、 例例3.1 图为典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统。图为典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统。用牛顿第二定律建立它的运动微分方程：用牛顿第二定律建立它的运动微分方程： 1)分别在分别在ml，m2建立坐标系建立坐标系Xl;X2以描述以描述m1，m2的振动。的振动。坐标原点坐标原点O1，O2分别取分别取m1，m2的的静平衡静平衡位置位置。向右向右为坐为坐标正向。标正向。 2) 设设m1，m2在在F1(t),F2(t)作用下沿作用下沿各自的各自的坐标正向坐标正向分别分别移动移动了了x1，x2，分析此时，分析此时m1，m2的的受力情况受力情况。 列微分方程的第一种方法：列微分方程的第一种方法：根据牛顿

3、第二定律可以得到： 23231221222222122121111111)()()()()()(xcxkxxcxxktFxmxxcxxkxcxktFxm 整理得 ：)()()()()()(22321223212221221212212111tFxkkxkxccxcxmtFxkxkkxcxccxm 在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵记号。矩阵记号。 Txxx,21Txxx,21 Txxx,21 记：位移向量 加速度向量 速度向量激励向量 TtFtFtF)(),()(21设 3222213222212100kkkkkkKccccccCmmM分别为系统的质量矩阵质量矩阵、阻尼矩阵阻尼矩阵和刚度矩

4、阵刚度矩阵。 )()()()()()(22321223212221221212212111tFxkkxkxccxcxmtFxkxkkxcxccxm )()(002121322221213222212121tFtFxxkkkkkkxxccccccxxmm )(tFxKxCxM )()()()()()(22321223212221221212212111tFxkkxkxccxcxmtFxkxkkxcxccxm 则 记为： 即：即：这种用矩阵写出的运动微分方程与这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运单自由度系统的运动微分方程非常相似。动微分方程非常相似。 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵完全决定

5、了质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。系统的性质。 从上面的例子可以看出，这三个矩阵从上面的例子可以看出，这三个矩阵均是均是对称矩阵对称矩阵，即，即 jiijjiijjiijkkccmm系统的动能为 2100,212121212121222211xMxxxmmxxxmxmETT系统的弹性势能为 21,2121)(212121322221212232122211xKxxxkkkkkkxxxkxxkxkUTT能量耗散函数 21,2121)(212121322221212232122211xCxxxccccccxxxcxxcxcDT列微分方程的第二种方法：列微分方程的第二种方法：能量法

6、能量法利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素 jiijjiijjiTijxxDcxxUkxxEm222,2211222211112121222112122212212222122121122=0=00=0TTTijijTTTEm xm xEEmmmxxxEEEmmmmxmmmMmxxxxmm例如：对系统的动能函数利用公式得：1)求出系统的动能、势能和能量耗散函数，求出系统的动能、势能和能量耗散函数，2)然后利用式然后利用式(3.3)求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。度矩阵。3)最终求出系统的运动微分方程。最终求出系统的运动微分方程。好处：好处：由于系

7、统的动能、势能和能量耗散函数是标量，由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向，可以不考虑力的方向，免去了许多麻烦免去了许多麻烦。 因此：列微分方程有两种方式：因此：列微分方程有两种方式：1)1)牛顿法：隔离体受力分析牛顿法：隔离体受力分析2)2)求偏导法：求系统动能求偏导法：求系统动能 势能和能量耗散函数，再势能和能量耗散函数，再求导（推荐方法）求导（推荐方法）列微分方程的第二种方法：列微分方程的第二种方法：能量法基本步骤能量法基本步骤弹性元件弹性元件k2和和阻尼元件阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动使得系统的两个质量的振动相互影响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是相互影响，并

8、使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵对角矩阵.一般一般多自由度系统的运动微分方程中的质量、阻尼和刚度矩阵多自由度系统的运动微分方程中的质量、阻尼和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合存在耦合。如果质量矩阵是如果质量矩阵是非对角矩阵非对角矩阵，称方程存在，称方程存在惯性耦合惯性耦合；如果阻尼矩阵是如果阻尼矩阵是非对角矩阵非对角矩阵，称方程存在，称方程存在阻尼耦合阻尼耦合；如果；如果刚度矩阵是刚度矩阵是非对角矩阵非对角矩阵，称方程存在，称方程存在弹性耦合弹性耦合。)()(002121322221213222212121tFtFxxkkkkkkxxcccccc

9、xxmm 耦合问题：耦合问题：如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关键。从数学上讲，就是怎样使系动微分方程的关键。从数学上讲，就是怎样使系统的统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标在某一坐标系下系下同时成为对角矩阵同时成为对角矩阵。耦合问题：耦合问题：)()(002121322221213222212121tFtFxxkkkkkkxxccccccxxmm 3.3 不同坐标系下的运动微分方程不同坐标系下的运动微分方程 例例3.2 汽车的二自由度振动模型如图汽车的二自由度振动模型如图33所示。所示。 汽车板簧以上部

10、分被简化成为一根刚性杆，具有汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量质量m和绕质心的转动惯量和绕质心的转动惯量Ic。质心位于质心位于C点。点。 分别在分别在A点和点和B点与杆点与杆相连的相连的弹性元件弹性元件k1、k2为汽为汽车的前、后板簧。车的前、后板簧。 只考虑杆的只考虑杆的竖向竖向运动运动（平动）（平动）和和绕质心的绕质心的转动转动（转动）（转动）。系统的动能和势能为系统的动能和势能为 BABABAcccccTyykkyyykykUyImyIymE2122212200,21212100,212121这里用到了四个这里用到了四个广义坐标（变量）广义坐标（变量）yA，yB，yC， ，我

11、们需要取定其中两个，而将其他两个消去。我们需要取定其中两个，而将其他两个消去。 1.取广义坐标为取广义坐标为yA， 1121=+CABACAyyLyyLLLLyyL等式两边求导则系统的动能为 22221112221111222211111222122121,2CTCCACAACAACAAAmmLEm yIm yLmIm ymL ymLIyyyyymLmLImmmLILLAAAAAABAyLkLkLkkkyLkLykykkLykykykykU222221222222122212221,212)(21)(212121运动微分方程为运动微分方程为 02222212111AyLkLkLkkkymLmL

12、mLm 系统的势能为系统的势能为2.取广义坐标为取广义坐标为yC和和 111212121=1CAACACCCBBBAyLyyLyyLyyLyyLLyLyyLLLL由系统的系统的势能势能为为220111,0222CTCCCCmyEm yIyI在在yC， 下系统的下系统的动能为动能为1221220111,0222AABABBkyUk yk yyyky 1122111,=,1ABACCByLyyLyyyLL等式两边取转置1212121021110,1CCyLLLLkyUk0002222111122112221ccyLkLkLkLkLkLkkkyIm 运动微分方程为：运动微分方程为：122211222

13、21111221,2CCkkk Lk Lyyk Lk Lk Lk L221122110=0k Lk Lk Lk L当时，方程将存在。如果，则刚度矩阵为对角矩阵，方程已弹性耦合如果刚度矩阵是非对角经解耦。这时系统垂直方向的运矩阵动与，称方程绕质心的存在弹性耦合转动独立。3.取广义坐标为取广义坐标为yA，yB 2111122111BACAABCABABAACBAByyLLyyLyyyyLLLLyyLLLLyyyyLLLyyLLyLLLL 由AByyLL 求导得：2222212222212122211112222122ABABCCCCCABTCABL yL yyym yImILLLLmLImL LI

14、mLIyy yyLLLE 系统的动能2212222121221,2CAABCCCBmLImL LILLmL LImyyyLLLyI1221220111,0222AABABBkyk yk yyykyU系统的势能1212120=0=1CCCmL LImL LIABImL L当时，方程存在惯性耦合。当时，质量矩阵为对角矩阵，方程已经解耦。这时， 点和 点的振动相互独立。对于汽车来说，就是前悬架和后悬架的振动相互独汽车理论悬挂质量分配系数立，如同两个相互独立，没有联系的单自由度系统。在中，称为。当时，汽车的前悬架和后悬架的振动相互独立，可以分别讨论它们的振动。3.4 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 方程

15、解耦方程解耦: 寻找合适的描述系统振动的广义坐标系，使得寻找合适的描述系统振动的广义坐标系，使得系统的系统的质量矩阵质量矩阵，阻尼矩阵阻尼矩阵和和刚度矩阵刚度矩阵在这个广义坐标下在这个广义坐标下为为对角矩阵对角矩阵。等价于寻找一个等价于寻找一个变换矩阵变换矩阵u，使得系统的质量矩阵，使得系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵按阻尼矩阵和刚度矩阵按下式下式变为对角矩阵。变为对角矩阵。 1uKuKT11uCuCuMuMTT运动微分方程为运动微分方程为 021222112112122211211xxkkkkxxmmmm 如果存在如果存在变换矩阵变换矩阵u使使方程解耦。即方程解耦。即当当x=uy时时，在在

16、y下下的运动微分方程为的运动微分方程为 0000021212121yykkyymm 上式相当于如下上式相当于如下两个彼此独立的单自由度方程两个彼此独立的单自由度方程 0022221111ykymykym 如果系统初始条件如果系统初始条件为为 0)0(, 0)0(, 0)0(,)0(2211yyyAy0,cos211111ymktAy则则方程的解为方程的解为 由此由此可以得到可以得到在在x坐标系坐标系下方程的解下方程的解 111121coscos0uAx tuy tutAtu也就是说也就是说，初始条件为：初始条件为： 0)0(,0)0(xAux系统的自由振动系统的自由振动是简谐振动是简谐振动 t

17、AutxtAutx12121111cos)(cos)( 12111111221121,cos=cosx txtx tu Atuxtu Atu显然，两个坐标的比值是与时间无关的常数。思路：思路：x坐标系下坐标系下的微分方程的微分方程和和初始初始条件条件x坐标系下坐标系下的微分方程解的微分方程解y坐标系下坐标系下的微分方程的微分方程和和初始初始条件条件耦合，不能求耦合，不能求解解u坐标坐标转换转换解耦解耦y坐标系下坐标系下的微分方程解的微分方程解微分方程微分方程 相互相互独立，独立，可求解可求解u-1坐标逆转换坐标逆转换注：注：红色路线代表走不通红色路线代表走不通，绿色路线代表可走通绿色路线代表可

18、走通例例3.3 如图所示系统。设如图所示系统。设m1m2=m。这是个对称系统，。这是个对称系统，对称点为对称点为k1的中点的中点。取向右为。取向右为x轴的正方向。轴的正方向。 讨论几种特殊的初始条件下的振动。讨论几种特殊的初始条件下的振动。 1把把m1，m2向右移动相同的距离向右移动相同的距离x0，然后同时无初速度地放开。，然后同时无初速度地放开。 2m1向左，向左，m2向右，均移动向右，均移动x0，然后同时无初速度地放开。，然后同时无初速度地放开。 3. m1和和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，均为的初始位移为零，而初始速度不为零，均为x0 4. m1和和m2的初始位移为零，而初始速度

19、不为零，大小相等，均为的初始位移为零，而初始速度不为零，大小相等，均为x0 ，但方向相反。，但方向相反。 )()(002121322221213222212121tFtFxxkkkkkkxxccccccxxmm 1把把m1，m2向右移动相同的距离向右移动相同的距离x0，然后同时无初速度，然后同时无初速度地放开。初始条件为：地放开。初始条件为： 0)0()0()0()0(21021xxxxx这是一个这是一个对称的初始条件。对称的初始条件。在整个振动过程中：弹簧在整个振动过程中：弹簧k1不变形，不变形，m1和和m2受到的力大小、受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移方向均

20、相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同。这样也相同。这样m1和和m2之间的距离始终保持不变，二者就之间的距离始终保持不变，二者就如同一个刚体。系统在这种情况下的等效如同一个刚体。系统在这种情况下的等效为下图。为下图。这是一这是一个单自由度系统。个单自由度系统。 222020020200=0cossincos0sin2kxxmxkxkxkxxxmmxAtxAtxAxtAxmxA 根据牛顿第二定律有：令则这就是简谐振动的运动微分方程，其通解为：求导得：将代入得： 2120120000,000 xxx xxAxx因为初始条件为000000000costantanarctancosin0s

21、xxxAxxxxAxxxt 2m1向左，向左，m2向右，均移动向右，均移动x0，然后同时无初速度地放，然后同时无初速度地放开开. 初始条件为：初始条件为： 0)0()0()0(,)0(210201xxxxxx在振动过程中，系统的中点即在振动过程中，系统的中点即k1的中点没有运动，的中点没有运动，就像一就像一个固个固定点。定点。k1被分成相等的两半，每一半的弹簧的刚度为被分成相等的两半，每一半的弹簧的刚度为2k1。在这种情。在这种情况下的等效系统况下的等效系统如如下图下图所所示。示。 这是这是两个彼此独立，并且完全一样的单自由度系统两个彼此独立，并且完全一样的单自由度系统. 2111122202

22、0020220220=0cossincos0sinmkxk xxmxkkxkkxkkxxxmmxAtxAtxAxtAmxxA 以为研究对象根据牛顿第二定律有：令则这就是简谐振动的运动微分方程，其通解为：求导得：将代入得： 2102012000,0,000 xx xx xxAxx因为初始条件为000000000costantanarctancosin0sxxxAxxxxAxxxt 2010coscosxtxtx txt 故3. m1和和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，均为的初始位移为零，而初始速度不为零，均为x0.初始条件为初始条件为 : 02121)0()0(, 0)0()0(xxxxx

23、这也是一个这也是一个对称的初始条件对称的初始条件.系统等效为：系统等效为：2m系统的响应：系统的响应：txtxtx11021sin)/()()(系统两个自由度以系统两个自由度以 1为频率做简谐振动。同时达为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的到极值，同时为零。它们之间的相位差为零相位差为零。 4. m1和和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，大小相的初始位移为零，而初始速度不为零，大小相等，均为等，均为x0 ，但方向相反。，但方向相反。 又是一个又是一个反对称的初始条件反对称的初始条件。 系统等效为：系统等效为：系统的响应：系统的响应：txtxtxtx22022201sin)/

24、()(sin)/()(系统两个自由度以系统两个自由度以 2为频率做简谐振动。同时达为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的到极值，同时为零。它们之间的相位差为相位差为p p。 小结：小结：对于对于任意的初始条件任意的初始条件 202101202,101)0()0()0()0(xxxxxxxx可以分解为如下的可以分解为如下的四种初始条件之和四种初始条件之和 ：1)0) 0() 0(2/ )() 0() 0(21201021xxAxxxx2)0) 0() 0(2/ )() 0() 0(21201021xxBxxxx3)1201021212/ )() 0() 0(0) 0() 0(Cxx

25、xxxx4)2102021212/ )() 0() 0(0) 0() 0(DxxxxxxtAtxtAtx1211cos)(,cos)(tBtxtBtx2221cos)(,cos)(tCtxtCtx1111sin)(,sin)(tDtxtDtx2121sin)(,sin)(根据叠加原理，图根据叠加原理，图34(a)所示系统在任意初始条件下的所示系统在任意初始条件下的自由振动响应为自由振动响应为: tDtCtBtAtxtDtCtBtAtx2121221211sinsincoscos)(sinsincoscos)()cos()cos()()cos()cos()(22211122221111tAtAt

26、xtAtAtxtAtxtAtx1211cos)(,cos)(tBtxtBtx2221cos)(,cos)(1121( )sin,( )sinx tCtx tCt1222( )sin,( )sinx tDtx tDt 由例由例3.3可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动始条件下的自由振动是简谐振动。是简谐振动。振动的特点振动的特点:系统的两个自由度以相同的频率振动，系统的两个自由度以相同的频率振动，它们之间的相位差为零或它们之间的相位差为零或p p，它们的坐标之比是与系统的，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。物

27、理参数有关而与时间无关的常数。1)这种振动称为系统的这种振动称为系统的固有振动。固有振动。2)这种这种坐标之比坐标之比称为称为固有振型固有振型，简称，简称振型。振型。3)固有振动时的频率称为系统的固有频率，振型与固有固有振动时的频率称为系统的固有频率，振型与固有频率是一一对应的频率是一一对应的。tAtxtAtx1211cos)(,cos)(tBtxtBtx2221cos)(,cos)(1121( )sin,( )sinx tCtx tCt1222( )sin,( )sinx tDtx tDt 二自由度二自由度系统存在系统存在两种频率的固有振动，两种频率的固有振动，因此有两个因此有两个固有频率，

28、两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。下无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系，关系，称为振型图。称为振型图。 例例3.3的振型图如图所示的振型图如图所示 tAtxtAtx1211cos)(,cos)(tBtxtBtx2221cos)(,cos)(1121( )sin,( )sinx tCtx tCt1222( )sin,( )sinx tDtx tDt 直接直接从系统的微分方程出发求出系统的固有频率

29、和振型。从系统的微分方程出发求出系统的固有频率和振型。 图示系统自由振动的运动微分方程为图示系统自由振动的运动微分方程为: 00021112121xxkkkkkkxxmm 设系统的固有振动时的解为设系统的固有振动时的解为 tAtxtAtxcos)(,cos)(22110002111112AAkkkkkkmm代入得：代入得：0002111112AAkkkkkkmm关于关于Al，A2的线性齐次代数方程组。如果有非零解，则需的线性齐次代数方程组。如果有非零解，则需满足：满足：0)(2111212mkkkkmkk二阶行列式展开得二阶行列式展开得 0)2)()()()(212121121212212mk

30、kmkkmkkkmkkkmkk解之解之得得mkkmk122212,mkkmk1212,1) 将将 1 1代入方程式代入方程式 得到得到 0002111112AAkkkkkkmm021111111AAkkkk令令 211121111AAuuuu1就是与就是与 1对应的对应的第一阶振型第一阶振型 00211111211111ukukukuk因此得到因此得到u11，u21的比值：的比值： 1/2111uu则则mkkmk1212,即即0)(0)(222121uMKuMKu1，u2乘上任一个非零的常数仍然满足式。乘上任一个非零的常数仍然满足式。所以：可把响应所以：可把响应x(t)看为向量空间中看为向量空

31、间中随时间变化随时间变化的的向量向量，振型振型u给出了空间中的给出了空间中的不随时间改变不随时间改变的一个的一个方向方向，振型，振型的大小需要人为给定。的大小需要人为给定。 固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚度矩固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚度矩阵决定，与外部激励无关，阵决定，与外部激励无关，是系统固有的性质是系统固有的性质。 0)(222ijijmkMK由由知：知：0)(2uMK)()()(21tgutgutgux得到了得到了 l，u1和和 2，u2后，可以解方程后，可以解方程0 xKxM 系统的解：系统的解：)cos()cos( )cos()cos()(22211122

32、221111tAtAutAutAutx设：设：2221121121 , uuuuuuu)(),(21txtx如果初始条件为如果初始条件为 )0()0(00 xxxx，则有则有 222111022110coscos)0(coscos)0(AAuxxAAuxx解出解出A1，A2和初始和初始相位相位 1， 2 通通解解两个解的线性组合两个解的线性组合A1u1 g1(t)+ A2u2 g2(t)cos()(tAtg)()()(21tgutgutgux令令,sincossincos000222221111122211211xxxAAAAbbbbB即：即：0Bux因此因此 01xuB用矩阵描述：用矩阵描述

33、：222111022110coscos)0(coscos)0(AAuxxAAuxx将将A1、A2、 1、 2和和 u 代入式代入式(3.14)，即可得到任意二自，即可得到任意二自由度系统无阻尼自由振动的解。由度系统无阻尼自由振动的解。 )cos()cos()cos()cos()(22211122221111tAtAutAutAutx求得求得bij后由下式计算各个自由度的振幅后由下式计算各个自由度的振幅A1，A2和初始相位和初始相位 1， 2 221222222221222111121211221121,bbtgbbAbbtgbbA归纳：二自由度无阻尼系统的求解方法归纳：二自由度无阻尼系统的求解

34、方法1、确定坐标系，并根据振动系统的动能、势能函数确定、确定坐标系，并根据振动系统的动能、势能函数确定质量、刚度矩阵质量、刚度矩阵系统的运动微分方程系统的运动微分方程2、获得系统、获得系统特征方程：特征方程： ，求得各阶固，求得各阶固有频率；有频率；3、将固有频率代回、将固有频率代回 ，确定振型；，确定振型；4、由振型得到变换矩阵、由振型得到变换矩阵u;5、0)(22MK0)(2uMK221222222221222111121211221121,bbtgbbAbbtgbbA)cos()cos()cos()cos()(22211122221111tAtAutAutAutx01xuB例例3.4 耦

35、合摆耦合摆 两个完全一样的单摆以弹簧两个完全一样的单摆以弹簧相联。单摆长相联。单摆长L，质量为，质量为m。解：解：取单摆与垂线的夹角取单摆与垂线的夹角 1 1， 2 2为描为描述系统运动的广义坐标。系统述系统运动的广义坐标。系统的动能和势能分别为的动能和势能分别为 )(21)(21)(21222122122212mgLLLkUmLET21 cos2sin22200mLmLMmgLkLkLkLmgLkLK2222特征方程为特征方程为 0)(222222222mLmgLkLkLkLmLmgLkL0)(22MK展开得到展开得到 0)()(22222kLmLmgLkLmkLgLg2,211)将将 1代

36、入广义特征值问题得代入广义特征值问题得 ：0)(2uMK02111222221112212222212uukLkLkLkLuumLmgLkLkLkLmLmgLkL得到：得到：2)将将 2代入广义特征值问题得代入广义特征值问题得 ：u11=u21=102212222222122222222222uukLkLkLkLuumLmgLkLkLkLmLmgLkL解得：解得： u12=-1， u22=1 ,1111u1111211u并有并有 0111 , 1011001 , 122222121mgLkLkLkLmgLkLuKummuMuTT考虑如下的初始条件考虑如下的初始条件 0)0(, 0)0(, 0)

37、0(,)0(21201即初始时只有一个杆有初始位移即初始时只有一个杆有初始位移 00000 x由式由式(3.17)可得到可得到 00210001111210000122211211xubbbbb01xuB由式由式(3.18)得得 p202101, 2/0, 2/AA221222222221222111121211221121,bbtgbbAbbtgbbA由式由式(3.14)得解为得解为 )cos()cos()cos()cos()(22211122221111tAtAutAutAutx)cos(cos21)(),cos(cos21)(21022101tttttt这时系统的动能和势能为这时系统的动能和势能为: tmLtmLttmLttttmLmLET2220222122021222221221202222112221120222212sin2121sin2121)sin2sin2(4121)sinsin()sinsin(4121)(21tmgLtmgLtkLmgLkLU222012202222222212212cos2121co