九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试题含答案

1、人教版数学九年级上学期一元二次方程单元测试(满分120分，考试用时120分钟)第I卷(选择题)一.选择题(共1。小题)1 .一元二次方程(x5)?=x5的解是()C. x=0D. xi = 5x=6B.有两个不相等的实数根D.没有实数根A. x=5B. x=62 .关于y方程y2 - 2y+4=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根C.有两个实数根3 .某中学九年级学生在七年级时植树400棵,计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵,若设植树年平均增 长率为X,则所列方程为()A. 400(l+x)2=1324B. 400+400(1+蜡=1324C. 400(1+x)+400(1+x)2=

2、1324D. 400M00(l+x)+400(l+x)2=13244 .已知一个直角三角形 两条直角边恰好是方程炉-7x+10=0的两根，则这个直角三角形斜边的长是()A. 729B. 0TC. 29D.215 .两个不相等的实数m,n满足m? - 6m=4,M - 6n - 4=0,则m+n=()A. 6B.4C. -6D. -46 .对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)卜列说法正确的是()若a,c异号，则方程ax2+bx+c=0(ax0) 一定有实数根；若b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(ax0)一定有两个不相等实数根：若b=a+c,则方程ax2+bx+c=0(

3、a*0)有两个不相等的实数根；若方程ax2+bx+c=0(a*0)的两根符号相同，那么方程cx2+bx+a=0(cx0)的两根符号也相同.A.只有B,只有 C.只有D,只有7 .若关于x的一元二次方程F+kx +4k-3=0的两个实数根分别是"人且满足xi+*=x-x：,则k的值是 0.3 3A. 一1 或一B. -1C. -D.不存在4 48 .将进货单价为40元 商品按50元出售时,就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少 10个，为了赚得8000元的利润,商品售价应为()A. 60 7UB. 80 元C. 60元或80元D. 30 元9 .将方程x-+4x=5

4、左边配方成完全平方式,右边的常数应该是()D. 4A. 9B. 1C. 6b 1 a I10.若实数 a、b 满足 a- - 8a+5=0.b- - 8b+5=0,则一; + 的值是（）a-l p-1A. -20B. 2C.2 或-20第口卷（非选择题）二.填空题(共6小题)11 .关于x方程2x2+mx - 2=0的一个根是2,则m=12.某玩具厂1月份生产某种玩具m件，以后平均每月增长的百分数为X,则3月份的玩具产量为 件. )(x+ - 1)=2, PW x+ =. I XX14 .已知关于x的一元二次方程x2 - (2k+l)x+2k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是.15 .已知

5、c为实数，并且方程炉31+“0的一个根的相反数是方程+3工-c=0的一个根，则方程好+3人一的 解是.16 .一种商品经连续两次降价后,价格由原来的50元降到12.5元,若两次降价的百分率相同，则这个百分率为三.解答题(共7小题)17 .解卜列方程:(1)3x2 5x - 2=0(2)x2 - l=2(x+l)(3)4x2+4x+l=3(3 - x)2(4)(2x+8)(x - 2)=x2+2x - 1718 .己知关于 x 的方程 x2-(m+l)x+2(m-l)=0,(D求证：无论m取何值时，方程总有实数根：(2)若等腰三角形腰长为4,另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.19

6、 .新泰特产专卖店销售樱桃,其进价为每克30元,按每克50元出售,平均每天可售出100克,后来经 过市场调查发现，单价每降低1元,则平均每天的销化:量可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃想要平均 每天获利2240元，请回答：(1)每克樱桃应降价多少元？(2)在平均每天扶利不变 情况卜，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？20 .已知关于x的一元二次方程tx2 - 6x+m+4=0有两个实数根xi、x2.(1)当 t=m=l 时，若 xi<X2,求 xi、X2：当m=l时，求t的取值范围：(3)当 t=l 时,若 xi、X2 满足 31 xi| =X2+4,求 m 的

7、值.21 .为践行中华民族的传统美德,培养学生乐于助人、无私奉献的精神,近几年某校都在3月份举行“学雷锋” 爱心义卖活动，并将所得善款全部资助家庭困难学生.据悉通过该活动募集到的善款逐年增加,2016年募集 善款10000元,2018年募集善款14400元.(I)求这两年该校在爱心义卖活动中募集善款的年平均增长率：(n)若继续保持相同的年平均增长率,请你预测一下2019年该校在爱心义卖活动中将募集到多少善款？22 .公园原有一块正方形空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(阴影部分)，原空地一边减少了 3m. 另一边减少了 2m,剩余空地面枳为56nr,求原正方形空地的边长.I 3 |23

8、 .随着“互联网+"时代的到来，传统的教学模式也在悄然发生着改变.某出国培训机构紧跟潮流,对培训课程 采取了线上线下同步销售的策路，为了让客户更理性的选择，该机构推出了甲、乙两个课程体验包：甲课程 体验包价值660元含3节线上课程和2节线卜课；乙课程体验包价值990元含2节线上课程和5节线卜课 程.分别求出该机构每节课的线上价格和线下价格：(2)该机构其中一个销售团队上个月的销售业绩为：线上课程成交900节，线卜.课成交1000节.为回馈客户， 本月该机构针对线上、线下每节课程的价格均作出了调整：每节课线上价格比上个月的价格卜.调a%.线下 价格比上个月的价格下调1a%,到本月底统计

9、发现,该销小团队线上成交的课程数比上个月增加了a%,线2 3卜成交的课程数上升到1080节，最终团队的月销售总额线上比线卜少了 54000元，求a的值.参考答案第I卷（选择题）一.选择题（共10小题）1 .一元二次方程（x5）?=x5的解是（A. x=5B. x=6C. x=0D. Xi = 5x = 6【解析】 试题解析：方程变形得：（x-5-（x-5）=0, 分解因式得:(x-5)(x-5-l)=O.解得：Xi=5,x=6.故选D.2 .关于v方程y? - 2yM=0的根的情况为（A.有两个相等实数根C.有两个实数根B .有两个不相等的实数根D.没有实数根<D【解析】【分析】计算方程

10、的判别式,然后和0比较大小就可以判断根的情况.【详解】解：=（24xlx4=416= 12V0.,方程没有实数根，故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握（1担0则方程有两个不相等的实数 根：（2）A =0则方程有两个相等的实数根：（3）a V0则方程没有实数根是解决本题的关键.3 .某中学九年级学生在七年级时植树400棵,计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增 长率为X,则所列方程为（）B. 400+400(l+x)2=1324D. 400+400(1+x)+400(1+x)2=1324A. 400(1+x)2=1324C. 400(1+x)+

11、400(1+x)2=1324【答案】D【解析】【分析】根据平均变化率的方法，若变化前昂为X,变化后的最为V,平均变化率为/I,则经过两次变化后的数后关系为注意到本题是根据3年的总数之和得到相应的等量关系即可求解.【详解】解：变化前量为400,变化后的量为1324,平均变化率为X则经过两次变化后的数量关系为 =F注意到本题是根据3年的总数之和得到相应的等量关系，有等式 400 + 400(l+M+400(l+xf=1324,故选：D.【点睛】本题考查了平均变化率 方法,若变化前量为M变化后的量为乂平均变化率为，则经过两次变化后 的数最关系为式1+=乂注意到本题是根据3年的总数之和得到相应的等量关

12、系是解决本题的关键.4 .已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程x?-7x+10=0的两根，则这个直角三角形斜边的长是()A. 729B. 721C. 29D. 21【答案】A【解析】解：(x - 2XA - 5)=orr - 2=0或公5=0,所以即=2q=5,所以这个直角三角形的两条直角边分别为2和5,所以这 个直角三角形斜边的长=+5?=晒.故选A.点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为。，再把左边通过因 式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都行可能为0,这就能得到两个一元一次方程的 解,这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方

13、程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考 查了勾股定理.5 .两个不相等的实数m,n满足m2 - 6m=4,r?-6n4=0.则m+n=()A. 6B. 4C. - 6D. -4【答案】A【解析】【分析】根据题意得到?、可看作方程丁-6x-4 = 0的两根，然后根据根与系数的关系求解即可.【详解】解：:两个不相等的实数tn,n满足/一 6-4 = 0 ,，？一6一4 = 0 ,，叫可看作方程b -6广一6工一4 = 0的两根，,7 + = 一一 = 一= = 6,故A选项为正确答案.a 1故选：。.【点睛】本题考查了一元二次方程0+尻+。= 0(分0)根与系数的关系：牛毛是一元二次

14、方程b c0V2+加+。= 0(小)的两根时，玉+ K =一,七汽=一是解决本题的关键. a a6 .对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)下列说法正确的是()若a,c异号，则方程ax2+bx+c=0(aw0) 一定行实数根；若b2 - 4ac>0,则方程ax2+bx+c=O(awO)一定有两个不相等实数报：若b=a+c,则方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根：先方程ax2+bx+c=O(a*O)的两根符弓相同，那么方程cx2+bx+a=O(c*O)的两根符弓也相同.A.只有B,只有C.只有D,只有【答案】B【解析】【分析】由于a、c异号，则= h2-4ac &g

15、t;0,根据判别式的意义可对进行判断；由于一5。>0 时,=_4ac>",所以不管八c异号与同号，都有>(),根据判别式的意义可对进行判断：由于 /= b2 -4ac =(。+ c)z=(nc):>0,根据判别式的意义可对进行判断：方程a/ + bx-c = 0 有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义可对进行判断.【详解】解：若a、c异号，则=从一4仇0,方程+纵+。= 0一定有实数根，所以正确；若 瓜一5址X)时, =Z/4ac>",不管a、c同号异号，有>(),则方程ar?+"+。= 0一定有两个不相等 实数根，所以正

16、确；若Z?=a+cq =b4ac=(a+cf4ac=(ac/K),则一元二次方程a/+x + c = 0有 两个实数根,不是一定有两个不相等的实数根,所以错误；若方程+员+ c = 0有两个不相等的实数根，且由题知H0,则方程c£ +阮+ a = 0能为一元二次方程，所 以正确,故选：B.【点睛】本题考有了一元二次方程a/+6r + c = 0(g0)的根的判别比 掌握=。、4址，当>(),方程有 两个不相等的实数根：当 = (),方程有两个相等的实数根；当<(),方程没有实数根是解决本题的关键.7 .若关于x的一元二次方程/+kx+4k3=0的两个实数根分别是x“ m,

17、且满足Xl + x： = X1-则k的值是 0.A. -1或2B. -1C. -D.不存在44【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及x1+X2rX2,得出关于k的方程,解方程并用根的判别式检验得出k的值 即可.【详解】解：由根与系数的关系，得X1+xH因为 XiX?-4kJ3,又 xxz=xix：,所以-k=4k?-3,即 412-3=0,解得k=?或-1,因为()时，所以k2-4(4k2-3)>0,解得：-拽勺区亚，故k=J舍去， 55Ak- 4故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，屈于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验.8.将进货单

18、价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为()A. 60元B. 80元C. 60元或80元D. 30元【答案】C【解析】【分析】设商品的单价是(50+x)元,则每个商品的利润是K50+R40元，销售量是(500 10.1)个，由题意列方程为即 可.求解.【详解】解：由题意列方程为(50+x)-40(500- 10x)=8000,整理得/一 40x + 300 = 0，解方程得n - 10,毛- 30,故商品的的单价可定为50 +10 = 60元或50+30=80元，故选：C.【点睛】本题考查一元二次方

19、程的应用，属于销售利润问题，会结合题意，表示每个的销苫利润,销售量，根据销件利润的基本等最关系，列方程求解是解决本题的关键.9 .将方程x-+4x=5左边配方成完全平方式,右边的常数应该是()A. 9B. 1C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】在方程两边都加上4,配方即可.【详解】解；,/十4):5,/十4八+4 = 5十4,(4+2=9,故遂；A.【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，掌握一元二次方程的配方法是解决本眶的关键.bi 4110 .若实数a、b满足a- - 8a+5=o,b- - 8b+5=0,则一匕+ 厂 的值是（）a-1 p-1- 1A. -20B. 2。2或20D.

20、2【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论：当a-b时，可直接得出答案；当 *b时，根据实数a、b满足 标8a+5=0,/ - 86+5=0,即可看成a、b是方程a- - &L5=0的解，根据根与系数的关系列出关于a、b的等式即 可求解.【详解】解：当所时，原式=2：当a/b时，根据实数、满足a1 - 8a+5-0,/>: - 8H5-0,即可看成。、人是方程炉8x+5-0的 解,；a+b=8、ab=5.nl b-1 a-1 （/?-l）2 + （a-l）2则+=n-1 b-1 （a-1） （b-D_（a + b）2 - lab - 2（。+ b） + 2ab-（.a + b

21、）+l把。+八8,而=5代入得：82-10-164-2 -5-8 + 1 -= -20.b1 a1综上可得：-+ -;的值为2或20."1 b-1故选C.【点睹】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b是方程F-8x+5=O的解,然后根据根与系数的 关系解题.第口卷（非选择题）二.填空题（共6小题）11 .关于x的方程2x2+mx - 2=0的一个根是2,则m=.【答案】-3【解析】【分析】将2代入原方程可得一个关于川的一元一次方程,即可求解.【详解】解：,2是方程2f+3一2 = 0的一个根,2x根+ 2用一2 = 0,小=一3,故答案为一3.【点睛】本题考查了一元二次方

22、程的性质及定义,将方程的根代入方程是解决本题的关犍.12 .某玩具厂1月份生产某种玩具m件，以后平均每月增长的百分数为X,则3月份的玩具产量为 件.【答案】m(l+x)2【解析】【分析】平均每月比上月增产的百分数为占根据某厂1月份产量为M以后平均每月增长的百分数为其可列出3月份 的玩具产量.【详解】解:设平均每月比上月增产的百分数为工，则研l+.if为3月份的玩具产量，故答案为加(1+炉.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，知道这是个增长率问题,知道经过两次变化,从而可列出方程是解决 本题的关键.13.BJJl(x+-)(x+- 1)=2,贝ij x+L=. X XX【答案】2【解析】设X+L

23、=y,则原方程变为y(y-l)=2,解得弘=2,乃=-1 ,当X+lhl时，方程无解，所以X+1=2. XXX14 .已知关于x的一元二次方程x2 - (2k+l)x+2k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是.【答案】k为任意实数【解析】【分析】由于关于X的一元二次方程/一(2% + 1)工+2攵=0有两个实数根，可知>(),据此进行判定即可.【详解】解：V胃一(24 + 1)工+2攵=0有两个实数根,/. > 0,即=护一 4ac = -(2k+ 1) 丁 - 4xlx2k = 4/ +4& + 1-8k = 4/-4女 + 1,4k2 -4k+ 1 = (2k -1)

24、2 >0,:k取任总实数4K -4k +1 = (2A -2 0都成立，故答案为：k取任意实数.【点睛】本题考查了根的判别式，知道一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1必>0则方程有两个不 相等的实数根；(2)A =0则方程有两个相等的实数根：(3世V0则方程没有实数根是解决本题的关键.15 .已知c为实数，并且方程炉3x+c=0的一个根的相反数是方程好+3刀-c=O的一个根，则方程好+31 D的 解是.【答案】X二0, xz- - 3.【解析】解：设方程X2 - 3x+c=o 一个根为f,则t2 - 3f+c=0©,因为-/为方程F+3x - c=0的一个根，所以t2

25、 - - c=0, 由得：（=0,解方程C+3.v=0得：.=04=3.故答案为Ai=O：= - 3.16 .一种商品经连续两次降价后,价格由原来的50元降到12.5元,若两次降价的百分率相同，则这个百分率为【答案】50%【解析】【分析】此题利用的数量关系是商品原来价格*1 一每次降价的百分率=现在价格，设出未知数，列方程解答即可.【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为M根据题意列方程得,50（1xf =12.5,解得 距=0.5 = 50%此=1.5（不合题意，舍去）：故答案为为50%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,此题列方程得商品原来价格工（1 一每次降价的百分率=现在价格 是解

26、决本即的关健.三.解答题（共7小题）17.解卜列方程:(l)3x2 - 5x - 2=0(2)x2 - l=2(x+l)(3)4x2+4x+1=3(3 - x)2(4)(2x+8)(x - 2)=x2+2x - 17【答案】(l)xi=；，X2=2： (2)xi= - 12=3： (3)xi=- 11+7 JT,xk 11 7 JI： (4)xi=x2= - 1.【解析】【分析】 利用因式分解法解方程：（2）利用因式分解法解方程：（3）利用配方法解方程：（4）开括号移项后，利用因 式分解法解方程：【详解】解：（1）3/-5六2 = 0 (3x+l)(r2)= 0/.3x+l = 0»

27、 x2 = 0,A X=-. X,=2.1 3-(2)x2-l = 2(x+l)(x4-1)(x-1)-2(jv+1) = 0(x+l)(x-l-2)= 0： x+l = O, x-3 = 0,<v. = - 1, x. = 3« (3) 4x: + 4x+ l = 3(3-x)2整理得：x? + 22x = 26xz + 22x+121 = 26 + 121(x+11)2=147X4-11 = ±7#=-ll + 7>/3» x2 =-ll-7>/3 .(4)(2x+8)(x-2)= jr + 2x-17整理得：x2 + 2x+l = 0.,.

28、(x+l)2=0:.X = x2=-1.【点睛】本题考查求一元二次方程的解.求解方法：开平方法，配方法,公式法，因式分解法.观察题干，灵活运用是关键.18.己知关于 x 的方程 x2(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰三角形腰长为4,另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.【答案】(1)证明见解析(2)4和2【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出=(?一3)米0,由此即可证出结论；(2)等腰三角形的腰长为4,将x=4代入原方程求出机值，将加的值代入原方程中解方程即可得出方程的解,再根据三角形的三边关系确定的三条边,结合三角形的周长即可得出结论.

29、【详解】(1)证明：*.*= - (m+l)2 - 4x2 (m - l)=m2 - 6m+9= (m - 3)2>O,无论m取何值，这个方程总有实数根：等腰三角形的腰长为4,将x=4代入原方程，得：164(m+l)+2 (m1)=0,解得：in=5,/.原方程为x2 - 6x+8=0,解得：Xi=2, x：=4.组成三角形的三边长度为2、4、4：所以三角形另外两边长度为4和2.【点睛】本题考查了根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质以及解一元二次方程，牢记当") 时,方程有实数根,代入x=4求出m的值是解决本题的关键.19 .新泰特产专卖店销售樱桃,其进价为每克30元,

30、按每克50元出华,平均每天可售出100克,后来经 过市场调查发现,单价每降低1元，则平均每天的销出量可增加10克，若该专卖店销售这种樱桃想要平均 每天获利2240元，请回答：每克樱桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客,高得市场,该店应按原出价的几折出售？【答案】(1)每千克樱桃应降价4元或6元(2)8. 8折【解析】【分析】(1)设出未知数,利用销售量X每件利润=2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客，因此求出应卜降的 价格,求出此时的销件单价即可确定几折.【详解】(1)设每千克樱桃应降价x元，根据题意,得：(50 - 30 - x) (100+10x

31、)=2240,整理，得：x2 - 10x+24=0,解得：xi=4、X2=6,答：每T克樱桃应降价4元或6元：(2)由知每千克樱桃应降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客,嬴得市场，每千克樱桃应降价6元,此时售价为44元，44所以出售时的折扣为善10=8. 8折.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解决本题的关键.20 .已知关于x的一元:次方程tx2 - 6x+m+4=0有两个实数根Xi、Xz.当 t=m=l 时，若 xiX2,求 xi、X2：当m=l时，求t的取值范围：(3)当 t=l 时,若 XI、X2 满足 3|xi|=X2+4,求 m 的值.919【答

32、案】(l)xi=l,X2=5(2)t4 =且讦0(3)59或一 54【解析】【分析】根据翘意，直接代入即可求解方程的两根；根据题意,直接代入即可求解；根据一元二次方程的判别 式，求解出方程的两根，再根据题意求解即可.【详解】当t=m=l时，方程变形为X?-6x+5=0,(x -5)(x - 1)=0,*/ Xi<X2,二. xi=1,X2=5；(2)当m=l时，方程变形为tx2 - 6x+5=0/根据题意得WO且(6)24t5N0,9仁丁且评0：b(3)当t=1时，方程变形为x2 - 6x+m+4=0, =( - 6)2 - 4(m+4)>0,解得 m<5z则 xi+X2=6

33、/xi»X2=m+4/当 xi<0 时，-3xi=x2+4,解得 xi= - 5/X2=ll/m+4= - 55,解得 m= - 59,573519当 xi>0 时，3xi=x2+4,解得 xI=K，X2=7?m+4=-,解得 m=,t. m的值为-59或【点睛】本期考查了一元二次方程的性质，掌握一元二次方程的定义求解是解决本题的关键.21 .为践行中华民族的传统美德,培养学生乐于助人、无私奉献的精神,近几年某校都在3月份举行“学雷锋” 爱心义卖活动,并将所得善款全部资助家庭困难学生.据悉通过该活动募集到的善款逐年增加,2016年募集 善款10000元,2018年募集善款14400元.(I )求这两年该校在爱心义卖活动中募集善款的年平均增长率；(II)若维续保持相同的年平均增长率,请你预测一下2019年该校在爱心义卖活动中将募集到多少善款？【答案】(1)2096(11)17280 元【解析】【分析】设这两年善款的年平均增长率为X,根据题意列出方程,求出方程的解，即可得到结果：(2)根据求出的增长率, 求出2019年善款即可.【详解】(I )设这两年该校在爱心义卖活动中募集善款的年平均增长率为x依即意得：10000 (1+x)2=14400解得: