第5节排列组合解题技巧

1、排列组合的的解题技巧一、准备工作：排列组合知识要点分析（一）基本原理1.分类计数原理：做一件事，完成它可以有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，在第 类办法中有 种不同的办法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的办法，那么完成这件事共有：  种不同的方法。3.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”：（1）对于加法原理有以下三点：“斥”互斥独立事件；模式：“做事”“分类”“加法”关键：抓住分类的标准进行恰

2、当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。（2）对于乘法原理有以下三点：“联”相依事件；模式：“做事”“分步”“乘法”关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。（二）排列1排列定义：一般地说从 个不同元素中，任取  个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中，任取 个元素的一个排列。特别地当 时，叫做 个不同元素的一个全排列。2排列数定义：从 个不同元素中取出  个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示。3 排列数公式（三）组合1组合定义：一般地说从 个不同元素中，任取  个元素

3、并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。2组合数定义：从 个不同元素中取出  个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示。3 组合数公式4组合数的两个性质 （四）排列与组合的应用1.排列的应用问题（1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。（2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。2组合的应用问题（1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。（2）有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。3排列、组合的综合问题排列组合的综合问题，主要是排

4、列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：（1）限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。（2）限制条件的组合问题常见命题形式：“含”与“不含”“至少”与

5、“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。（3）在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。4、解题步骤：（1）认真审题：看这个问题是否与顺序有关，先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题，还应考虑以下几点：在这个问题中 个不同的元素指的是什么？ 个元素指的又是什么？从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列（或组合）对应的是什么事件；（2）列式并计算；（3）作答。二、学习过程题型一：排列应用题9名同学站成一排：（分别用A，B，C等作代号）（1） 如

6、果A必站在中间，有多少种排法？（答案： ）（2） 如果A不能站在中间，有多少种排法？（答案： ）（3） 如果A必须站在排头，B必须站在排尾，有多少种排法？（答案： ）（4） 如果A不能在排头，B不能在排尾，有多少种排法？（答案： ）（5） 如果A，B必须排在两端，有多少种排法？（答案： ）（6） 如果A，B不能排在两端，有多少种排法？（答案： ）（7） 如果A，B必须在一起，有多少种排法？（答案： ）（8） 如果A，B必须不在一起，有多少种排法？（答案： ）（9） 如果A，B，C顺序固定，有多少种排法？（答案： ）

7、题型二：组合应用题若从这9名同学中选出3名出席一会议（10） 若A，B两名必在其内，有多少种选法？（答案： ）（11） 若A，B两名都不在内，有多少种选法？（答案： ）（12） 若A，B两名有且只有一名在内，有多少种选法？（答案： ）（13） 若A，B两名中至少有一名在内，有多少种选法？（答案： 或 ）（14） 若A，B两名中至多有一名在内，有多少种选法？（答案： 或 ）题型三：排列与组合综合应用题若9名同学中男生5名，女生4名（15） 若选3名男生，2名女生排成一排，有多少种排法？（答案： ）（16） 若选3名男生2名女生

8、排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？（答案： ）（17） 若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？（答案： ）（18） 若男女生相间，有多少种排法？（答案： ）题型四：分组问题      6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（19） 一堆一本，一堆两本，一堆三本  （答案： ）（20） 甲得一本，乙得两本，丙得三本  （答案： ）（21） 一人得一本，一人得两本，一人得三本   （答案： ）（22） 平均

9、分给甲、乙、丙三人    （答案： ）（23） 平均分成三堆    （答案： ）（24） 分成四堆，一堆三本，其余各一本  （答案： ）（25）分给三人每人至少一本。 （答案： + + ）题型五：全能与专项    车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？题型六：染色问题（26）梯形的两条对角线把梯形分成四部分，用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色，且相邻的

10、区域不同色，问有（      ）种不同的涂色方法？（答案：260）（27）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现在栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有     种。分析：先排1、2、3排法 种排法；再排4，若4与2同色，5有 种排法，6有1种排法；若4与2不同色，4只有1种排法；若5与2同色，6有 种排法；若5与3同色，6有1种排法所以共有 （ + +1）=120种题型七：编号问题（28）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中

11、，则恰有一个空盒的放法共有多少种？     （答案：144）（29）将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？（答案：9）题型八：几何问题（30）：（）四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？（）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解：（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有 种取法，含顶点A的三条棱上各有三个

12、点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法。根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有 +3=33（种）（2）（间接法）如图，从10个顶点中取4个点的取法有 种，除去4点共面的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上的6个点取出4点必定共面。有 =60种，四面体的每一条棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分）故4点不共面的取法为      -（60+6+3）=141题型九：关于数的整除个数的性质： 被2整除的：个位数为偶数； 被3整除的：各个位数上的数字之和被3整除；

13、 被6整除的：3的倍数且为偶数； 被4整除的：末两位数能被4整除； 被8整除的：末三位数能被8整除； 25的倍数：末两位数为25的倍数； 5的倍数：个位数是0，5； 9的倍数：各个位数上的数字之和为9的倍数。 （31）：用0,1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中5的倍数有多少个？（答案：216）题型十：隔板法：（适用于“同元”问题）（32）：把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？分析：把12本笔记本排成一行，在它们之间有11个空当（不含两端）插上6块板将本子分成7份，对应着7名同学，不同的插法就是不同的分法，故有 种。三、在线测试题1以一个正方形的顶点为顶

14、点的四面体共有（  D    ）个（A）70（B）64（C）60（D）5823名医生和6名护士被分配到3所所为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（  D  ）（A）90种   （B）180种  （C）270种  （D）540种3将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，则不同的名额分配方法共有（  A  ）（A）    （B）    （C）   &#

15、160; （D） 45本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（  B ）（A）480   （B）240  （C）120    （D）965编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，至多有两个号码一致的坐法种数为（   C  ）（A）90   （B）105   （C）109    （D）1006如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色

16、，现在4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ B  ）种（用数字作答）（A）48   （B）72    （C）120   （D）367若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（  A  ）。（A）19  （B）20   （C）119  （D）608某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积分33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有（  D  ）（A

17、）6 种    （B）5种   （C）4种    （D）3种四、课后练习110个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于盒子的编数，问有           种不同的放法？2坐在一排9个椅子上，相邻两人之间至少有2个空椅子，则不同的坐法的种数是           3如图A，B，C，D为

18、海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有           种。4面直角坐标系中，X轴正半轴上有5个点，Y轴正半轴有3个点，将X轴上这5个点或Y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有         个。5某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.5元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最小，且邮资恰为7.5元，则至少要购买       张邮票。6（1）从1，2，30这前30个自然数中，每次取出不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个能被3整除的四位数。（3）在1，2，3，100这100个自然数中，每次取出三个数，使它们构成一个等差数列，问这样的等差数列共有多少个？（4）1！