九年级春季班第8讲：等腰三角形的存在性问题-教师版

1、QD等腰三角形的存在性问题内容分析6根据等腰三角形的定义，若A43C为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）= 3C; （2） BC=C4; （3） C4=43.但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存 在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤 其注意.知识结构模块一：以函数为背景的等腰三角形问题知识精讲1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设A（z，x）、B（x2,y2）,则

2、d、8两点间的距离为：AB = >l（xl-x2）2+（yl-y2）2 .2、解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式：（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分 式或根式方程）（3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之.例题解析【例1】如图，已知AA8C中，X8=,4C=6, 8C = 8,点。是BC边上的一个动点，点E在边上，ZADE=ZB.设8。的长为x, CE的长为y.（1）当。为3C的中点时，求CE的长：（2）求y关于x的函数

3、关系式，并写出x的取值范围；（3）如果A包七为等腰三角形，求x的值.【答案】（1） 9； （2） v = （0<x<8）:（3） 2 或 362【解析】解：:/£次?=180。一/4£>石一/位汨= 180°-= NB = NC,/. lSABDlSDCE . CE BDDC AB.v = £.dc = -（8-a） = -.AB 6648(1)当。为 8c 中点时，x = 4, A CE = -x(8-4) = -Q _ r2(2)'y式的取值范围为0vxv8.6(3)'分情况讨论， 当4时：V ZAED>ZC

4、= ZADE, ：.ADAE,此情况不存在: 当乂。=。上时：.££ =必=1,即 £(87)= x,BD AD 6''解得：a=0 (舍)或x = 2：当=。石时：:.ZDAE = ZADE = ZC./. DA = DC = 8-x.乂 DE _ CD* AD" AB 6-y 8-x= (8-x)2,解得:综上的值为2吗.【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用.【例2】已知，一条抛物线的顶点为E (-1, 4),且过点,4 (3, 0),与轴交于点C, 点。是这条抛物线上一点，它的横坐标为加，且-3v/vT,

5、过点。作0K_Lx轴，垂足为K, DK分别交线段,4C于点G、H.(1)求这条抛物线的解析式：(2)求证：GH = HK；(3)当是等腰三角形时，求7的值.【解析】(1),，= -" + 1+4： (2)略；(3)m的值为二或3 - 36 2【解析】(1) 抛物线的顶点为E(T, 4),设抛物线的解析式为y = a(x+l)2+4 (”=0)又丁抛物线过点(一3, 0 +4 = 0, ”=一1这条抛物线的解析式为y = -(文+4 ；（2） VJ （一3, 0）, E （-1，4）, C （0, 3）:.直线AE的解析式为y = 2x + 6 ；直线AC的解析式为y = x+3,丁。

6、的横坐标为而，£）K_Lx轴，J G （m,2加 + 6）, H （】,加 + 3）VAT （w, 0）, ：.GH=m + 3, HK=m + 3,:.GH = HK.（3） VC （0, 3）, G （川，2根+ 6）, H （川，川 + 3）1。若 CG = C，则 J/+ + 3>=82+而解得：町=T,吗=-3都是原方程的解，但不合题意舍去: 所以这种情况不存在.2。若 GC=GH,则/+(2， + 3)2=6 + 3,解得：g=0,吗=-2都是原方程的解，但网=0不合题意，舍去.3°若HC = HG,则=加+ 3,解得：5=3 3.综上所述：当CCG是等腰

7、三角形时，加的值为-上或3-3点.2【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择.模块二：与圆有关的等腰三角形问题）知识精讲1、与圆有关知识内容：在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形2、解题思路：与模块一类似：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式 或根式方程）：（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.例题解析4【例3】 如图，在

8、m中，ZJCB = 90° , JC=8, tanB=-,点尸是线段上的一 3个动点，以点尸为圆心，E4为半径的。尸与射线KC的另一个交点为。，射线尸。交射线BC于点E,点。是线段班1的中点.（1）当点上在8C的延长线上时，设E4=x, CE=y,求y关于x的函数关系式，并写 出定义域：（2）以点。为圆心，为半径的。和。尸相切时，求。尸的半径；（3）射线尸。与。尸相交于点M，联结PC、MC,当是等腰三角形时，求工尸 的长.【答案】（D y = 6-x, （0<a<5）； （2）。尸的半径为三或肥：B536/（3）H尸的长为丑或色或5或8./一13 13/ pX【解析】解：

9、（1），：AP = PD,： ZPAD = ZPDA,I /x）°:."BE = "EB,:PE = PB = "x,: SDCEACB, A CE = -D£ = 4（1O-2x） = 6-x>£5554a（2）可以求出，PQ = 8-x, PA=x, 8。= 6-435外切时，8 一x = x + 6 二x,解得：入=二， 553内切时，8-士x = x- 6-±x,解得：x = >55 J6综上所述，。尸的半径为£或至：36分情况讨论：PM=PC时，解得：X = 5 （此时E与C重合）:尸”=河。

10、时，解得：x = 8或x =13PC = MC时，解得：x = x = 0 （舍）.13综上所述，4尸的长为4或也或5或8.1313【总结】本题一方而考查了两圆相切的分类讨论，另一方而考查了等腰三角形的分类讨论, 注意方法的归纳总结.【例4】如图，已知在向AA3C中，NAC3 = 90°, ,45 = 5, sin/A = ±,尸是3c边上的一 5点，PELAB,垂足为E,以点尸为圆心，PC为半径的圆与射线尸E相交于点。，线 段CQ与边，送交于点D（1）求5的长：（2）设CP = x, APC。的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点。作垂足为尸，联结尸

11、F、QF,如果AP0F是以尸尸为腰的等腰三角形，求C尸的长.【答案】 AD = 3:（2） y = -x2（-<x<4）: 5（3）CP的长为2或11【解析】（1）在氏及15C中，ZJC5=90%3C = A3.sinA = 4, A AC = 3. ； PC = PQ, :4PCQ = 4PQC . Z0ED = 90% A Z（?DE + ZP0C = 9O°. : /PCQ + ZACD =90% :. NQDE = ZACD . ： /QDE = ZADC , A ZADC = ZACD ：. AD = AC = 3.（2）作。 J.8C,垂足为点H. / &qu

12、ot;EB = ZACB =90°, ：. ABPE + ZABC =90°, ZABC + ZA =90°, 4 ZQPH = 3 ：. sin ZQPH =-.41 4,: PQ = PC = x, :.QH =芋,A y = ->-x>x>即y = 2一,定义域为5（3）解法一：在RqPBE 中，ZP£B=90。，BP = 4-x, sinZBPE = - 5:.BE = -（4-x） = -PE = 2（4-x） = - 5'' 5 55'" 5 5如果PF = PQ,那么72144 招用厂一一

13、x + = x,解得：x = 2 .2525如果' 那么卜会理二肾4噜，解得：*=0 （不合题意，舍去），占=二. 1174综上所述，如果尸。尸是以尸产为腰的等腰三角形，CF的长为2或二4解法二：在 RmPBE 中,ZPEB=98,BP = 4-x, sinZBPE =-,如果PF = P。，那么'=尸。，： 4CF = 4FC , ZB = "FB,: PF = PB,:.CP = PB = 2.如果PF = FQ,那么PE = EQ ,.12 3812 一一工=一工一， 5 555解得：x = ,CP =.11 1174综上所述，如果2小是以PF为腰的等腰三角形，

14、。尸的长为2或充.【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰 三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可.7模块三：与角有关的等腰三角形问题知识精讲9有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时 经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形.2）例题解析【例5】 如图1,在中，NX3C=90。，3 = 5, ZC= 30% 点。是KC边上一动点（不与工。重合），过点。分别作DEL"于点E, DFLBC于点、F,联结EF,设=x, EF=y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域：

15、（2）以尸为圆心、FC为半径的。F交直线于点G,当点G为,中点时，求x的 值；（3）如图2,联结3D,将沿直线3。翻折，点E落在点处，直线8厅与直线 乂。相交于点M，当5DW为等腰三角形时，求乙1助的度数.【答案】（1） y = 74x2-lOx + 25 （0<xv5）： （2） x 的值为？：2（3） /工助的度数为20°或40°或80°.【解析】解:（1）V DE-LAE，：.DEi!BC,：.DE = .BC = -.573 =底.AB 5/ y = 4BE? + 8尸=J,+ （后=，4/一心 + 25 （定义域为Ovx<5 ）；(2)作 G

16、HLBC 于 H,(3)分情况讨论，设 ZAB£)= a,则 NE 力3 = /££)5 = 90。一。,3D=AW时，当点M在KC边上时，/ ZE9DM = 180° - 30° - 2(90° - a) = 2a - 30° .:.NBMD = NBQM=9O0-c +勿一3O0 = a + 6O0.又丁 ZBMD = ZAC + ZC = 90°-2a + 30° = 120°-2« ,，a + 6O0 = 12O°-2a,解得：« = 20°；当点

17、M在。，的延长线上时，同理可得=80。：时,又,： DE 工 BM ,Z. ZMDE = ZBDE = ZBDE .又：ZMDE'+ ZBDE ABDE + ZADE = 180° ,： ZBDE = 50。, ：. ZABD = 4O° ：DW=8河时，/ ZBDM = ZA + ZABD>ZABD = ZMBD,: DM手BM ,不可能.【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分 类讨论.随堂检测【习题 1】 已知：如图 1,在梯形4BCZ）中，NBCZA90。，8c=11, CD=6, tanNX3C=2,点E在边上

18、，且4E=3瓦），EF/AB交8C于点F,点河、N分别在射线庄和线段8上.（1）求线段CF的长：（2）如图2,当点M在线段在上，且设EMcosNE尸C=x, CN=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域:（3）如果也 14N为等腰直角三角形，求线段的长.5r2 -14r-15【答案】（1）C尸的长为5：（2） y =-一上（O<X<1）：2a-611（3）线段皿的长为已或已有或上有. 33【解析】(1)作4G«L5C于点G, /. ZBGA = 90%： 4BCD = 90。，ADBC, ：.AG = DC = 6.VtanZJBC= 竺=2,:.BG=3, BGV

19、5C=11.GC=8. A,W = GC=8, ：.1E = 3ED：.AE = 6, ED = 2,:ADBC, ABJ/EF,:BF = AE = 6,:.CF = BC-BF =、.(2)过点河作尸。J_CD,分别交48、8、HG于点尸、0、H,作于点R, 易得G=C0 = MR.；MFs/EFC = x, ：.FR = x. VtanZJ5C = 2, ：.GH = MR = CO = 2x.：.BG=3,由 8F=6,得：GF=3,:HM=3+x, MO=CF-FR = 5-x, AH=AG-GH=6-2x.? NAMQ=/AHM+NMAH,且4出690。， ，4MAH=/NMQ,.

20、aw" .sz AH HM un 6 - 2x 3 + x.AHM s AWQV =,即=,MQ NQ 5-x y-2x5r2 -14x-15/. y =-一上，定义域：OVxKl；2x-6(3)NJAW =90。1)当点河在线段EF上时，: MHM s ,且 XMiWV,：.AH=MO.*. 6-2x = 5-x,x = 1：.FM=yf52)当点M在FE的延长线上时同上可得，4H=M0:.2x-6 = 5-x 11 , x = 7 FM = y/5390°过点N作尸QJ_CQ,分别交.45、HG于点尸、H, 作3c于交BC延长线于交直线PN于点0, ,:AN = MN,

21、易得 MHN g g/QM：.AH=O. HN = MO = 8令 PH=a,则/48=2。，DN=2q, CN = 6-2a"K = 5 + 2。，八四=8+ (62) =1422由此? = 2网得=：,3；.FR=, MR=, ：.FM = y/5 . 333综上所述，线段尸M的长为方或U"或12番. 33【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合 运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用.【习题2如图，已知在平行四边形,438中，.宓=5, BC=8,点尸是边BC上的动点，以C尸为半径的圆C与边,4。交于

22、点E、F （点F在点E的右侧），射线 CE与射线A4交于点G.（1）当圆C经过点,4时，求C尸的长；（2）联结AP,当JP/CG时，求弦即的长：（3）当ZUGE是等腰三角形时，求圆C的半径长.【答案】（1） CF的长为5： （2） EF 工4B（3 ）圆C的半径长为JHL【解析】解：（1）作.四于H：.BH=4, AH =3, ：.CH=4.：.AC = >jAH2+CH2 =5, ：.CP = AC=5,(2).m/CG, .JPCE为平行四边形，又 CE = CP, ：.APCE为菱形.设 C9= x,则乂尸=CR A yAH2 + PH2 =CP .即产石彳=%，解得：x =？，.

23、七尸=（：(3)设AE = f,则CE = 5/9 + (47./. AG 5, G£ = J9 + (4-f)2 .8 f8 f y分情况讨论 AE = AG,解得：z=3：39 AE=GE,解得：”不，此时E在F点右边，舍去; AG = GE,解得：，=0或，=8,均不可能，舍去.【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3） 小问中对求出的值的取舍.课后作业【作业1】如图，在中，ZC= 90° , BC=3, H3 = 5 .点尸从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动；点。从点C出发，以每秒2个单位长 度的速度沿C-,4

24、-8的方向运动，到达点8后立即原速返回，若尸、。两点同时运动， 相遇后同时停止，设运动时间为，秒.(1)当/=秒时，点尸与点。相遇：(2)在点尸从点5到点。运动的过程中，当f为何值时，APC。为等腰三角形?【答案】7： (2) / =.17【解析】解：。到3点需要山= 4.5s, 2此时P点行了 4.5个单位，两点相距3+4 + 5-45 = 7.5个单位，再过 1 = 2.5$,即一共过7秒后，尸与。相遇.(2)尸在3到。的过程中，。从C4边到了 .13边，需要分情况讨论。在X。边上，即f<2s时，V ZC = 90°.，只可能。尸=C0.，3，= 2/,解得：，=1：。在边且未到8点时，即3s>f>2s时，a)CQ = PO9 作 0HL4C 于 H.171:QH =、PC ,A-(2r-4) = -(3-/),解得:r =：b)PC=CQ,CQ > 2.4 ,在 3s>f>