第二章 信号的描述及其分析

1、第二章第二章信号描述及其分析信号描述及其分析通过测量装置变成容易通过测量装置变成容易测量、记录、和分析的测量、记录、和分析的变变化化量量电电信信号号工程测试工程测试信号分析和处理信号分析和处理有用有用信息信息信号分析：研究信号的构成和特征。信号分析：研究信号的构成和特征。信号处理：把信号经过必要的变换过程以获得所需信信号处理：把信号经过必要的变换过程以获得所需信息的过程。息的过程。信号分析和信号处理的基本方法：信号分析和信号处理的基本方法： 将信号抽象为变量之间的函数关系，特别是将信号抽象为变量之间的函数关系，特别是时间函数或空间函数，从数学上加以研究。时间函数或空间函数，从数学上加以研究。

2、信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。信号的频谱分析，是最重要的信号分析技术之一。 本章主要讲述信号的分类、信号的描述和信号的本章主要讲述信号的分类、信号的描述和信号的分析等方面的知识分析等方面的知识第一节第一节 信号及分类信号及分类信号有各种形式，可以不同的角度对其进行分类。信号有各种形式，可以不同的角度对其进行分类。一一.确定性信号确定性信号 能用确定的数学关系式描述，因而可确定其任能用确定的数学关系式描述，因而可确定其任何时刻的量值的信号。何时刻的量值的信号。 有周期信号和非周期信号。有周期信号和非周期信号。000sin)(txtx按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。按

3、一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。1. 周期信号：周期信号：)()(tnTxtx如如其周期、频率、角频率关系为其周期、频率、角频率关系为02TTf1其表达式的形式为其表达式的形式为简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号2. 非周期信号非周期信号确定性信号中不具有周期重复性的信号。确定性信号中不具有周期重复性的信号。非周期信号中包含准周期信号和瞬变非周期信号。非周期信号中包含准周期信号和瞬变非周期信号。瞬态信号：瞬态信号： 除准周期信号以外的非周期除准周期信号以外的非周期信号，是一些或在一定的时间信号，是一些或在一定的时间区间内存在，或随着时间的增区间内存在，或随着时间的增

4、长而衰减至零的信号。长而衰减至零的信号。准周期信号：准周期信号： 由两个以上的周期信号合由两个以上的周期信号合成的，但其组成分量间无法找成的，但其组成分量间无法找到公共周期，无法按某时间间到公共周期，无法按某时间间隔周而复始重复出现的信号。隔周而复始重复出现的信号。ttx3sin2sin 不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系式不能准确预测未来瞬时值，也无法用数学关系式描述的信号。如汽车行驶时的震动和环境噪声等。描述的信号。如汽车行驶时的震动和环境噪声等。 随机信号可以用数理统计的方法进行描述。随机信号可以用数理统计的方法进行描述。二二. 随机信号（非确定性信号）随机信号（非确定性信号）噪声

5、信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳) 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。幅值连续的连续信号称模拟信号。的。幅值连续的连续信号称模拟信号。三三. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号确定性信号的数学表达式中的独立变量取值是连续确定性信号的数学表达式中的独立变量取值是连续的。的。特点：特点：1. 连续信号连续信号 确定性信号的数学表达式中的独立变量取值是确定性信号的数学表达式中的独立变量取值是离散的信号。离散的信号。2. 离散信号离散信号特点：特点： 离散信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。离散信号的

6、幅值可以是连续的，也可以是离散的。 在所有时间点上有定义的信号（幅值连续）称在所有时间点上有定义的信号（幅值连续）称为采样信号，幅值离散的信号称为数字信号。为采样信号，幅值离散的信号称为数字信号。 在非电量测量中，把被测信号在非电量测量中，把被测信号转换为电流或电压信号来处理。转换为电流或电压信号来处理。TTdttxWdt)(2若电压信号若电压信号 加在电阻加在电阻R (R=1)上上 ， )(xUtx四、四、 能量信号和功率信号能量信号和功率信号)(22txRUW信号的功率为：信号的功率为：信号的能量为信号的能量为:此时；此时；信号的能量是信号的功率对时间的积分。信号的能量是信号的功率对时间的

7、积分。 1. 能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量为有限值的），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：信号称为能量信号，满足条件： dttx)(2一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。若能量无限若能量无限,即即dttx)(22. 功率信号：功率信号：一般持续时间无限的信号都属于功率信号一般持续时间无限的信号都属于功率信号: 但它在有限区间但它在有限区间 ( t1 , t2 )内的平均功率是有限的，内的平均功率是有限的，简称功率信号。即简称功率信号。即21)(1212ttdttxtt注意：注意： 在这里的信号的功率和能量，不一定

8、在这里的信号的功率和能量，不一定具有真实功率和能量的量纲。具有真实功率和能量的量纲。第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱抽象为以时间为自变量表达的函数，称为信号的时域描述。抽象为以时间为自变量表达的函数，称为信号的时域描述。求取信号幅值的特征参数以及信号波形在不同时刻的相似求取信号幅值的特征参数以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的时域分析。性和关联性，称为信号的时域分析。时域描述只能反映信号的时域描述只能反映信号的幅值幅值随时间的变化的特征，而不随时间的变化的特征，而不能明显表示出信号的能明显表示出信号的频率频率构成，即信号中蕴含的频率结构和构成，即信号中蕴含的频率

9、结构和各频率成分的幅值、相位关系。各频率成分的幅值、相位关系。描述信号的独立变量是频率，称为信号的频域描述。描述信号的独立变量是频率，称为信号的频域描述。以频率作为独立变量建立信号与频率的函数关系，称为频以频率作为独立变量建立信号与频率的函数关系，称为频域分析或频谱分析。频谱分析的主要方法之一是傅里叶变换。域分析或频谱分析。频谱分析的主要方法之一是傅里叶变换。时域描述和频域描述是可以相互转换的。时域描述和频域描述是可以相互转换的。 一傅立叶级数与周期信号的频谱一傅立叶级数与周期信号的频谱 周期函数周期函数 ，若在有限区间内，满足，若在有限区间内，满足“狄里赫狄里赫利利”条件，则可展成傅立叶三角

10、级数，其展开式为条件，则可展成傅立叶三角级数，其展开式为)(tx)3 , 2 , 1()sincos()(1000ntnbtnaatxnnn基波的角频率式中：002T为傅立叶系数、nnbaa01傅立叶级数的三角函数展开式傅立叶级数的三角函数展开式“狄里赫利狄里赫利”条件：条件： 周期函数周期函数 在一个周期内连续，或只有有限个第在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点，至多只有有限个极值点。一类间断点，至多只有有限个极值点。)(tx220000)(1TTdttxTa220000sin)(2TTntdtntxTb220000cos)(2TTntdtntxTa其中，常值分量其中，常值分量余弦分量

11、的幅值余弦分量的幅值正弦分量的幅值正弦分量的幅值式中式中 T周期周期0角频率角频率T20上式中令上式中令 ,sinnnnAannnAbcosnnnbatg122nnnbaA式中：)sincoscossin()(0010tnAtnAatxnnnnn) 82()sin(100nnntnAa 上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号，上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号，均可在一个周期内表示成一个常值分量和一系列正弦均可在一个周期内表示成一个常值分量和一系列正弦分量之和的形式。分量之和的形式。其中，其中，n =1的那个正弦分量称为基波，相应的频率的那个正弦分量称为基波，相应的频率称为基频；称为基

12、频； 当当n =2，3，时，依次称为二次、三次时，依次称为二次、三次n次谐次谐波，相应的频率称为二次、三次波，相应的频率称为二次、三次n次谐波频率。次谐波频率。2. 周期信号的频谱周期信号的频谱 从上式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷从上式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。多个不同频率的谐波叠加而成的。 以圆频率为以圆频率为 横坐标，幅横坐标，幅值值 或相角或相角 为纵坐标作图，则分别得其幅频图和为纵坐标作图，则分别得其幅频图和相频图。相频图。nnA)3 , 2 , 1,(0nn 幅频谱、相频谱统称频谱。对信号进行变换，获得幅频谱、相频谱统称频谱。对信号

13、进行变换，获得频谱的过程也就是对信号进行频谱分析的过程。频谱的过程也就是对信号进行频谱分析的过程。例例2-12-1：求如图所示的周期方波的频谱。求如图所示的周期方波的频谱。解：该方波在一个周期内的表达式为解：该方波在一个周期内的表达式为0220tTATtAx常值分量：常值分量：220000)(1TTdttxTa0200)(1TdtAT20001TAdtT0余弦分量的幅值：余弦分量的幅值：0cos)(2220000TTntdtntxTa正弦分量的幅值：正弦分量的幅值：220000sin)(2TTntdtntxTb20000sin)(4TtdtntxT20000cos)1(2TtnnTA1cos2

14、nnA5,3,146,4,20nnAn)3 , 2 , 1()sincos()(1000ntnbtnaatxnnn)5 , 3 , 1()sin4(10ntnnAn)5 , 3 , 1()sin1(410ntnnAnn00030507相频图相频图其相频谱中基波和各次其相频谱中基波和各次谐波的初相位都为零。谐波的初相位都为零。202022)(0000TttTAAtTtTAAtx例例2-22-2：求如图所示的三角波的频谱。求如图所示的三角波的频谱。解：在一个周期中解：在一个周期中 可表示为可表示为)(txA20T20Tt)(tx常值分量：常值分量：220000)(1TTdttxTa20000)2(

15、2TdttTAAT2A余弦分量的幅值：余弦分量的幅值：220000cos)(2TTntdtntxTa200000cos)2(4TtdtntTAAT2sin4222nnA6,4,205,3,1422nnnA正弦分量的幅值：正弦分量的幅值：2200000sin)(2TTntdtntxTb因此，周期三角波的傅里叶级数三角函数展开式为：因此，周期三角波的傅里叶级数三角函数展开式为：)5cos513cos31(cos42)(020202tttAAtxtnnAAn0122cos142), 5 , 3 , 1(n周期信号的频谱的特点：周期信号的频谱的特点：（1）离散性）离散性 频谱是离散的。频谱是离散的。（

16、2）谐波性）谐波性 频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频频谱中的谱线只出现在基频的整数倍频率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。率处，即各次谐波频率都是基频的整数倍。（3）收敛性）收敛性 各次谐波分量随频率增加，其总的趋势各次谐波分量随频率增加，其总的趋势是衰减的。是衰减的。 因此在实际频谱分析中，根据因此在实际频谱分析中，根据精度要求决定所取谐波的次数。精度要求决定所取谐波的次数。 通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成一系通过频谱分析可以把一个复杂的时间信号分解成一系列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频谱结构以列简单的正弦谐波分量来研究，以获得信号的频谱结构以及各次谐波幅值和相位信

17、息。动态测试中具有重要的意义。及各次谐波幅值和相位信息。动态测试中具有重要的意义。 以上分析可以看出，时域波形变化剧烈的，其频谱以上分析可以看出，时域波形变化剧烈的，其频谱成分中高频成分多，反之低频成分多。成分中高频成分多，反之低频成分多。 此图表明此图表明时域描述、频时域描述、频域描述是对同域描述是对同一信号的不同一信号的不同描述方法，并描述方法，并没有改变信号没有改变信号本身的特性，本身的特性，它们只是通过它们只是通过不同的描述方不同的描述方法表征了不同法表征了不同特征。特征。二、傅立叶级数的复指数函数展开式二、傅立叶级数的复指数函数展开式tjtetjsincos)(21sintjtjee

18、jt根据欧拉公式：根据欧拉公式：)1(j)(21costjtjeet上两个式代入傅里叶级数三角函数展开式，可得上两个式代入傅里叶级数三角函数展开式，可得tjnnntjnnejbaejbaatx)(21)(21)(10令令；00aC ; )(21nnnjbaC)(21nnnjbaC10)()(00ntjnntjnneCeCCtx得得)152(0ntjnneC), 2, 1, 0n（), 2, 1, 0n（式中)162(1000220dtetxTCtjnTTn）（为复数，可以写成一般情况下nC)172( njnnInRneCjCCC22nInRnCCC各次谐波的幅值nRnInCCtg1各次谐波的相

19、位 为纵坐标，为纵坐标， 为横坐标画图，得到的为横坐标画图，得到的 和和 图分别称为幅频谱图和相频谱图。图分别称为幅频谱图和相频谱图。 nnC、nnC Cn 的实部的实部CnI 和虚部和虚部CnR 与频率与频率 的关系作的幅频的关系作的幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图。图，分别称为实频谱图和虚频谱图。 当当 取负值时，取负值时， 为为“负频率负频率”。其意是旋转方。其意是旋转方向为逆时针方向为正，顺时针方向为负。向为逆时针方向为正，顺时针方向为负。n0n例例2-3：求例：求例2-1中周期方波的指数形式的傅里叶级数展中周期方波的指数形式的傅里叶级数展开式。开式。解：该方波在一个周期内的表达式为

20、解：该方波在一个周期内的表达式为0220tTATtAxdtetxTCtjnTTn0221）（1002002dteAdteATtjnTtjnTtjtetjsincosnjnejnsincos把此式代入上式可得把此式代入上式可得)1(221200nnjnAC, 4, 2, 00, 5, 3, 12nnnAj2),2(nnnAC01)1()1(jneeTAjnjn所以，周期方波的复指数傅里叶展开式为所以，周期方波的复指数傅里叶展开式为tkjtjnnekAjeCtx00)12(1212)(, 2, 1, 0k三角函数形式的频谱为单边谱三角函数形式的频谱为单边谱(从从0到到+),复数函复数函数形式的频谱

21、为双边谱数形式的频谱为双边谱(从从-到到+)。00,21acAcnn2. 2. 两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即傅立叶级数的两种展开式有以下联系：傅立叶级数的两种展开式有以下联系：3. 3. 双边频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。双边频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。第第 三三 讲讲第三节第三节 傅里叶变换及非周期信号的频谱傅里叶变换及非周期信号的频谱非周期信号：可分为准周期信号和瞬变非周期信号。非周期信号：可分为准周期信号和瞬变非周期信号。准周期信号：准周期信号： 两个以上简谐信号组成，但各简谐信号两个以上简谐信号组成，但各简谐信号的频率比

22、不是有理数。频谱也具有离散性，从表达式的频率比不是有理数。频谱也具有离散性，从表达式便可知其频率结构。如便可知其频率结构。如 x(t) = sin(t)+sin(2t)。 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。 瞬变非周期信号瞬变非周期信号 如下图所示。如下图所示。一、傅里叶变换一、傅里叶变换 周期函数周期函数 x ( t )的周期为的周期为T，在（，在（-T/2，T/2）区间进

23、）区间进行傅里叶级数展开式为行傅里叶级数展开式为dtetxTCtjnTTn022)(1ntjnneCtx0)(上式中代入上式中代入得得ntjntjnTTedtetxTtx00)(1()(22周期信号频谱谱线的间隔周期信号频谱谱线的间隔 ，当，当 T 趋趋向于无穷大时，其频率间隔向于无穷大时，其频率间隔 区域无穷小，谱线无限区域无穷小，谱线无限靠近，离散变量靠近，离散变量 演变为连续变量演变为连续变量 ，导致离散频谱，导致离散频谱线的顶点演变为连续的曲线，求和符号变为积分符号线的顶点演变为连续的曲线，求和符号变为积分符号了。了。T200nntjntjnTTedtetxTtx00)(1()(22t

24、jtjedtetxd22)(2dedtetxtjtj)(21( 这就是傅里叶积分。上式括号里面的积分，积分变这就是傅里叶积分。上式括号里面的积分，积分变量是时间量是时间t，故积分之后只是，故积分之后只是的函数，记作的函数，记作X（），），得到得到dtetxXtj)(21)(deXtxtj)()(上式可以改写为上式可以改写为dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)( 在数学中，称在数学中，称 为为 的傅里叶变换，称的傅里叶变换，称 为为 的傅里叶逆变换，两者互称为傅里叶变换对。的傅里叶逆变换，两者互称为傅里叶变换对。)(tx)(tx)(X)(X表示为表示为 ，简写为，简写为 。)()(F

25、TIFTXtx)()(Xtx记作记作 。)()(, )()(1txXFXtxF将将 代入可以得到以代入可以得到以 f 为变量的傅里叶变换对。为变量的傅里叶变换对。f2:)()(2dtetxfXtfjdfefXtxftj2)()(一般一般 是实变量是实变量 的复函数，可以写成的复函数，可以写成)(fX)(xf)()()(fjefXfX)(ImRe)()()()(fjefXfjXfXfX;)()()(2ImRe2fXfXfX)()()(ReIm1fXfXtgf 为信号为信号 的连续幅值谱，的连续幅值谱， )( fX)(tx的频谱函数。的频谱函数。称称为为)(tx)( fX)( f)(tx为信号为信

26、号 的连续相位谱。的连续相位谱。这样在傅里叶变换中避免出现这样在傅里叶变换中避免出现 的常数因子。的常数因子。21)(2)(XfX其关系是其关系是其中：其中：例例 2-4 2-4 求如图所示的矩形窗的频谱，该函数为求如图所示的矩形窗的频谱，该函数为2021)(TtTttw其中，其中，T T 为时间宽度，称为窗宽。为时间宽度，称为窗宽。)( fW222TTftjdte)(21fTjfTjeefjdtetwftj2)(解：解：)(21)sin(tjtjeejt)(21)sin(fTjfTjeejfT设)sin(1)(fTffW)(21)(fTjfTjeefjfWfTfTT)sin(fTfTfTc)

27、sin()(sin定义：（抽样函数）即：xxcxsinsinsinc x 的函数值从专门的数学表可查到，它以的函数值从专门的数学表可查到，它以2为为周期，并随周期，并随 x 的增加而做衰减振荡。的增加而做衰减振荡。)(sin)(fTcTfW其谱线如下图所示。其谱线如下图所示。二、傅里叶变换的性质以及应用二、傅里叶变换的性质以及应用 信号的时域、频域分析，从不同的角度揭示了信号信号的时域、频域分析，从不同的角度揭示了信号的物理特性，两者通过傅里叶变换来确立相互一一对应的物理特性，两者通过傅里叶变换来确立相互一一对应关系。关系。 时域分析变得困难时，可通过傅里叶变换到频域分时域分析变得困难时，可通

28、过傅里叶变换到频域分析，因此要熟悉傅里叶变换的主要性质。析，因此要熟悉傅里叶变换的主要性质。1线性叠加性线性叠加性如果如果);()(fXtx)()(fYty)()(tbytax则则)()(fbYfaX其中其中a、b 均为常数。它表明两个信号线性组合的傅均为常数。它表明两个信号线性组合的傅里叶变换是单个信号傅里叶变换的线性组合。里叶变换是单个信号傅里叶变换的线性组合。2对称性对称性)()(fXtx若)()(fxtX则 该性质表明，信号的时域该性质表明，信号的时域波形和频域波形有着互相对应波形和频域波形有着互相对应的关系。的关系。证明：证明：dfefXtxftj2)()(以以 -t 代替代替 t

29、，并将，并将 t 与与 f 互换，得到互换，得到dtefXfxftj2)()(即即)()(fxtXdtfttjxfttx2sin)(2cos)(ftdttxfX2cos)()(Re1）令（ftdttxfX2sin)()(Im为实偶函数，为实偶函数，)(RefX)(ImfX为实奇函数。为实奇函数。3奇偶虚实性奇偶虚实性一般一般 X( f ) 是实变量是实变量 f 的复变函数。可写成的复变函数。可写成dtetxfXftj2)()()(Im)(Re)(fXjfXfX则）（ fjefXfX)()(上式改写成上式改写成22)(Im)(Re)(fXfXfX是频率的偶函数。是频率的偶函数。幅频谱幅频谱) )

30、(Re)(Im(1fXfXtgf）（a. 为实偶函数，则为实偶函数，则 ，)(tx0)(ImfXb. 为实奇函数，则为实奇函数，则 ，)(tx0)(RefX)(Im)(fXjfX 为虚奇函数。为虚奇函数。)(Re)(fXfX为实偶函数。为实偶函数。讨论几种特殊情况：讨论几种特殊情况：相频谱相频谱是频率的奇函数。是频率的奇函数。)(Re)(fXjfX为虚偶函数。为虚偶函数。)(Im)(fXfX为实奇函数。为实奇函数。c. 为虚偶函数，则为虚偶函数，则 ，0)(ImfX)(txd. 为虚奇函数，为虚奇函数， ，0)(RefX)(tx 了解这个性质有助于估计傅立叶变换对的相应图形了解这个性质有助于估

31、计傅立叶变换对的相应图形性质，减少不必要的变换。性质，减少不必要的变换。4时间尺度改变特性时间尺度改变特性)()(fXtx若证明：证明：)()(1)()(22atdeatxadteatxatafjftj)(1afXa)(atx则)(1afXa) 0( a)302( 在（在（230）中若）中若 a 1 时，时域波形在时间轴上被时，时域波形在时间轴上被压缩压缩a 倍，导致频域波形在频率轴上被扩展倍，导致频域波形在频率轴上被扩展 a 倍；倍； 若若a 1 时，时域波形在时间轴上被扩展时，时域波形在时间轴上被扩展1/a 倍，导倍，导致频域波形在频率轴上被压缩致频域波形在频率轴上被压缩1/a 倍。倍。时

32、域压缩（时域压缩（a1)频域扩展（幅值降低）频域扩展（幅值降低）时域扩大（时域扩大（a1）频域压缩（幅值增加）频域压缩（幅值增加）如：记录磁带慢录快放，即使时间尺度压缩。如：记录磁带慢录快放，即使时间尺度压缩。 尺度改变特性说明了时间和频率两个资源之间的关尺度改变特性说明了时间和频率两个资源之间的关系，在时域中压缩信号的持续时间，则对应于在频域中系，在时域中压缩信号的持续时间，则对应于在频域中扩展了它的频率带宽，反之亦然。扩展了它的频率带宽，反之亦然。 所以，在时域中提高信息的处理速度，必须以牺牲所以，在时域中提高信息的处理速度，必须以牺牲带宽为代价，如果降低处理效率，则在信号的处理过程带宽为

33、代价，如果降低处理效率，则在信号的处理过程中，对后续设备的通频带要求可以降低。中，对后续设备的通频带要求可以降低。5时延特性时延特性)()(fXtx若020)()(ftjefXttx则 信号在时域中沿时间轴前后移动，产生时移，则变信号在时域中沿时间轴前后移动，产生时移，则变换到频率域中，其幅值谱保持不变，其频谱相应产生附换到频率域中，其幅值谱保持不变，其频谱相应产生附加相移。其相角的改变量加相移。其相角的改变量 和频率成正比：和频率成正比：02 f时域移动对应于频域相移。时域移动对应于频域相移。上式表明，上式表明，X（ f ）在频域中沿频率轴移动，则对）在频域中沿频率轴移动，则对应于应于x（t

34、）在时域中产生一相位因子。）在时域中产生一相位因子。 反过来，函数反过来，函数x（t）乘以）乘以 ，可使整个频谱，可使整个频谱X（f）搬移）搬移 f0。tfje02 在无线广播和通信技术中，经常需要将低频信号搬在无线广播和通信技术中，经常需要将低频信号搬移到高频段发射，就是采用这一特性，将信号与正（余）移到高频段发射，就是采用这一特性，将信号与正（余）弦信号相乘实现，这个过程称为幅度调制。弦信号相乘实现，这个过程称为幅度调制。6. 频移特性频移特性)()(fXtx若)(0ffXtfjetx02)(则7微分和积分特性微分和积分特性),()(fXtx若)(2)(ffXjdttdx则推广到推广到 n

35、 阶微分：阶微分：nndttdx)()()2(fXfjn)(21)(fXfjdttxt则（上式中如果（上式中如果 ，则，则 ）0)0(X0f 在振动测试中，如果测得系统的位移、速度、或加在振动测试中，如果测得系统的位移、速度、或加速度中的任意参数的频谱，利用微分、积分特性就可以速度中的任意参数的频谱，利用微分、积分特性就可以获得其它参数的频谱。获得其它参数的频谱。若对时间积分若对时间积分在频域中微分也存在类似的性质，即在频域中微分也存在类似的性质，即)()()2(fXdfdtxtjnnn8卷积特性卷积特性)()(21txtx)()(22fXtx);()(11fXtx)()()()(2121fX

36、fXtxtx则若若)()()()(2121txtxfXfX时域卷积对应于频域乘积；时域乘积对应于频域卷积。时域卷积对应于频域乘积；时域乘积对应于频域卷积。两个函数两个函数 x1 ( t ) 和和x2 ( t ) ，定义，定义dtxx)()(21为为 x1 ( t ) 和和x2 ( t )的卷积。的卷积。9能量积分能量积分),()(fXtx若dffXdttx22)()(则 在很多情况下，卷积积分用直接积分的方法来计算在很多情况下，卷积积分用直接积分的方法来计算是有困难的，但它可以利用变换的方法来解决，从而使是有困难的，但它可以利用变换的方法来解决，从而使分析工作大为简化。分析工作大为简化。上式称

37、为巴塞伐尔定理，也叫能量等式。它表明在上式称为巴塞伐尔定理，也叫能量等式。它表明在时域中计算信号的总能量等于频域中计算的总能量。时域中计算信号的总能量等于频域中计算的总能量。 称为称为 能量谱密度，它决定信号能量谱密度，它决定信号沿频率轴能量密度的分布。沿频率轴能量密度的分布。dffX2)()(tx时域频域对应关系时域频域对应关系频域频域时域时域性质性质线性叠加线性叠加线性线性niiitxa1)(niiitXa1)(对称对称对称性对称性)(tX)( fx 压缩与扩展压缩与扩展尺度变换尺度变换)(atx)(1afXa表表2-1 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质时移与相移时移时移时域频域对

38、应关系时域频域对应关系频域频域时域时域性质性质)(0ttx02)(tfjefX)(0tatxatfjeafXa02)(1调制与频移频移频移tfjetx02)()(0ffXtftx02cos)(tftx02sin)()()(2100ffXffX)()(2100ffXffX时域微分时域微分dttdx)(nndttdx)()(2fXfj)(2fXfjn频域微分频域微分)(2txfjdffdX)()(2txfjnnndffdX)(时域积分时域积分dttxt)()(21fXfj频域卷积频域卷积乘积和卷积乘积和卷积时域卷积时域卷积时域频域对应关系时域频域对应关系频域频域时域时域性质性质)()(21txtx

39、)()(21fXfX)()(21txtx)()(21fXfX三、典型信号的频谱三、典型信号的频谱1. 矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱2021)(TtTttw其中，其中，T 为时间宽度，称为窗宽。为时间宽度，称为窗宽。)(sin)(fTcTfW谱线如下图所示。谱线如下图所示。其频谱函数为其频谱函数为 由图可知，一个在时域有限区间内有值的信号，其由图可知，一个在时域有限区间内有值的信号，其频域却延伸至无线频率。频域却延伸至无线频率。 若在时域中截取信号的一段记录，则相当于原信号若在时域中截取信号的一段记录，则相当于原信号和窗函数之乘积，因而所得频域将是原信号频域函数和和窗函数之乘积，因而所得频域

40、将是原信号频域函数和 sin c 函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。主瓣主瓣其它为旁瓣其它为旁瓣 主瓣宽度为主瓣宽度为 2/T，与时域窗宽度与时域窗宽度 T 成反比。成反比。可见时域窗宽愈大，截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。可见时域窗宽愈大，截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。2单位脉冲信号（狄拉克函数、单位脉冲信号（狄拉克函数、函数）函数） 定义：定义：在在时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲S( t )，其面积为，其面积为1。当当趋近于趋近于0时，时， S( t )的极限就称为狄拉克函数。的极限就称为狄拉克函数。000)(ttt

41、a从函数值极限角度看从函数值极限角度看)()(lim0tStb从面积（也称为从面积（也称为 函数强度）角度来看函数强度）角度来看dtt)(由定义由定义dttS)(lim01)(t记作：记作： 实际应用中，常用瞬时冲击来实际应用中，常用瞬时冲击来近似实现近似实现信号，如图信号，如图2-11所示。所示。)(tto瞬时冲击图图2-11 函数的性质函数的性质1）采样性质）采样性质如果任意连续函数如果任意连续函数 与与 函数相乘，其乘积在函数相乘，其乘积在t = 0 处得到处得到 ，其余各点（，其余各点（t 0）之乘积为零。）之乘积为零。)(tx)()0(tx)(tdtxtdttxt)0()()()()

42、0()()0(xdttx如果任意连续函数如果任意连续函数 与与 函数相乘，在（函数相乘，在（-，）区间中积分，则得）区间中积分，则得)(tx)(t 同理，对于延时同理，对于延时 t0 的的函数函数 ，它与连续函数，它与连续函数 的乘积只有的乘积只有 时刻不为零，时刻不为零，)(tx)(0tt0tt )()()()(000tttxtttxdttfttdttftt)()()()(000)(0tf 函数的采样性质是对连续信号进行离散采样的理函数的采样性质是对连续信号进行离散采样的理论依据。论依据。 在（在（-，）区间中积分，则得）区间中积分，则得2）卷积性质）卷积性质dtxxtxtx)()()()(

43、2121两个函数两个函数 与与 的卷积定义为；的卷积定义为；)(1tx)(2tx因此任意函数因此任意函数 和和 的卷积表示为的卷积表示为)(t)(tx)()(ttx)()()(txdttx)(t1t)(txAt)()(ttxAt)()()()()(000ttxdttxtttx同理可得同理可得)(txAt)(0tt t0t0t)(0tt )(0tt )()(0txttt0t0t)()(0txtt)()(0txtt 可见函数可见函数 和和 卷积的结果，就是在卷积的结果，就是在 函数函数的坐标位置上（以此作为坐标原点）简单地将的坐标位置上（以此作为坐标原点）简单地将 重重新构图。新构图。)(tx)(

44、t)(tx)()(:21ttttx求解：；设1ttta)()()()(1221ttttxttttxaadttxtttx)()()()(00)()()(1212tttxttttxaaa)()()(212112ttxttttxtttxa代入卷积式得代入卷积式得)(0ttx例例)(122ttttta则 函数的频谱函数的频谱函数的傅立叶变换：)(t)( fdtetftj2)(10 e1)(t逆变换为逆变换为dfetfj21)( 因此，时域的因此，时域的函数具有无限宽广的频谱，而且在函数具有无限宽广的频谱，而且在所有频段上都是等强度的。常称为所有频段上都是等强度的。常称为 “均匀谱均匀谱”。 根据傅里叶

45、变换性质，可得到几对重要的傅里叶变根据傅里叶变换性质，可得到几对重要的傅里叶变换对。换对。)(t1时时 域域频频 域域)()(ff1)(0ff tfje02)(0ttftje023. 周期单位脉冲序列（梳状函数）及其频谱周期单位脉冲序列（梳状函数）及其频谱)(),(TSnSnTttTtcomb）（其图像为其图像为.t0STST2ST2ST.1为周期；式中sT, 2, 1, 0nn为整数周期单位脉冲序列的数学表达式为周期单位脉冲序列的数学表达式为用傅里叶指数的复指数函数形式表示，用傅里叶指数的复指数函数形式表示，)1(2TssktkfjkTfeCts）（ comb(t,T)在一个周期在一个周期

46、内内函数函数只有一只有一个个 。)2,2(ssTT)(t222)(1sssTTtfjTskdtetTC其系数为其系数为ktkfjsseTt2T1）（而当而当 时，时，0t102eetfjs所以所以skTC1根据复数指数函数的傅里叶变换对根据复数指数函数的傅里叶变换对)(020kffetkfj)( fTkssTkfT)(1ksskffT)(1comb(t，T)的频谱也是梳状函数，其图形为的频谱也是梳状函数，其图形为.t0ST2.1STSTST2),(STtcombt0.sT1sT1sT2sT2sT1),(sffcomb若时域周期为若时域周期为 ，则频域脉冲序列的周期为，则频域脉冲序列的周期为 ；

47、sTsT1 由图可以看出时域周期单位脉冲序列的频谱也是由图可以看出时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。周期脉冲序列。时域脉冲强度为时域脉冲强度为1，则频域中脉冲强度为，则频域中脉冲强度为 。sT1为的频谱),(),(sSffcombTtcomb4正、余弦信号的频谱正、余弦信号的频谱2)(2cos2)(2sin0000220220tfjtfjtfjtfjeetfeejtf 由于正、余弦函数不满足绝对可积，不能用傅里叶由于正、余弦函数不满足绝对可积，不能用傅里叶变换公式变换公式 直接进行，而需要引直接进行，而需要引入入函数。函数。dtetxfXftj2)()(2)(sin;2)(costj

48、tjtjtjeejteet根据欧拉公式根据欧拉公式可表示为可表示为)(020ffetfj根据傅里叶变换的频移特性根据傅里叶变换的频移特性2)()(2cos2)()(2sin000000fffftfffffjtf可得正、余弦函数的傅里叶变换为可得正、余弦函数的傅里叶变换为其频谱图如下其频谱图如下tftx02sin)(t0t00f0f)(ImfX2121t0210f0f)(RefX21tftx02cos)(t0第四节第四节 数字信号的离散化数字信号的离散化数字信号的优点：数字信号的优点： 有较高的抗干扰性；有较高的抗干扰性； 易于存储；易于存储； 可以使用计算机处理。可以使用计算机处理。 已成为现

49、代测试技术的一个重要组成部分。已成为现代测试技术的一个重要组成部分。 模拟信号通过模拟信号通过A/D转换可变为数字信号，在这一过转换可变为数字信号，在这一过程中涉及采样间隔与频率的混淆、采样长度与频率分辨程中涉及采样间隔与频率的混淆、采样长度与频率分辨率、量化与量化误差、泄露与窗函数等诸多方面。率、量化与量化误差、泄露与窗函数等诸多方面。 这些内容涉及的参数在使用某些测试设备或编制测这些内容涉及的参数在使用某些测试设备或编制测试软件时需要进行设置。试软件时需要进行设置。设模拟信号设模拟信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 。)(tx)(fX 为了利用计算机，必须使为了利用计算机，必须使 x(t)

50、 变换成有限长的离散变换成有限长的离散时间序列。为此对时间序列。为此对 x(t) 进行采样和截断。进行采样和截断。采样就是用一个等时距的周期脉冲序列采样就是用一个等时距的周期脉冲序列 s(t) 去乘去乘 x(t) 。)()()()(fSfXtstx 等时距的周期脉冲序列等时距的周期脉冲序列s ( t )的傅里叶变换的傅里叶变换S( f ) 也也是周期脉冲序列，其频率间距为是周期脉冲序列，其频率间距为 fs=1/Ts，如下图所示。，如下图所示。图中；图中； 时距时距Ts 称为采样间隔称为采样间隔 ； 1/Ts= fs称为采样频率。称为采样频率。时间域中时间域中 ，采样后的信号如下图所示。，采样后

51、的信号如下图所示。)()(tstx频率域中频率域中 ，其图形为下图所示。，其图形为下图所示。)()(fSfX 由于计算机只能进行有限长序列的运算，采样后的由于计算机只能进行有限长序列的运算，采样后的信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视为零而不予考虑。为零而不予考虑。 这就是把采样后信号（时间序列）乘上一个矩形窗这就是把采样后信号（时间序列）乘上一个矩形窗函数函数 w( t ) ，窗宽为，窗宽为T。所截取的时间序列数据点数所截取的时间序列数据点数 N =T/Ts 也称序列长度。窗函数也称序列长度。窗函数 w ( t )的傅里叶变换的傅里

52、叶变换W ( f )如图所示。如图所示。 因此进入计算机的信号因此进入计算机的信号 是长度为是长度为 N 的离散信号。时域相乘对应着频域卷积。的离散信号。时域相乘对应着频域卷积。)()()(twtstx 它的频谱函数是它的频谱函数是 ，是一个频域连，是一个频域连续函数。在卷积中，续函数。在卷积中， 的旁瓣引起新频谱的皱波。如的旁瓣引起新频谱的皱波。如图所示。图所示。)()()(fWfSfX)( fW 计算机按照一定算法，比如离散傅里叶变换（计算机按照一定算法，比如离散傅里叶变换（DFT）将将 N 点长的离散时间序列点长的离散时间序列 变换成变换成 N 点的点的离散频率序列，并输出。离散频率序列

53、，并输出。 )()()(twtstx DFT不仅算出不仅算出 的的“频谱频谱”，而却同时，而却同时对其频谱实施了频域的采样处理对其频谱实施了频域的采样处理 ，使，使其离散化。其离散化。)()()(twtstx)()()(fWfSfX相当于在频域中乘上图下所示的采样函数相当于在频域中乘上图下所示的采样函数 。)(fD计算机实际输出是计算机实际输出是 （左图）。（左图）。pfX)()()()()()(fDfWfSfXfXp时域函数时域函数 （周期函数）（周期函数）ptx )()()()()()(tdtwtstxtxp 频域采样形成频域函数离散化，相应地把其时域函频域采样形成频域函数离散化，相应地把

54、其时域函数周期化了。数周期化了。原来希望获得模拟信号原来希望获得模拟信号 的频域函数的频域函数 。 )(tx)(fX 输入计算机的数据却是序列长度为输入计算机的数据却是序列长度为N 的离散采样后的离散采样后信号信号 ，计算机输出是用，计算机输出是用 来近似来近似 。)()()(twtstx)(fXpfX)(1. 采样与采样定律采样与采样定律（1）采样）采样将连续的时域信号转变为离散的时间序列的过程。将连续的时域信号转变为离散的时间序列的过程。实质上是将模拟信号按一定的时间间隔实质上是将模拟信号按一定的时间间隔 Ts 逐点取其逐点取其瞬时值，使之成为离散信号。瞬时值，使之成为离散信号。 Ts 称

55、为采样间隔，称为采样间隔，fs=1/Ts 称为采样频率。称为采样频率。（2）采样（香农）定律）采样（香农）定律带限信号不丢失信息的最低采样频率为带限信号不丢失信息的最低采样频率为 。csff2其中其中: fc 为原信号的最高频率。为原信号的最高频率。不满足采样定律，将会产生频率混叠现象。不满足采样定律，将会产生频率混叠现象。 理论上是将模拟信号理论上是将模拟信号 与时间间隔为与时间间隔为Ts的周期单位的周期单位脉冲序列函数脉冲序列函数 相乘，即相乘，即 。频域。频域 )()(tstx)(tx)(ts)()(fSfX 图图 b 中用过大的中用过大的 采样间采样间隔隔Ts 对不同频率的正弦波采样，

56、对不同频率的正弦波采样，得到一组相同的采样值无法辨认得到一组相同的采样值无法辨认两者的差异，将其中的高频信号两者的差异，将其中的高频信号误认为某种相应的低频信号，出现所谓的混叠现象。误认为某种相应的低频信号，出现所谓的混叠现象。（3）频率混叠）频率混叠 由于采样频率选取不当而出现高低频率成分发生混由于采样频率选取不当而出现高低频率成分发生混叠的一种现象。叠的一种现象。a 图b 图时域中若图时域中若图 a 所示的所示的 Ts 采采样，将得点样，将得点1、2、3、4 等的采等的采样值，无法分清曲线样值，无法分清曲线 A、B、C 的差别，并把的差别，并把 B、C 误认为误认为A。图图 a 是信号是信

57、号 x( t ) 及其傅里叶变换及其傅里叶变换 X( f ) ，其频率范，其频率范围是围是-fcfc。图图 b 是采样信号是采样信号 xs( t ) 及其傅里叶变换，它的频谱及其傅里叶变换，它的频谱是根据是根据函数的卷积性质，将函数的卷积性质，将 X( f ) 在频域重新构图。在频域重新构图。图中表明当满足采样定律时，谱图是分离的。图中表明当满足采样定律时，谱图是分离的。而图而图 c 是不满足采样定律时，谱图相互重叠，使信是不满足采样定律时，谱图相互重叠，使信号复原时产生混叠。号复原时产生混叠。1）提高采样频率以满足采样定律，一般取）提高采样频率以满足采样定律，一般取 。csff)43(2）用

58、低通滤波器滤掉不必要的高频成分以防频率混叠）用低通滤波器滤掉不必要的高频成分以防频率混叠的产生，此时的低通滤波器也称为抗混叠滤波器。的产生，此时的低通滤波器也称为抗混叠滤波器。 解决频率混叠的方法有：解决频率混叠的方法有：2. 采样频率和频率分辨率采样频率和频率分辨率当差样间隔当差样间隔 Ts 一定时，采样长度一定时，采样长度 T 越长，数据的点越长，数据的点数数 N 越大。为了减少计算量越大。为了减少计算量 T 不宜过长。不宜过长。但是若但是若 T 过短，则不能反映信号的全貌，因为在作过短，则不能反映信号的全貌，因为在作傅里叶分析时，频率分辨率傅里叶分析时，频率分辨率f 与采样长度成反比，即

59、与采样长度成反比，即)(11sNTTf若分析频率取若分析频率取)56. 2(156. 2sscTff各档频率分辨率为各档频率分辨率为cssfNfNTf)8001,4001,2001 (56. 21若采样频率为；若采样频率为；Hzfs2560当当 时，时， 。1024NHzf5 . 2当当 时，时， 。2048NHzf25. 13. 量化及量化误差量化及量化误差量化：量化： 采样得到的离散信号的电压幅值，用二进码组采样得到的离散信号的电压幅值，用二进码组表示，就是离散信号变成数字信号的过程。表示，就是离散信号变成数字信号的过程。一般在工程信号分析中，采样点一般在工程信号分析中，采样点N选取选取2

60、的整数幂，的整数幂，使用较多的有使用较多的有512、1024、2048等。等。Vx603)0(Vx1005) 1 (Vx804)2(Vx201)3(Vx201)4(Vx804)5(Vx1005)6(Vx402)7(Vx201)8( 量化是从一组有限个离散电平中取一个来近似代表量化是从一组有限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平。这些离散电平称为量化电采样点的信号实际幅值电平。这些离散电平称为量化电平，每个量化电平对应一个二进制数码。平，每个量化电平对应一个二进制数码。例：例： A/D转换器的位数是一定的。一个转换器的位数是一定的。一个 b 位（数据字位（数据字长）的二进制数，共