弯曲内力——材料力学

1、-5 -5 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图第七章第七章 梁的内力梁的内力-1 -1 梁的内力梁的内力-2 -2 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图-3 -3 剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系一、弯曲实例一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁： 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例FF火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：二、弯曲的概念：二、弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条

2、平面的曲线曲线。 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件- - 梁梁。三、平面弯曲的概念：三、平面弯曲的概念：qPMARBN受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）弯曲中心）。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q平面弯曲平面弯曲四四 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）M 集中力偶集中力偶1 1、悬臂

3、梁：、悬臂梁：2 2、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）ABFVAVBmmxQM1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。（弯矩）。AVACMQVBFC1. 剪力：剪力： Q 构件受弯时，横截面上存在构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。平行于截面的内力（剪力）。一、梁的内力一、梁的内力-剪力和弯矩剪力和弯矩Y=0 VA Q = 0 Q= VA mc=0 M VA x x= 0 M= V A x x第一节第一节 梁的内力梁的

4、内力QMAVACMQVBFC二、剪力二、剪力Q Q与弯矩与弯矩M M的正负号规定的正负号规定: :剪力剪力: :顺时针为正顺时针为正, ,逆时针为负。逆时针为负。弯矩弯矩: :使梁向下凸的变形为正使梁向下凸的变形为正, ,向上凸为负。向上凸为负。 （下弯为正，上弯为负。）（下弯为正，上弯为负。）二、弯曲内力的正负号规定二、弯曲内力的正负号规定: : 剪力剪力Q Q: : 弯矩弯矩M：QQQQM(+)M(+)M()M()QMAVACMQVBFC例例已知：如图，已知：如图，F，a，l。 求：距求：距A端端 x 处截面上内力。处截面上内力。RARBFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支

5、座反力）0R , 0FalmBA0R , 0BARFYlalFlFaRAB)(R ,ABFRARBmmx求内力求内力Q QMMQ Q 弯曲构件内力：弯曲构件内力：剪力，剪力，弯矩。弯矩。RAACFBYFClalFRA)(Q , 0Y. 0QRAxlalFxRMA)( , 0Cm. 0 xRMA研究对象：研究对象：m - m 截面的左段：截面的左段：若研究对象取若研究对象取m - m 截面的右段：截面的右段： , 0Y. 0BRFQ , 0Cm. 0)()(MxaFxlRB,)(lalFQxlalFM)( QM剪力和弯矩的简便算法剪力和弯矩的简便算法Y=0 Q+VB-F=0 Q=F-VB(1)梁

6、上任一截面上的剪力Q在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上所有外力代数和. Q=FQ(外力顺时针为正）M=0 VBb-Fa-M=0 M=VBb-Fa(2)梁上任一截面上的弯矩M在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和. M=MC（外力矩下弯为正）MQVBFCbabaVBFCABFRARBmmx求内力求内力RAACRBFCAQRFQxRmMAC研究对象：研究对象：m - m 截面的左段：截面的左段：若研究对象取若研究对象取m - m 截面的右段：截面的右段：BQRFFQ)()(xaFxLRmMBC1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122

7、例例 ：梁梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。解解：（：（1）确定支座反力）确定支座反力RARB032 . 18 . 0, 0BARRY)(9 . 2),(5 . 1kNRkNRBA(2) 1-1(2) 1-1截面左段右侧截面截面左段右侧截面：065 . 18 . 05 . 432 . 1, 0BARM2-22-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面：9 . 25 . 12 . 12Q)( 1 . 1kN75. 05 . 12 . 15 . 12BRM75. 05 . 12 . 15 . 19 . 2)(0 . 3mkNRA8 . 0BRq Q Q1 1=R=RA A-0.8

8、=0.7-0.8=0.7 M M1 1=R=RA A2-0.80.80.5=2.60.5=2.61M一、剪力方程、弯矩方程一、剪力方程、弯矩方程： 注意注意： 不能用一个函数表不能用一个函数表达的要分段，分段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。力的起点、终点。)(xQQ 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为变化规律的图形则分别称为剪力剪

9、力图图和和弯矩图弯矩图。LqAB,qxQ,21)(2qxxM)0(lx )0(lx xQxxql25 . 0 ql第二节第二节 剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图MQxFFQ 解解：求支反力求支反力)( )()(LxFxLFMxVxMAA写出内力方程写出内力方程FL MFVAA ; 根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。FAB)0(lx )0(lx VAMALxxM(x)FL注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正的弯矩值绘在绘在x x轴的下方轴的下方( (即弯矩值绘即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧) )。例例 图示简支梁受集度

10、为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlVVBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程qxqlqxVQA2 2222qxqlxxqxxVxMAxVBVAVAxAqBlAqql 2Q ql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2maxqlQ82maxqlM 222qxqlxxMqxqlQ2BlAq* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值。例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯

11、矩图和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力lFbVAlFaVB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BVBVAxlAF abCAC段段CB段段 lxalFaVxQB axlFbVxQA0 lxaxllFaxlVxMB)( axxlFbxVxMA0VAxAVBBF L-XBVBVAxlAabCx3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2 lFbxQ1 xlFbxM1 lFaxQ2Q Fb/LxFa/LMxFab/lF bBVBVAxlAaCxFS FblxFa/lMxFabl为为极极大大值值。时时，42/maxFlMlba* 在 集中力F

12、 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAF abC例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMVAe lMVBe0AM0elVMAMe VA VBBlACab2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：lxlMVQA0e弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxVxMAe )(xLVxMBlxaax 0VA VBxAVAxBlACabVBBL-xx3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图

13、ba时时lbMMemax lMxQe发生在发生在C截面右侧截面右侧QlxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 0解解：1、支反力2、写出内力方程),(2)(:1kNVxQACA1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2VAVB)( 2);( 20432121, 00212, 0kNVkNVVMVVYBAABBA 例例 画出梁的内力图。),.(2)(111mkNxxVxMA, 0222)(:2AVxQCD,21)(:333xxVxQBCB),.(2) 1(2)(222

14、mkNxxVxMA,2221)(2333333xxxxxVxMB3、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxQ(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxQBCxxMxxQCDxxxMxxQAC，2kN.m2kN.mM(x)第三节第三节 剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系1 1、支反力：、支反力：2qlVVBALqVAVB2 2、内力方程、内力方程qxql

15、xQ21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3 3、讨论如下、讨论如下qxqldxxdM21)(qdxxdQ)(x),(xQ)(xqAVA对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：0)(dQ)(d)()(0 xxQxxqxQY)(dQd)(xxxqdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+dQ (x)Q(x)M(x)dxAy xqxxddQ 剪力图上某点处的切线剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大斜率等于该点处荷载集度的大小。小。 q(x)M(x)+d M(x)Q(x)M(x)dxAy, 0)(iAFm)(d)(dxQxxM 弯矩图上某点处的切

16、弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxM0)(d(21)()dQ(-)(d)(2xxqxMxxxMxMQ(x)+dQ (x) xqxxddQ)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxMq、Fs和和M三者三者的微分关系的微分关系二、微分关系的应用二、微分关系的应用-作作Q 图和图和 M 图（用于定形）图（用于定形）2 2、q(x) = c = c：1 1、 q(x) = 0 0：Q 图：图：M图：图： xqxxddQ)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxMQ 图：图：M图：图：3 3、集中力、集中力P P作用，作用，Q Q图

17、突变；力偶图突变；力偶M Mo o作用，作用， M M图突变。图突变。例题例题7-57-5试画出梁剪力图和试画出梁剪力图和弯矩图。弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00CMY ，求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaRqaRCB5 . 0,5 . 22 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左左侧的截面，也都是控制面。侧的截面，也都是控制面。 qBA

18、RBRCqaC（+）（-）QxOMxqa5 . 1qa5 . 02qaqBARBRCqaCqa2125. 0qa（-）（+）X=Q/q=1.5a截面的弯矩可以等于该截面左侧剪力图面截面的弯矩可以等于该截面左侧剪力图面积代数和积代数和(或右侧剪力图面积代数和的负数或右侧剪力图面积代数和的负数)X=Q/q=0.5a1.50.5BBCCABQqaBCQRqaqaQRqa段：段：222000.50.50.50.50.1252ABBCDABMMqaMqaMMqaaqqa段：；BA1.5m1.5m1.5mVAVB1kN.m2kN例题例题5-65-6 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图

19、示。试画出其剪力图和弯矩图。试画出其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 V VA0.89 kN , VB1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 (+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 Qx x 和和 M Mx x 坐标坐标系系 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4

20、4应用截面法确定控制应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并面上的剪力和弯矩值，并将其标在将其标在 Q x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xQO0.89 kN=1.11 kN控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：三、简易法作内力图： 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值利用积分关系定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内

21、力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值定值 212121)()()()()(dd1s2ssssxxxxQQdxxqFFdxxqxdFdxxqxdFxqxxF 212121)()()()()(dd12xxsxxsMMssdxxFMMdxxFxdMdxxFxdMxFxxM 梁上任意两截面的剪力梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包差等于两截面间载荷图所包围的面积围的面积 梁上任意两截面的弯矩梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包差等于两截面间剪力图所包围的面积围的面积积分关系积分关系:

22、: 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图、画内力图Fym223; 0qamFYABCsFxsFsF, ,0qaqaFcs,qaFAs右右；, 0qq 0,；M,2qaMB, 0AM;5 . 12qaMC,qaFBsMqa2(Fs 0, 所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜)(

23、 积分关系积分关系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )M;5 . 12qa例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 1. 受力分析受力分析特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零2. 画画 FS 图图水平直线水平直线3. 画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM MFa/2-Fa/

24、23Fa/2四、平面刚架和曲杆的内力图四、平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆横截面上的内力有：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。1、刚架刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点刚性接头的特点： 约束约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力受力既可传力，也可传递力偶矩既可传力，也可传递力偶矩2、平面刚架内力图规定、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画在各杆的受拉拉一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。 剪力

25、图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明 正、负号。正、负号。3、平面曲杆：、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件轴线为一条平面曲线的杆件。 4、平面曲杆内力图规定：、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉拉的一侧。的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。：与平面刚架相同。内力分析内力分析1. 外力分析外力分析 0 , 0 , 0 yAxFMF /2 ,qaFFqaFAyCyAx 2. 建立内力方程建立内力方程BC 段：段： ,2S1qaF AB 段：段： ,2S2qxF 2N2qaF 112xqaM 22222xqaqaM 3. 画内力图画内力图2S2S1 ,2qxFqaF 2 , 0N2N1qaFF 2221122 ,2xqaqaMxqaM 弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受拉一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连