经典母题30题解析1期

1、2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一经典母题30题(第一期)1设复数，则的共轭复数是( )ABCD【答案】D【解析】由题可知，故z1i的共轭复数为z1i；2已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为()ABCD【答案】B【解析】因为f(x0)0，所以x022x030，解得：1x03，所以使f(x0)0成立的概率是，故选B3的二项展开式17个项中，整式的个数是()A1B3C5D7【答案】B【解析】二项展开式的通项为，要使得它为整式，则与均为非负整数，即，k6，8，10，故有三项，选B.4在边长为的正三角形中，设，若，则的值为()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由题意

2、可得：，所以.5.设的内角，所对边的长分别是，且，.则的值为()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】由题意可知：，所以，由余弦定理可得：即，所以，所以.6.将函数()的图象分别向左.向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】将函数(0)的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为y2，将函数(0)的图象向右平移个单位后，所得图像的解析式为，由于所得的两个图象的对称轴重合，则，或，解得不合题意，解得：2k，kZ，则的最小值为2，故选C7.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A的图像上 B的图像上C的图像上 D的图像上【答案】D【解

3、析】由题可知，输入x1，y1，由于14，输出点(1，1)，进入循环，x112，y2×12，由于24，输出点(2，2)，进入循环，x213，y2×24，由于34，输出点(3，4)，进入循环，x314，y2×48，由于44，输出点(4，8)，进入循环，x4154，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)点(4，8)满足均在函数的图像上；8.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f '(x)是函数yf(x)的导数，f ''(x)是f '(x)的导数，若方程f ''(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(

4、x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则()A1B2016C2015D2014【答案】D【解析】依题意得：，由，可得x，而g()1，即函数g(x)的拐点为(，1)，即g(1x)g(x)2，所以2所以所求为，故选D9.若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】作出可行域，求出点的坐标，；恒过点，所以当直线经过的中点时，直线将平面区域分成面积相等的两部分，则，解得.10.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为( )(

5、瓶壁厚度忽见解析不计)ABCD【答案】C【解析】根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为，故选C.11.若三角形内切圆半径为，三边长分别为，则三角形的面积为，根据类比思想，若四面体内切球半径为，四个面的面积分别为，则这个四面体的体积为()A BC D【答案】C【解析】根据题意，三角形和内切圆为二维空间，三角形的面积是，三棱锥和内切球是三维空间的，所以类推。12.双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为顶点的三角形的面积为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】双曲线的离心率，解得；则双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为，则.13已知中，设三个内角所对

6、的边长分别为，且，则. 【答案】1或2【解析】，且，即，解得或.14.已知对任意，向量都是直线的方向向量，设数列的前项和为，若，则_【答案】【解析】向量都是直线的方向向量，则，是公比为的等比数列，所以15.是矩形，沿将折起到，使平面平面，是的中点，是上的一点，给出下列结论： 存在点，使得平面 存在点，使得平面 存在点，使得平面 存在点，使得平面其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】存在AC中点E，则EFCD，利用线面平行的判定定理可得EF平面BCD，正确；EFAC，利用面面垂直的性质，可得EF平面ABD，正确；DEAC，利用面面垂直的性质，可得DE平面ABC，正确；因

7、为ABCD是矩形，AB4，AD3，所以B，D在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC平面BDE，故不正确；故答案为：16.已知椭圆的左焦点为，右焦点为.若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为【答案】【解析】因为线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则，设，由椭圆的定义，得；由勾股定理，得，解得，所以椭圆的离心率.17.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】当x0时，由，得；当时；由，得；所以当时.因为函数是奇函数，所以当时，.因为对于，都有，所以，所以.18.设全集，用的子集可表示

8、由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000若，则表示的6位字符串为； 若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是【答案】100110；4【解析】由题意M2，3，6表示的6位字符串为011001，故表示的6位字符串为100110；若A1，3，集合AB表示的字符串为101001，则集合B中必含有4，且至多含有1，3，故满足的集合B有4，1，4，3，4，1，3，419.已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的值域【答案】(1)(2)【解析】(1)故函数f(x)的最小正周期

9、为； (2)设，当时又函数ysint在上为增函数，在上为减函数， 则当时sint有最小值；当时有最大值， 故yf(x)在上的值域为20.某批产品成箱包装，每箱件.一用户在购进该批产品前先取出箱，设取出的箱中，第一，二，三箱中分别有件，件，件二等品，其余为一等品.(1)在取出的箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的箱中，若该用户再从每箱中任意抽取件产品进行检验，用表示抽检的件产品中二等品的件数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)1.2.21.中所对的边分别为，且.(1)求的大小；(2)若求的面积并判断的形状.【答案】(1)；(2)

10、，等边三角形.【解析】(1)，.(2)由题意知，由，得，ABC为等边三角形.22.深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价(人数)合计电动小汽车(人数)非电动小汽车(人数)30岁以下(含30岁)501005020030至50岁(含50岁)5015030050050岁以上10015050300合计2004004001000(1)采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求

11、其中各种意向人数；(2)在(1)中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；(3)用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望【答案】(1)抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：1人、3人、6人(2)(3)分布列见解析，【解析】(1)因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：、 、 2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：人、人、人; (2)由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人， 所以，4人中

12、恰有2人竞价申请意向的概率为; (3)n4，的可能取值为0，1，2，3，4因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为，所以，随机变量服从二项分布，即，即的分布列为：01234P的数学期望为：23.已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：因为，由题意得，解得，所以.(2)解：由题意可知，.当n为偶数时，.当n为奇数时，. 所以.(或)24.已知数列满足：，且(1)设，求证是等比数列；(2)()求数列的通项公式；()求证：对于任意都有成立【答案】()()()【解析】(1)由已知得，则，

13、 又，则是以3为首项、3为公比的等比数列 (2)由得，设，则，可得，又，故， 则()故25.如图甲，在平面四边形中，已知，现将四边形沿折起，使平面平面(如图乙)，设点， 分别为棱，的中点(1)证明平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值【答案】(1)见解析；(2)；(3).【解析】(1)证明：在图甲中由且得，即在图乙中，因为平面平面，且平面平面所以底面，所以又，得，且所以平面(2)解法1：由、分别为、的中点得/，又由(1)知，平面，所以平面，垂足为点则是与平面所成的角 在图甲中，由， 得，设则，所以在中，即与平面所成角的正弦值为解法2：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空

14、间直角坐标系如下图示，设，则，可得，所以，设与平面所成的角为由(1)知DC平面ABC所以即(3)由(2)知平面，又因为平面，平面，所以，所以为二面角的平面角 在中，所以即所求二面角的余弦为26.如图，在正三棱柱中，是上的动点，且，是的中点.ACBA11C11B11MN(1)若，求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的大小为，试求的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：取中点，连结，则有与平行且相等.四边形为平行四边形，面，又为等边三角形，平面平面，又平面，平面平面. (2)以为轴，轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图，ACBA11C11B11MN设是平面的一个法向量

15、，则，令设与面所成角为则，化简得或由题意知， . 27.已知椭圆：的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，证明：平分线段(其中为坐标原点)，当值最小时，求点的坐标【答案】(1)；(2)见解析；或.【解析】(1)解：由已知可得，解得，所以椭圆的标准方程是.(2)证明：由(1)可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率.当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式设，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得，其判别式.所以，. 设为的中点，则点的坐标为.所以直线的斜率，又直线的斜

16、率，所以点在直线上，因此平分线段.解：由可得， 所以当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，点的坐标是或28.已知椭圆()的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；(3)试问在轴上是否存在一点，使得对于椭圆上任意一点，到的距离与到直线的距离之比为定值若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为；(3)存在满足条件的点，的坐标为. 【解析】(1)已知，所以，所以椭圆的标准方程为(2)，设，则，()，因为，所以，由，得的最大值为，最小值为29.已知，函数.(1

17、)求的单调区间；(2)当时，证明：方程在区间(2，)上有唯一解；(3)若存在均属于区间的且，使，证明：【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)函数的定义域 ， 令得：，令得：函数的单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明:当时，由(1)知的单调递减区间为，的单调增区间为令，则在区间单调递增且，所以方程在区间上有唯一解。(注：检验的函数值异号的点选取并不唯一)(3)证明：由及(1)的结论知，从而在上的最大值为(或)，又由，知故，即从而30.已知函数，函数的图象在点处的切线平行于轴(1)确定与的关系；(2)试讨论函数的单调性； (3)证明：对任意，都有成立【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)