直线、平面垂直的判定及其性质含练习答案

1、 直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形条件b为平面内的任一直线，而l对这一直线总有l，B，Ì，Ì结论要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论1. 如图，直角所在平面外一点，且，点为斜

2、边的中点（） 求证：平面；（） 若，求证：面 知识点二、二面角.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记） 二面角的平面角的三个特征:. 点在棱上. 线在面内. 与棱垂直.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：. 例：已知四边形PABC为空间四边形，PCA=90°，ABC是边长为的正三角形，PC=2，D、E分别是PA、AC的中点，BD=.试判断直线AC

3、与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B的大小.知识点三、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果=l -l-=90o （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）例：如图，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点 求证：DE=DA;平面BDM平面ECA；平面DEA平面ECA.知识点四：直线与方程一直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合

4、时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°a180°二直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当0<=a<90°时，k>=0 ；当90°<a<180°时，k< 0 ；当a=90°时，k不存在。过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，即直线平行与y轴或与y轴重合，公式右边无意义，直线的斜率不存在

5、，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)同一条直线上任何两点的斜率都相等。三直线方程 点斜式： y - y1 = k(x - x1) 直线斜率k，且过点 (x1,y1)注意：1.当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。2.当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因L上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：y = kx+b ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式： 直线过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) ，(y-

6、y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)适用范围：不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线。 截矩式：x/a+y/b=1,其中直线L与 x轴交于点(a,0) ,与y 轴交于点(0,b) ,即L与x 轴、y 轴的截距分别为a,b 。适用范围：不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线。 一般式：Ax + By + C = 0 （A，B不全为0）两直线平行与垂直当 L1: y=k1x+b1，L2: y=k2x+b2 平行时， k1=k2且b1b2 ；重合时，k1=k2,b1=b2; 相交时，k1 k2; 垂直时，k1k2=-1。当L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C=0 平时

7、时，A1B2=A2B1且A1C2A2C1；垂直时，A1B2=A2B1且A1C2=A2C1；相交时，A1B2A2B1垂直时，A1A2+B1B2=0例：1.若直线过点（，），（，），则此直线的倾斜角是（）（A）° （B）° （C）° （D）9°2. 过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）A. B. C. D. 3. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A. B. C. D. 4. 已知，则直线通过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限5.过点（，）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是 .6.求经过直线

8、的交点且平行于直线的直线方程. 课堂练习：2. 已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P. （1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.3. 如图，四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角O-AB-C的平面角，并求它的度数.4. 如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点， 求证：（1）BCPC；（2）平面PAC平面PBC.课后练习：1(2012·杭州模拟)设a，b，c是三

9、条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是()Aac，bcB，a，bCa，b Da，b2设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题若，则；若l上两点到的距离相等，则l；若l，l，则；若，l，且l，则l.其中正确的命题是()ABCD3给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；(3)已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行其中正确命题个数是()A0 B1 C2 D34.(2013·

10、;珠海模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是() A B C D6.(2012·惠州模拟)如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥

11、ABCD，则在三棱锥ABCD中，下面命题正确的是() A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 8(2013·清远中学月考)正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的长为_9.(2013·中山模拟)点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：三棱

12、锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_10. 如图所示，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形 (1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC.11.(2012·北京海淀二模)如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的O上，CBA30°，PAAB2， 点E为线段PB的中点，点M在上，且OMAC. (1)求证：平面MOE平面PAC；(2)求证：平面PAC平面PCB.答案：1选C对于选项C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；A，B选

13、项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有ab.2选D对于：若，则，前者不是后者的充分条件，比如当时，也有，.对于：显然错误，当l，lA时，l上到A距离相等的两点到的距离相等显然正确3选B(1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“”是“m”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误4选A由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上5选B对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC；对于

14、，点M为线段PB的中点，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6选D在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB，又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.7解析：由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)8解析：如图，设ACBDO，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知ACEF，GHSO，GH平面A

15、BCD，ACGH，AC平面EFG，故动点P的轨迹是EFG，由已知易得EF，GEGF，EFG的周长为，故动点P的轨迹长为.答案：9解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1BC1.BC1平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，三棱锥PAD1C的体积不变又VPAD1CVAD1PC，正确平面A1C1B平面AD1C，A1P平面A1C1B，A1P平面ACD1，正确由于DB不垂直于BC1显然不正确；由于DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1，DB1平面AD1C.DB1平面PDB1，平面PDB1平面ACD1，正确答案：10证明：(1)由已知，得MD是ABP的中位线，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB.所以APPB.又APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.因为BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.11证明：(1)因为点E为线段PB的中