高一数学集体备课——平面向量的概念及运算

1、平面向量的概念及运算 高一数学主备人：李增花一【导学目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的基本概念.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.二【试题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、两个向量共线的定理等。此类题难度不大。三【要点精讲】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：.几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作|.即向量的大小，记作|。向量

2、不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行.零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚

3、共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量长度相等且方向相同的向量.，记为。大小相等，方向相同. 相等向量经过平移后总可以重合。2向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.设，则+=。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向

4、线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.记作,特别地，零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=；(ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：.求两个向量差的运算，叫做向量的减法.作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。“三角形法则”。四【典例解

5、析】题型1：平面向量的概念例1（1）给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|·(2)若与a0平行，则=|·；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确；

6、 =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故 （1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答

7、案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的运算法则例2（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，。点评：

8、其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。五【思维总结】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。学习本部分内容主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关

9、位置关系，正确运用共线向量的基本定理。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点.（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。六【强化练习】1若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ()A.D. 2.设a，b为不共线向量， a2b，4ab，5a3b，则下列关系式中正确的是 ()A.B.2C.D.23(2011·杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，R，给出下面四个结论：

10、若a与b共线，则ba；若ba，则a与b共线；若ab，则a与b共线；当b0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得a1b.其中正确的结论有 ()ABCD4.在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于 ()A.bcB.cbC.bcD.bc5.（2010·广东中山高三六校联考）在ABC中，已知D是AB边上一点，2，则等于 （ ）A.B. C D自主梳理1向量的有关概念(1)向量的定义：既有_又有_的量叫做向量（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示(3)模：向量的_叫向量的模，记作_或_(4)零向量：长度为

11、零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_(5)单位向量：长度为_单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(7)相等向量：长度_且方向_的向量(8)相反向量：长度_且方向_的向量2向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的 ，记作 ，即 =+= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .

12、 (3)加法运算律ab_ (交换律)；(ab)c_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_、_的向量，叫做a的相反向量，记作_(2)向量的减法定义aba_，即减去一个向量相当于加上这个向量的_如图，a，b，则 ，_.自我检测1.（2010·四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，16，|，|则|等于 ()A8B4C2D12下列四个命题：对于实数m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；对于实数m和向量a，b (mR)，若mamb，则ab；若mana (m，nR，a0)，则mn；若ab，bc，则ac，其中正确命题的个数为 ()A1B2C3D43.在ABCD中，a，b

13、，3，M为BC的中点，则等于 ()AabBabCabDab4.（2010·湖北）已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m，成立，则m等于 ()A2B3C4D55.（2009·安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.探究点一平面向量的有关概念辨析例1有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.以上命题中正确的个数为 (D)A1B2C3D0变式迁移1下列命题中正确的有_2.3.4_(填写所有正确命题的序号)|a|b|ab；若ab，

14、bc，则ac；|a|0a0；若A、B、C、D是不共线的四点，则四边形ABCD是平行四边形探究点二向量的加减运算例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：()变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.探究点三共线向量问题例3 如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值 答案： 自主梳理1.（1）大小 方向 （2）有向线段 （3）长度 |a|(4)任意的 (5)1个±(6)相同 相反 非零 共线向量 平行(7)相等相同(8)相等相反2. (1)和abab三角形法则(2)平行四边形法则(3)baa(bc)3. (1)长度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab自我检测.1c2C根据实数与向量积的运算可判断其