人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式导学案(1)

1、1.3三角函数的诱导公式(二).2.解【学习目标】1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、 化简与证明问题 对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生” “发现”过程，培养研究问题、发现问题、决问题的能力.0r问题导学 知识点一诱导公式五完成下表，并由此总结角a ,角”的三角函数值间的关系(1)sincossin!=cos?;62'32'63 '/c 一兀 、/2兀 /2一兀兀(2)sin -= -2-, cos1=-2-, sin_4=cos；s 兀、Z3兀 J3.兀兀(3

2、)sin E="T，cos 6="2", sm 百二cos.由此可得诱导公式五3Tsin (- -a) =cos a ,2cos (一一a ) =sin a . 2知识点二诱导公式六思考 能否利用已有公式得出 方十”的正弦、余弦与角 a的正弦、余弦之间的关系?答案 以一a代替公式五中的a得到一(,三)一、sin a + 2 尸 cos( a ) ,( 五、,cos a + 2 尸 sin( 1 a ).由此可得诱导公式六sin (« + ) =cos a ,cos (ct + ) = sin知识点三诱导公式的推广与规律 331.sin(2兀 一 a )

3、= COS a , COS( 2 兀 - a ) = sin a , 33Sin( 2兀 + a ) = 一 COS a , COS( 2 Tt + a ) = Sin a .2.诱导公式记忆规律：公式一四归纳：a+2k7t(kCZ), a ,兀±a的三角函数值，等于角 a的同名三角函 数值，前面加上一个把 a看成锐角时原函数值的符号， 简记为：“函数名不变，符号看象限”.-TT、-、 -、 . 一公式五六归纳： y± a的正弦(余弦)函数值，分别等于a的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号

4、象限定”.六组诱导公式可以统一概括为"k 方± a (ke Z)”的诱导公式.、.、 一, 兀.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指 k 万士 a (ke Z)中k的奇偶性,当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是 诱导公式中，把 a看成锐角时原函数值的符号，而不是 a函数值的符号.题型探究类型一利用诱导公式求值例1 (1)已知COS(兀+ a ) = 2，a为第一象限角，求 COS1- + a j的彳K .(2)已知COS仁a11=",求 COS35兀)作兀V+ Sin CT-a的值.12'解(1

5、) COS(兀 + a ) = COS a1 -。 COS a =2,又 a为第一"象限角,则 COS 忖 + a i= Sin a =，1 - COS2 aa(2)cos |-6-F a | - sin7t=cos 兀a6反思与感悟717171717t7t3-+a对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系:遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题跟踪训练1已知sin兀a + 3 a7t7t7t.COS7a 尸 COS一”厂3 .类型利用诱导公式证明三角恒等式tan 2 %例2 求证：a sin (一2 兀c cos 6 兀a X三一tan 5.sin 1

6、 a + cos 1 a +证明 .左边=tan ( a y sin (a) cos ( a)sin 2 兀 cos 2 兀一(一tansin |a ) ( sin a ) cos a2sin asin a一cos a sin asin acos a=一 tan a =右边.，原等式成立.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法:(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简 (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子 (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证:2sin 0 1

7、2sin2tan(9 兀 + 0 " 1 tan (兀 + 0 j- 1 .i3兀、证明因为左边=2sin -2- 0 (一sin 0) 12sin1 2sin 2 0兀 + 2- 0 sin 01 2sin 2 02sin兀5一0 sin 011 2sin 2 02cos 0 sin 01 cos2 0 + sin 2 0 2sin 2 02(sine+cos( sine + cos9sino cos0 sin0 cos0. tan 0+1sin0 + cos 0右边=tan 01sin0 cos 0所以左边=右边，故原等式成立类型三诱导公式在三角形中的应用A* B-CA B* C

8、例3 在 ABC43, sin -B = sin 一卢，试判断 ABC勺形状.解.A+ B+ C-兀， A+ B- C=兀一2C, A B+ C= % -2B.ABC AB+ C-sin 2= sin 2，兀一 2C 兀一 2B sin 2= sin 2，即 cos C= cos B.又B, C为ABCW内角，C= B.ABC等腰三角形.一，-,r,A+ B+ C 兀 ，反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在 ABC中，A+ B+ C=兀，-2=2,结 A+ B合诱导公式得到以下白一些吊用等式： sin(A+E)=sinC,cos(A+E)=cosC,sin 2=C A+ B Ccos2,

9、cos2= sin 2.跟踪训练3在 ABC中，给出下列四个式子：sin( A+ B) + sin C; cos( A+ B) + cos C;sin(2 A+ 2B) + sin 2 G cos(2 A+ 2B) + cos 2 C其中为常数的是()A.B.C.D.答案 B解析sin( A+ B) + sin C= 2sin C;cos( A+ B) + cos C= cos C+ cos C= 0;sin(2 A+ 2B) + sin 2 C= sin2( A+ B) + sin 2 C=sin2(兀C) + sin 2 C= sin(2 兀一2。+sin 2 C=-sin 2 C+ si

10、n 2 C= 0; cos(2 A+ 2B) + cos 2 C=cos2( A+ B) + cos 2 C=cos2(兀-C) + cos 2 C=cos(2 兀一2C) + cos 2 C=cos 2 C+ cos 2 C= 2cos 2 C故选B.类型四诱导公式的综合应用已知f(sin (兀)=兀c cos ( a sin fy + acos(71 + a 即(-a )(1)化简 f( a )；3.(2)若角A是 ABC勺内角，且f(A)=-,求tan A-sin A的值.5sin a cos a cos a(1) f ( a ) =:= cos a .cos a ( sin a )(2

11、)又A为 ABC勺内角,所以由平方关系，得sin A= < 1 cos 2A= 5,所以tan A=sin AcosA 3'所以 tan A sin4 4g A= 35=15.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱跟踪训练4 已知sin a 是方程5x2 _ 7x _ 6 = 0的根，a是第三象限角，求sina 2 兀 cos 2 兀cos712tan 2(兀a ）的值.、23解 方程5x 7x 6= 0的两根为 Xi=，X2=2,5由a是第三象限角，得 sin3 皿一，贝 U cos

12、a545'sincos712sin712。兀cos °兀 22s sin -+ a7tcos -2"+ asin a cos acos a ( sinsin acos a222tan aX一 2tan asincos2 a2- a916.当堂训练1.已知sin1= 1,则cos 十?，勺值为（A.1B.2331 C.31D.-3答案解析cos兀+ 3 1= cos712=sin2.若 cos（2 兀a ）=坐,则3sin（ 32）等于（B2A 更 八.3工土坐答案解析COS（2 兀一a ） =COS（ a ） = COSsin（3兀 2a ） = COs a3.已知

13、tan兀sin （-2- + 0cos （兀一0）9=2,则等于（0 丁 sin（71 0）A.2C.0答案解析sin 一B. 22D.3. ，兀.,d-sin （万+ecosE -e）cos e+cos esin兀（y- 9 sin （兀cos 0 sin 09 %1 tan 02sin 3f 兀求5cosa k 3sina 廿 COs （ a + 兀a的值.解Cos2+ ai= 2sin 一 sin a = 1 2sinsin a = 2Cos a ,即 tan a =2.sin (兀a Cos ( a + 兀/5兀5Cos z 2aa # 3sinsin a Cos a2-J5Cos 1

14、0-32 ti +-2 a ；+ 3sin %兀sin a Cos a3sin5cossin a Cos a sin 27 (sin a + Cos a sin a Cos a a - tan a 15sin a 3cos a5tan a 32sin 2 a (sin 2 a + Cos2 a)tan 2 a 12sin 2 a - 1 2sin 2a - 17 sin 2 a2+ cos 民7(tan 2a + 1 )7X (4+1)35-tan 2 %5.求证：3兀Cos (-2- a 产$(6兀=一 tan a .sin (a +-2-cos(a + -)tan (2 兀证明因为左边=3

15、c Cos( 2 a pos(6 兀sin f atan (a ( sin一cos a sina pos aa一tan a sin a Cos aCos a sin a=tan a =右边,所以原等式成立.规律与方法1 .诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：a+k-兀， a, a+(2k+1)兀(kCZ)的三角函数值，等于 a的同名三角函数值，前 面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变， 符号看象限”.一TTTT . . -一.a +彳，一a +y的三角函数值，等于 "的异名三角函数值，前面加上一个把“看成锐角时原函数值的符号，

16、记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”. TT . (2)以上两类公式可以归纳为：k-万+ a (kCZ)的三角函数值，当 k为偶数时，得 a的同名函数值；当k为奇数时，得 a的异名函数值，然后在前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.2 .利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转一.兀 .一 .化成(0,5)内的三角函数值”这种方式求解 .用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到2之间的角的三角函数的基本步骤:、选择题1.已知sin(5兀课时作业1.5,那么cos a等于()2A. 一5iB.-5iC.5答案解析sin( + a ) = COS a ,故C

17、OS a =7，故选C.52.已知 COS( a ) = -f,且25a是第四象限角，则 COS( 3兀+ a )等于()4A.54B.-5C.±5答案 B解析 cos( -2+ a ) = sin a , sin a为第四象限角，cos a =qi sin - COs( 3 Tt + a ) = COs(兀 一 a ) = cos a35.4故选B. 53.若角A, B, C是ABC勺三个内角，则下列等式中一定成立的是()A.cos( A+ B) = cos CB.sin( A+ B) = sin CA+ C-B+ C AC.cos 2 = sin BD.sin 2 = cos2答

18、案 D解析 A+ B+ C=兀，A+ B=兀一C, .cos(A+ B)=cos C, sin( A+ 场=sin C,故 A, B项不正确; A+ C=兀一B,A+ C 兀一BA+ C兀 B B. .cos 2 = cos( 2 2) =sin Q, 故 C项不正确; B+ C=兀一AB+ C兀 A A 一 工“sin 2- = sin( 万一2) =cos,故 D项正确.4.已知锐角 a终边上一点P的坐标是(2sin 2 , - 2cos 2)，则a等于()A.2B. -2C.2-2D. -2-2答案 C.上l2sin 2解析 cos a =个 2+(2sin 2 ,兀- a 为锐角，a

19、= 2 .5.已知 f (sin x) = cos 3 x,则 f(cos 10 ° )的值为(A. - B. 1 C.答案 A解析 f (cos 10 ° ) = f (sin 80 ° ) =cos 2401= cos(180 +60 ) = cos 60 =- 2.6.若 sin(兀 + a )+ cos712i=- mi 则 cos g 兀a i+ 2sin(2 兀a）的值为（2m2mA了 B. 了 C.3m-7 D.3m工答案 C解析 .sin(a ) + cos712"+ ai= sin a sin=rrj 二 sin故cos |兀 2计2s

20、in(2兀a ) = sin a 2sin=3sin3m万.二、填空题7.若cos a是第四象限角，则 cosi” +-2 1=答案解析cos1 一 一a =5,且是第四象限角,sin兀十万厂sin a8.sin21。+ sin 22+sin288° + sin 289°答案89万解析原式=(sinsin289° )+ (sin 22 + sin 288° )+ (sin 244° + sin 246° ) 十sin 2451 89=44 + -=44 22 .9.已知 tan(3 兀 + a ) = 2,则兀a I 2cos g+

21、asin (一 a 户-cos (兀 + a答案 2解析 因为 tan(3 兀 + a ) = tan(兀 + a ) = tan a = 2,所以原式=sin atan a=7T = «-7 = 2.sin acos a tan a 1 2 1A= 3sin A,10.在 ABC中，y3sin i_2 A 芦 3sin（兀一A）,且 cos A= 43cos（兀一B）,则 C=解析由题意得寸3coscos A= 3cos B,由得tan由得cos兀cos” 6Br兀B=亍三、解答题11.已知角a的终边经过点P（4, 3）,，兀，.，的值.cos （ + a ,in （一兀解.角&a

22、mp;的终边经过点 R4, 3),tan a =一 = x34'兀.cos （ 2 + a sin （一兀一a ）一sina sin a:=tan a一sina cos a34.12.已知sin60169口 兀兀_,且 "4<a <-2，求 sina与cos a的值.a ,1= sincos 1 一 a |= cos 七兀 +壬 + ,22sin60169'即 2sin a - COS a = tIx.169又 Sin a + COS a = 1 ,+得(Sin a+ COS a )2 289169，得(Sin a-COS a )249=.169又 a C

23、区工4 ' 2 !:, Sina >COS a >0,即 Sin a+ COSa >0, Sina COS a >0, .Sin a+ COS17"=13，Sin a 一COS a 二_!_=运十得 sin a =一得 COS a =工13.已知Sin(兀+ a )=.计算:3COS，c、 ，兀 小、 ，(2)Sin 1万+ a !； (3)tan(5a ).1=W，,sin3解 Sin(兀 + a ) = Sin aa(2)Sin t + a '= COS a , COS2 a = 1 Sin 2 a = 1 189.Sin a =, a为第一或第二象限角3当a为第一象限角时,当a为第二象限角时,£、2V2Sin 工2 + 00 != COS a = 3 .O22Sinc + a 1= COS a = o(3)tan(5兀一 a ) = tan(% a ) = tanSin a =0,3为第一或第二象限角当a为第一象限角时,cos2.,2a 3，tantan(5兀 一