有限元原理及其应用学习教案

1、会计学1有限元原理有限元原理(yunl)及其应用及其应用第一页，共46页。2021-12-162第2章 预备(ybi)知识 第3节 内积空间(kngjin) 第2节 线性空间(kngjin) 第4节 索伯列夫空间HK Institute of Mechanical Engineering and Automation第6节 小结 第1节 概述 第5节 Galerkin变分原理和Ritz变分原理 第1页/共46页第二页，共46页。2021-12-163第1节 概 述 本章介绍关于有限元方法的一些数学(shxu)概念和结论，目的在于对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。对于有限元方法

2、的数学(shxu)研究，目前已进行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著1,2。实际上有限元解是有限元插值函数的线性组合，因此，有限元解空间为函数空间(即某种函数的集合)。 相关的概念可以从泛函分析书籍中了解3。概述(i sh)Institute of Mechanical Engineering and Automation1李开泰,黄艾香, 黄庆怀. 有限元方法(fngf)及其应用M. 西安:西安交通大学出版社, 1992.2陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论M. 长沙: 湖南科学技术出版社, 19953李广民, 刘三阳. 应用泛函分析原理M. 西安: 西安电子科技大学出

3、版社, 2003第2页/共46页第三页，共46页。2021-12-164第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的定义 Institute of Mechanical Engineering and Automation第3页/共46页第四页，共46页。2021-12-165第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的定义 Institute of Mechanical Engineering and Automation第4页/共46页第五页，共46页。2021-12-166第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的维数 Institute of

4、 Mechanical Engineering and Automation第5页/共46页第六页，共46页。2021-12-167第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的维数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第6页/共46页第七页，共46页。2021-12-168第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的模/范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第7页/共46页第八页，共46页。2021-12-169第2节 线性空间(kng

5、jin)线性空间(kngjin)的模 /范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第8页/共46页第九页，共46页。2021-12-1610第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的模/范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第9页/共46页第十页，共46页。2021-12-1611第2节 线性空间(kngjin)线性空间(kngjin)的模/范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第

6、10页/共46页第十一页，共46页。2021-12-1612第3节 内积空间(kngjin)内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第11页/共46页第十二页，共46页。2021-12-1613内积模/范数Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间(kngjin)第12页/共46页第十三页，共46页。2021-12-1614正交性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间(kngjin

7、)第13页/共46页第十四页，共46页。2021-12-1615正交性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间(kngjin)第14页/共46页第十五页，共46页。2021-12-1616许瓦兹不等式Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间(kngjin)第15页/共46页第十六页，共46页。2021-12-1617收敛性与完备(wnbi)性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3

8、节 内积空间(kngjin)第16页/共46页第十七页，共46页。2021-12-1618收敛性与完备(wnbi)性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间(kngjin)第17页/共46页第十八页，共46页。2021-12-1619Sobolev空间(kngjin)HK定义Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第18页/共46页第十九页，共46页。2021-12-1620Sobolev空间(kngjin)HK定义In

9、stitute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第19页/共46页第二十页，共46页。2021-12-1621Sobolev空间(kngjin)HK定义Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第20页/共46页第二十一页，共46页。2021-12-1622Sobolev空间(kngjin)HK定义Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫

10、空间(kngjin)HK 第21页/共46页第二十二页，共46页。2021-12-1623Sobolev空间(kngjin)HK的模/范数Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第22页/共46页第二十三页，共46页。2021-12-1624Sobolev空间(kngjin)HK的半模/范数Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第23页/共46页第二十四页，共46页。2021-12-1625能量

11、(nngling)模/范数和能量(nngling)内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第24页/共46页第二十五页，共46页。2021-12-1626能量(nngling)模/范数和能量(nngling)内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第25页/共46页第二十六页，共46页。2021-12-1627能量(nngling)模/范数和能量(nngling)内积Institute o

12、f Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第26页/共46页第二十七页，共46页。2021-12-1628能量(nngling)模/范数和能量(nngling)内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间(kngjin)HK 第27页/共46页第二十八页，共46页。2021-12-1629Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl)

13、椭圆型PDEs实例(shl)考察具有(jyu)定解的椭圆型偏微分方程边值问题) 1 (),(),(),( 0 ),( ),(),(),( 21yxguyxnuyxpuyxyxfyuyxpyxuyxpx 其中p ( x, y)一阶连续可导，且p ( x, y) p00, ( x, y) 0且连续，n是的外法线方向，是R2中的连通区域，它的边界= 1 2分段光滑。记C1()和C2()分别为上一切一阶和二阶连续可导函数的全体。 如果函数u ( x, y) C2()，并且具有一直到边界上的一阶连续导数，同时u ( x, y) 在内和边界上满足偏微分方程，那么u ( x, y) 称为该方程的古典解。绝大

14、多数PDEs求不出第28页/共46页第二十九页，共46页。2021-12-1630Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) 椭圆型PDEs实例(shl)(2) dd)( 2222, 1yxuuuuyx 古典解要求过严，为解出方程，必须扩大解的范围，为此，在线性解空间中引入范数 完备化C1()所得到的空间为H1()，在该空间中定义内积(3) dd)(, 1yxvuvuvuvuyyxx 则H1()亦为Hilbert空间。 记D ()为上一切无限可微且支集在内函数的全体，将D ()赋予范

15、数和内积，得到的空间记为H10( )。第29页/共46页第三十页，共46页。2021-12-1631Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) 椭圆型PDEs实例(shl)在内分片一阶光滑，,中赋予范数，完备化得到的空间等价于：(4) 0|),(|11uHuuV在V中引入内积，则V也是一个Hilbert空间，且： )( )(110HVH引入双线性泛函(5) )(, d dd)(),(12HvusuvyxvpuvpuvuByyxx所谓双线性泛函，即固定u时，B(u,v)是v的线性泛函，

16、而固定v时，则是u的线性泛函。换言之，若1,1, 2,2为任意常数，则第30页/共46页第三十一页，共46页。2021-12-1632第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) 椭圆型PDEs实例(shl)Institute of Mechanical Engineering and Automation(6) )(, , ),(),(),(),(),(12121222212122121111122112211HvvuuvuB vuB vuB vuB vvuuB可以证明B(u,v)具有以下性质：(1)对称性(7) ),(),(uvBvuB(2)在VV上连续，即存在一个常数M0，使得

17、(8) , ),(1,1,VvuvuMvuB(3)在V上具有强制性/正定性，即存在一个常数0，使得(9) ),(21,VuuuuB(8a) , ),(VvuvuMvuB(9a) ),(2VuuuuB式(8a)(9a)表示有界性和强制性对任意引入的范数|均成立。有界性第31页/共46页第三十二页，共46页。2021-12-1633Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) 椭圆型PDEs实例(shl)再作v的连续线性泛函：(10) ddd)(2sgvyxfvvf式(1)相应的变分问题就

18、是：求uV，使得(11) )(),(VvvfvuB 满足式(11)的解u称为原椭圆型偏微分方程的弱解，将弱解所在的空间称为容许空间/试函数空间。同时由于式(11)必须对V中任一元素v都成立，故V称为检验空间。上述问题其容许空间和检验空间取同一个Hilbert空间V，这时V又称为能量空间。第32页/共46页第三十三页，共46页。2021-12-1634Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) 古典(gdin)解和弱解的关系 作二次泛函古典解和弱解的关系：若u C2()是椭圆偏微分方程

19、式(1)的古典解，则u必为变分方程式(11)的弱解。反之，若变分方程式(11)的解为u，且u C2() ，则u也是式(1)的古典解。 注：该关系具有严格的证明，证明可见1。1李开泰,黄艾香, 黄庆怀. 有限元方法及其应用M. 西安:西安交通大学出版社, 1992. 式(12)称为椭圆偏微分方程边值问题式(1)的Galerkin变分形式，其解的存在性由Lax-Milgram定理1保证。(12) )(-),(21)(vfvvBvJJ(v)的极小值问题就是求u V,使得(13) )( min)(vJuJVv第33页/共46页第三十四页，共46页。2021-12-1635Institute of Me

20、chanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin和Ritz解关系(gun x)式(13)称为椭圆偏微分方程式(1)的Ritz变分形式。 设V是Hilbert空间，B(u,v)是V V上满足条件式(7)、式(8a)、式 (9a)的双线性泛函，f是V上线性连续泛函，J(v)为式(12)所定义的二次泛函，那么，Galerkin变分形式(11)和Ritz变分形式(13)两个问题中(1) 任何一个问题有解，则解多于一个(2) 任一个问题的解，必式另一个问题的解Galerkin变分形式和Ritz变分形式解及其关系

21、定理：下面给出该定理的详细证明第34页/共46页第三十五页，共46页。2021-12-1636Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin和Ritz解关系(gun x)第35页/共46页第三十六页，共46页。2021-12-1637Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin和Ritz解关系(gun x)第36页/共46页第三十七页，共46页

22、。2021-12-1638Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin和Ritz解关系(gun x)第37页/共46页第三十八页，共46页。2021-12-1639Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin和Ritz解关系(gun x)(3) 由于Galerkin解具有唯一性，则Ritz解唯一性由Galerkin解和Ritz解的等价性得到。

23、 证毕。第38页/共46页第三十九页，共46页。2021-12-1640Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin和Ritz解关系(gun x) 相当广泛的一类椭圆偏微分方程边值问题，都存在与之对应的对称、连续、有界、强制的双线性泛函，使得边值问题的弱解，对应一个Hilbert空间上的抽象变分。对于这一类问题的研究是从事有限元研究的应用/计算数学研究者主要工作，即推导(tudo)出方程的计算格式。第39页/共46页第四十页，共46页。2021-12-1641Inst

24、itute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin逼近(bjn)解推导 有限元数值分析方法的任务就是将工程实践中抽象出来的PDEs离散为代数方程，即将无穷维空间中的问题转化到有限维子空间中来，然后求其近似解。 以本节给出的椭圆型偏微分方程为例，推导其Galerkin逼近解。 设Vh是V的有限维子空间，当h0时， Vh的维数无限增加，直到充满V为止。那么，Galerkin变分问题式(11)逼近解uhVh，使得(14) )(),( VvvfvuBhh设Vh的基函数系为nii1第40页/

25、共46页第四十一页，共46页。2021-12-1642Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin逼近(bjn)解推导 设Vh是V的有限维子空间，当h0时， Vh的维数无限增加，直到充满V为止。那么，Galerkin变分问题式(11)逼近解uhVh，使得(15) 11iniiiniihbvau其中，ai,bi Rn。将式(15)代入式(14)，得)(),()(),(111111iniiijnjjniiiniiiniijnjjfbBabbfbaB第41页/共46页第四十

26、二页，共46页。2021-12-1643Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理(yunl) Galerkin逼近(bjn)解推导由bi的任意性，可得0)(),(11iijnjjniifBab)16( 321 )(),(1,n, ifBaiijnjj令)17( )( ),(iiijijfFBK)18( 321 1,n, iFaKijnjij则 式(18)是对应于Galerkin变分形式的线性代数方程组，求解可得Galerkin逼近解。第42页/共46页第四十三页，共46页。2021-12-1644