内切球与外接球习题讲义教师版(同名4193)

1、 内切球与外接球习题讲义教师 版（同名4193）立体几何中的“内切想与“外接詹 问题的探究 1球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合, 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然 后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图 1 所示，正方体恥 CD-设正方体的棱长为 S E E、F”GF”G为 棱的中点，O为球的球心。 常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 和其内切圆，则|O/| =送; 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形创刃 G 和其外接圆，则 0606 三是球为正方体的外接球，截面图为

2、长方形ACCACC A A 和其外接圆，则 通过这三种类型可以发现， 解决正方体与球的组合问题， 常用工具是截 面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位 置关系， 确定好正方体的棱与球的半径的关系， 进而将空间问题转化为平 面问题 團 I 例 1 棱长为 1 的正方体ABCDABCD- -ACAC的 8 个顶点都在球 O 的表面上， E F 分别是棱曲“ Dp 的中点，则直线 EF 被球 0 截得的线段长为（ ） A. 氏 1 J 1 + D 4141 2 2 幫由籬囂可知，球为正方体的外播跋.平而曲oq蔵而用囁园而时半径 毗弓二 ：遊匚醐.-.戲辭爾 0 瞬般锻牌的

3、EffiSSB 徑 2 紅扭 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球但是不一定存在 内切球设长方体的棱长为低九 s 其体对命线为 f当球为长方体的外接球 时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一 样的，故球的半径R R = J= J甘弐乂 2 2 2 例 2 在长、宽、高分别为 2, 2. 4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意 摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（） 利用运动的鏡点.分析在小球移动的过程申.进谊部分的几何体+因半径为1的小球哈好为棱长为2的正 肯体的内切球故小球经过空间由上往下看先t半个小球、高沟2的圆柱和半个丿卜

4、球，三跳分的障积齿】 xl3 x丄？2+心1 x2= 3 2 3 L 3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例, 介绍本类题目的解法 - 构造直角三角形法。设正三棱柱ABCABC- -A,BA,B G 的高 为加底面边长为-如图 2 所示，D 和。分别为上下底面的中心。根据几 何体的特点，球心必落在高弘的中点心决如”弊借助直 角三角形理 0D 的勾股定理， 可求/?= O 例3正四棱柱ABCDABCD- -A A、B B、CpCp的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱 的侧面积有最 _ 值，为 _ , 联 如图 3,就面圈再按行形和其外接陽.球心两左爲的

5、中点 O, 则R = OA.设正四犧柱的倒棱扶育 B，底面边长次八 则 AC = 辰山总=亞么倔=冬 0 =（亚 ay +（兰）2, 2 2 2 2 4/?a = 2aa+Aa.则正四按桂的侧面积： E 4aZ? = %/2 27 M -%/2 （22 + 2 口）= *4-/2J?2, 故側窗积套眼大値，珀 A亚或 当且仅当 c = 凸时等母硕立. 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充 分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和 高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2. 1 球与正四面体 正四面体作为一个规则的

6、几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且 两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图 4,设正四面体S S- -ABCABC的棱长为门， 内切球半径为厂，外接球的半径为 心 取恋的中点为 E为 S在底面 的射影，连接CD.SD.CD.SD.SESE为正四面体的 高。在截面三角形 SDC,作一个与边 SD 和 QC 相切，圆心在高隨上的圆，即 为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为 o。此时, 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离 5 得：-手务这个解法是通过利用两心合一的思路

7、，建立含有两个 球的半径的等量关系进行求解同时我们可以发现，球心O为正四面体高的 四等分点如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便 图4 例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里， 这个正 四面体的高的最小值为（） A.Zzi B. 2+ 工 C. 4+ D. 也痘 3 3 3 3 “容購四面悴中的逑四于小球.以四心 海湘球心油顶点构咸了一个棱左湘2的&球心 H 四面悴 这个四更悴的离是M単谊正四面悴十高I 尊）的空倍目口湘里5. “球心正四页悴严 的底面到“容离正四 面悴”的地面为小球半锂1-而球心 H 四而悴”顶庶到 灯容霸正四面悴”购顶点.刖距离两3 （小

8、球半径购 3 于足“容器正四面悴”的高先粵5 4了+ 1”选择C.遠十 心卜球半律的3佶 R 是这样想的，徹一个小 的 3倍. 2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题， 主要是体现在球为三棱锥 的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方 体。常见两种形式： 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图 5,三棱锥A-ABQ的 外接球的球心和正方体ABCD - A1B1C1D1的外接球的球心重合，设AA a，则 c 3 R a。 2 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可

9、以补形为一个长 2 2 2 2 方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心， R2謔 b c L 4 4 （l为长方体的体对角线长）。 CO =OS =R,OE =r,SE 3a,CEa,则有 RR2-宀 2 CE2E，解 6 例5 在正三棱锥SABC中，M M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM _MN ,若侧棱S2.3 ,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积 例6在三棱锥P ABC中, PQ PB=PC=3 ,侧棱PA与底面ABC所成的 角为60,则该三棱锥外接球的体积为（ ） 2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类， 一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，

10、根据截 面图的特点，可以构造直角三角形进行求解 二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四 个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 R .这样求球的半径可 2.4球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用 截面法、补形法、等进行求解。 例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何 特征，巧定球心位置。转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱 锥的体积和为正三棱锥的体积三梳锥S- -ABCABC外揍球蝕表面积是 _ . 如團m正三楼锥对蟻相互垂直，即話（7丄艮敦 册#盤7讥. 辺/丄（7.又

11、沁f丄川K. 辺Z丄平面浙 U 于杲册丄平面谢 U. 册丄册.册丄SCSCr r U而册丄EC. 此时正三棱SE S S- -ABGABG的三族訓檯亙相垂直并且相等，故捋 H 三棱锥!卜册光1E方体一球的半径 SA* R 吕=房=36?r a 兀 B. C. 4 3 解畀图 7所示，过 F点作底而的 0 的垂娃，垂足肉 O, 设H为外播球的球心，连播AHfAOt因 如图8,三棱锥SABC,满足SA_面ABC , AB _ BC ,取SC的中点为 3球与球 7 对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的 空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小 球的球心

12、的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题 求解. 例8在半径为的球内放入大小相等的 4个小球，则小球的半径的最大值为 () 例二在半径为R的球内施入夫勺唏目等的 4个小球，则小球半径尸的最丈值次( ) H (yfl1)2E B .(寸2)7? C.-D. -z-xt 慕使霜小球的半径最天.需便得 4个小球的球心丸一个正四面体的 四个顶点如图日所示，此时正四面A-BCD的外接球的域心为 即先半径共 J 尺的球的球心.则AO = R-r,又因OJAO1的四分点故 4 AOX =(R-r), 在 RtLABO、 中 ， 加=比BO, = |辰店一 r)x|2 =(纣_(|屈巴 r =

13、 (/6-2)RO，由直角三角形的性质可得： OA = OS=OB=OC,所以0点为三棱锥 S - ABC的外接球的球心,则 SC 2 B - AC - D ,则四面体ABCD的外接球的体积是（） 125 125 125 A. B. C. D. 12 9 6 125 - n 3 幣 由题意分析可班四面体屈 CQ的外接球的球心落在加的中点，此时満足创= = = 一_4 _125 R = j r JlR 7T t 2 2 3 6 例7矩形ABCD中，AB =4,BC =3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 8 4球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质

14、，达到 明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 r = a 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： 4 . 例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四 棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（） A. 10.3cm B. 10cm C. 10.2cm D. 30cm 综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转 体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则 作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点 放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住

15、内接的特点， 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于 数形结合进行转化，问题即可得解. 如果是一些特殊的几何体，如正方体、 正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确. ft：如图 11所示，由题意球心在妙上，球心再 6 过 O作 EF削 垂线 ON垂足兀 N, 氏 因決 I各牛檢部为恥，所 L2A EP=2O,BM=IOT 设= u* 在 JiiA EFM 中，S2 = BM2 + PM2，所厲 = 10若.在甩也 FAK 中PM2 = AM2+AP2 ,所以 PA= 在应也 ABF 中* sin a = = 2. = 2 ,在 ONP 中黒:;=空=仝

16、_,所以 BP 20 2 OF OP ,所以忑氏.在馳匕 0酬 中，OM2 AO+AM2,所以，应* = (100-血尺尸+ 100, 解得，应=1D或30 舍），所UA.尺=13陶,故选E.p 9 解：在 ABC中AB二AC =2, . BAC =120 ,可得BC =2. 3 BC =2. 3 , ,由正弦定理，可得 答案 C ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O,在RT OBO中， 易得球半径R 、5，故此球的表面积为4二R2 =20二. 3 .正三棱柱ABC - ABC内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为二， 则正三棱柱的体积为 答案8 4.表面积为2,3的正八面体

17、的各个顶点都在同一个球面上，贝眦球的体积 为 A . _： B . 1 : C . 2 二 D .红2 : 3 3 3 3 答案A 7. （海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形， 知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 卫，底面周长 8 为3,则这个球的体积为 _ . 答案- 3 8. （天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且一个顶点上的 三条棱的长分别为1, 2, 3,则此球的表面积为 _ 答案 14 n 9. （全国H理） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm的球面上。如 果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2 2

18、外接球内切球问题 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由 1.（陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上, 其中底 面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ A 3、；3 B 3 C 寸3 4 3 * 4 答案 B ) 12 8上=2、3知，a = 1，则此球的直径为.2，故选A。 4 5.已知正方体外接球的体积是旻二，那么正方体的棱长等于（ ） 3 A.2 . 2 B. 2 2 3 V C. 4. 2 D. 2.直三棱柱ABC -ABQ的各顶点都在同一球 AB =AC =AA =2 , BAC =120，则此球的表面积等于 答案D 6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 （） A. 1 :、3 B. 1 : 3 C. 1 : 3 3 D. 1 : 9 其侧棱垂直底面.已 10 12.（枣庄一模） 面积为 A. 3_： 16: C. 3 答案C 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体外接球的表 B. D. 以上都不对 10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P-ABCDEF,则此 正六棱锥的侧面积是 _ . 答案 6、7 13.（吉林省吉林市