二重积分学习总结

1、高等数学论文二重积分学习总结姓名：徐琛豪班级：安全工程02班学号：1201050221二重积分【本章学习目标】1. 理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联 系，会用性 质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。2. 领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限， 如何改换二次积分的积分次 序， 并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。 熟练掌握直角坐标系和极坐标系 下重积分的计 算方法。3?掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。1 二重积分的概念与性质1二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义， 必须首先引入二重积分的

2、两个 “原型”，一个是几何的“原型”曲顶柱体的体积如何计算，另一 个是 物理的“原型”平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一 是将区域D成n个小区域i,2丄，n的分法要任意，二是在每个小区域i上的点(j)i的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值 0时总有同一 个极限，才能称二 元函数f(x, y)在区域D上的二重积分存在。2明确二重积分的几何意义。(1)若在 D 上 f (x, y) > 0, 贝卩 f (x, y)d 表示以区域 D 为底，以

3、Df(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当f(x,y) = 1时，f(x,y)dD表示平面区域 D 的面积。(2) 若在 D 上 f(x,y) < 0, 则上述曲顶柱体在 Oxy 面的下方，二 重积分 f(x,y)d 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3)若f(x, y)在D的某些子区域上为正的，在 D的另一些子区域 上为 负的 , 则 f (x, y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和D(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的 体 积).3二重积分的性质 , 即线性、区域可加性、有序性、估值不等 式、 二重积分中值定理都与一元定积分

4、类似。 有序性常用于比较两个 二重积 分的大小 , 估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围 , 在用估值不 等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数f (x, y)在闭区域D上 的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值， 再应用估值不等式得到 取值范围。【主要概念梳理 】1.二重积分的定义 设二元函数 f(x,y) 在闭区 域 D 上有定义且有 界.分割 用任意两组曲线分割 D成n个小区域1, 2丄，n,同时 用i表示它 们的面积，i 1,2丄,n.其中任意两小块i和j(ij)除边界外无公共点。i既表示 第 i 小块 ,又表示第 i 小块的面积 .n近似、求和 对任意点 ( i,

5、 i) i ,作和式 f( i, i) i.i1取极限 若 i 为 i 的直径, 记 max 1, 2,L , n ,若极限lim0 f( i, i) i0i1存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(i, J的取法，称 此极限为 f(x,y) 在 D 上的二重积分 ?记为nf(x, y)dlim0f ( i, i).D0 i 1称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，d为面积微 元(或 面积元素 ).2. 二重积分 f (x,y)d 的几何意义D(1) 若在D上f(x,y)为，则f(x,y)d表示以区域D为底，以f(x,y)D为曲顶的曲顶柱体的体积 .(2) 若在D上f

6、(x,y)电，则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方，二重 积分f(x,y)d 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3) 若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域 上为负的，则 f(x,y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和D(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的 体 积).3二重积分的存在定理3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则 f(x,y) 在 D 可积.4 . 二重积分的性

7、质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y), g(x,y) 在区域 D 上都是可积的 .性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即f(x,y) g(x,y)d f (x, y)d g(x,y)dDDD性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即kf (x, y)d k f (x, y)d (k 为常数 ).DD性质3若D可以分为两个区域 Di,D2,它们除边界外无公共点，则f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .DDD2性质 4 若在积分区域 D 上有 f(x,y)=1 ,且用 S(D) 表

8、示区域 D 的面积,则d S(D).D性质5若在D上处处有f(x,y)駕(x,y)，则有f (x, y)d g(x, y)d .DD推论 f (x, y)d I f(x,y) d .DD性质6(估值定理) 若在D上处处有m#(x,y) MM ,且S(D)为区域 D 的面积，则mS(D) f (x, y)d MS(D).性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续,则在 D 上存在一点 ( , ), 使f ( x, y)d f ( , )S(D).D【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展， 它们都是某种形式的 和 的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解

9、二重积 分的概 念与性质。2 在直角坐标系中二重积分的计算本章的重点是二重积分的计算问题， 而直角坐标系中二重积分的 计算 问题关键是如何确定积分区域及确定 X 型区域还是 Y 型区域，这 也是本 章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1) 在定积分计算中，如果 D 的形状不能简单地用类似i(X)y 2(X)或i(y)x 2(y)的形式来表示，则我们可以将D a x b c y d分成若干块，并由积分性质f(X,y)d f(X,y)df(X, y)d .DD1D2对右端各式进行计算。(2) 交换积分次序不仅要考虑到区域 D 的形状，还要考虑被积函数 的 特点。如果按照某一积分次序的积

10、分比较困难， 若交换积分次序后， 由 于累次积分的积分函数 (一元积分 )形式发生变化，可能会使新的积 分次 序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对 x 积分，再对 y 积分，还是先对 y 积分，再对 x 积分最终计算的结果应 该是相同的。 一般的处理方法是由积分限确定积分区域 D, 并按照新 的积分次序将二重积分化成二次积分。 具体步骤如下： 确定 D 的边 界曲线，画出 D 的 草图； 求出 D 边界曲线的交点坐标； 将 D 的边界曲线表示为 x 或 y 的单值函数； 考虑是否要将 D 分成几块； 用 x,y 的不等式表示 D.注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容

11、：(i)保证各层积分的原函数能够求出；(ii)若 D为X型(丫型)，先对x(y)积分；(iii)若 D 既为 X 型又为 Y 型，且满足 ( i )时，要使对 D 的分块最少。(3) 利用对称性等公式简化计算设f(x,y)在区域D上连续，则 当区域 D 关于 x 轴对称若 f (x, y) f (x, y) ，贝 S f (x,y)d = 0；D若 f (x, y) f(x,y) ，贝 S f (x, y)d = 2 f(x, y)d ，其中 Di 为 D 在DD1x 轴上方部分。 当区域 D 关于 y 轴对称若 f ( x, y) f (x, y) ，贝 y f (x,y)d = 0；D若

12、f ( x, y) f(x,y) ，贝 S f (x, y)d = 2 f(x, y)d ，其中 D2 为 D 在D2y 轴右侧部分 当区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称若 f ( x, y) f (x, y) 或 f(x, y) f (x, y) ，贝 f (x,y)d = 0 ； D若 f(x, y) f ( x, y) f (x,y) ，贝 Sf (x, y)d = 4 f (x, y)d ，其中 Di 为DDiD 在第一象限部分。 轮换对称式设 D 关于直线 y x 对称，则 f(x, y)d = f (y,x)d .D D【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数 f(x

13、,y) 0 且在 D 上连续时 ，若 D 为 X - 型区域 D:贝 S D f (x, y)dxdy若 D 为 Y 型区域 D ：贝 S D f(x, y)d xdy :dy(x) y 2(x)2 a x b b2( x)dx y)dyai(x) f( x,i(y) xc yd2( y)f (x, y)d x i(y)说明：若积分区域既是 X 型区域又是 Y 型区域 ，则有2(y)i (y)b2( x)D f (x, y)dxdy dx f(x,y)dy dy f (x, y)d x3 在极坐标系中二重积分的计算极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1) 一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆

14、环形域，且被积函 数为 f (x2 y2),f(-), f(-)等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算 x y主要概念梳理】)r d r利用极坐标系计算二重积分k (k 1,2, L , n) 。则D f(x, y)df(r cos ,rsin )rdrd D在极坐标系下 ，用同心圆r 二常数及射线 q 二常数，分划区域 D 为特别地贝 S 有 f(rcos ,rsin )rdrd Df(rcos ,rsin贝 S 有 f(rcos ,rsin )rdrdD若 D: 1( ) r 2()2()()f (r cos , r sin ) r d rf (r cos , rsin ()贝 S 有 f(rcos ,rsin )rdrd D若 D:?2)9.4 二重积分的应用二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求 曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积； 物理应 用主 要是平面薄片的质量(1) 空间立体的体积 V设空间立体 由曲面 1: z f(x,y) 与 2: Z g(x,y) 所围成， 在 xoy 面投影为平面区域 D, 并且 f(x,y) g(x,y) .则V f (x, y) g(x,y)d 或 Vdv.(2) 曲面面积 S设光滑曲面为：Z z(x, y)，则S .