2018年高考数学一轮总复习专题2.2函数的单调性和最值练习(含解析)文

1、专题2.2函数的单调性和最值真题回放1.【2017 高考新课标22 文数 8】函数f (x)二ln(x2 2x 8)的单调递增区间是()A.(- : ,-2)B.(-二，-1)C.(1,+：)D.(4, +：)【答案】D【解析】由函数定义域为；X22X-8 0,解得；X：-2或 x 4,由复合函数的单调性(同增 异减)，再结合对数函数和二次函数的单调性，得函数的单调区间为(4, + :)【考点解读】本题求复合函数的单调区间，需优先考虑函数的定义域，再利用复合函数单调性(同增异减)原则，分别联系对数函数和二次函数的单调性来解决.22.【2017 咼考浙江文 5】若函数f(x)=x+ax+b在区间

2、 0,1上的最大值是M最小值是m则M-m()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在f(Q) = b.fd) = l + a+btf-) = b-中取，所以最值之差一走与b无关，选B.24【考点解读】 本题为考查定区间上的二次函数最值问题，可通过排查最值可能产生的位置，即;区间的端点及对称轴处的函数值，来分析处理。递增，在(1,2 )单调递减，则 A,B 错误。又；f(2-x)=ln(2-x)，lnx二f(x),所以函数图像关于直线X=1对称；则 C 正确，D 错误。法二；由函数定义域为(0,2 )，又f(x)

3、=lnx + ln(2 x)=ln(2x-x2)，由复合函数单调性可得；f(x)在(0,1 )单调递增，在(1,2 )单调递减，则 A,B 错误。另t=2x-x2关于直线 x=1 对称，则f(x)=lnt关于直线 x=1 对称，则 C 正确，D 错误。3.【2017 高考新课标 1 文数 9】已知函数(x) = InXln(2 - x)，则(A.f (X)在(0,2 )单调递增B. f(x)在(0,2 )单调递减C. y=f (X)的图像关于直线X=1对称【答案】CD.y=f (X)的图像关于点(1,0 )对称【解析】 法一； 由题;S 十亡H(X2)，可得；f(X)在(叩)单调2【考点解读】

4、本题以对数函数为原型，考查函数的单调性和对称性。解法一；运用导数考查函数的单调性，联系解析式的特点发现了函数关于直线x=1 对称。解法二；运用对数运算性质化为复合函数进行分析解决。4.【2017 高考山东文 10】若函数 exf x ( e=2.71828|)是自然对数的底数)在 f x 的定义域上单调递增，则称函数 f x 具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数的序号为()2A .f(x )= 2-xB.f (X )二XC.f (x ) = 3-xD.f (X )二COSX【答案】A【解析】由A=在R上单调递增，故/(刘=27具有M性质；B. /(x) = eI令= f込 则=x(x+2)

5、0 ,-在R上不单调递増;U 巧(町了=(刖在R上单调递冰故/(x) =3H不具有M性鬲D.也不具有M性质,【考点解读】本题为新定义型问题。由题可知为考查函数的单调性，需根据所给的定义，将与给出的函数构造新函数exf x，分析其在定义域上是否单调性递增，从而做出判断。考点分析考点了解 A掌握 B灵活运用 C单调性与最大(小)值C高考对函数单调性与最值的考查要求较高，以小题的形式进行考查。一般难度为中等，要 求考生能灵活运用函数的性质解决问题。纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一 是考查对函数的单调性、奇偶性、周期性的理解和运用；如比较数的大小，求函数的最值等。 二是以性质为载体求值或

6、范围问题。解决问题中要注意数形结合思想的运用。融会贯通题型一 函数单调性(区间)的确定典例 1. (1) (2016 北京模拟)下列函数中，在区间(1 ,+)上是增函数的是()A y x+1By=口C. y=- (x 1)2D. y=3_x【答案】 B3【解析】A中函数在(1,+s)上为减函数，C 中函数在(1 ,+)上为减函数，D 中函数在(1 ,+m)为减函数.(2) (2017 天津高考模拟)函数f(x) = log2(x2 4x 5)的单调增区间为 _.【答案】(5 ,+)【解析】由题意知x2 4x 50,解得x5,即函数f(x) = log2(x2 4x 5)的定义域为(汽1)U(5

7、,+s),根据外层函数为单调增函数， 而内层函数u=x2 4x 5= (x2)2 9 在(5,+s)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5 ,+).典例 2.已知定义在区间(0 ,+)上的函数f(x)满足fx=f(xjf(X2)，且当x1时，f xv0。(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的单调性；(3) 若f(3) = 1,求f(x)在 2,9上的最小值。【解析】(1)令坷二花、代入得仙)一/仙)=0,故于=0任取画，花(o, +g)目斗、则玉1由于当X1时，/(x)0,所汉鱼)0,即/()-/()0,因此/(码)勺(乃)，所以函数加)在区间( 尤曲+1丸,x勺1)(玻一l)0一

8、又TQ0Kx】)一冗喲冷 二函数買紛在(一 口)上为减函数.引申探究本题 中，若改变条件a0 为叙:世，如何确定函数f(x)在(一 1,1)的单调性?【解析】由题需类讨论；当a0 时，由上得函数 f(x)在(一 1,1)上为减函数；当a=0 时，f(x)=0，函数 f(x)在(1,1)上无单调性；当a0 时,设一 1X1X21，贝Uf(x f(X2)2 2T1X1X20,X1X2+10,(X11)(X21)0.又Ia0,.f(X1) f(X2)0 时；f(x)在(1,1)上为减函数，当a=0 时；f(x)在(1,1)上无单调性, 当a那么就说函数f(x)在区间D上是f(X2)，那么就说函数f(

9、X)增函数在区间D上是减函数r=/U)沁川/Gr图象描述11 L.0*1xi *0的*冷1自左向右看图象是上升自左向右看图象是下降【注】对任意Xi、X2 D，且Xi-X2，若fXl-fx20或 捲x2fX1- fx2:：: 0,围为_ .【答案】a|a c4 【解析】由题意得，根据复合函数的单调性法则可知，内层函数g(x) = X?- ax a在12,:上是单调增函数且,，且g(a) 0，综合可得3试讨论函数f(x) = x,X 1x ( 1,1)的单调性(其中a0)【答案】见解析【解析】设一1切5亡1,则加】)凡0尸五二10X2 _ axur? _ m _ ofiixi)(xC2 + 1)(

10、JA -1)03 -1)=(ri-lX-1)a(X2 xj(X1X2+ 1)(x2 1)(x2 1)7X1_X2-则函数fX在区间D为单调增函数；对任意Xi、X2D，且XiX2，若f-X1- fX2：o或 论 -x2fX-I- fX2; 0，贝 V片X2一-函数f x在区间D为单调减函数2.单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.题型二确定函数的最值(值域)卩，x 1,典例 3. (1) (2016深圳模拟)函数f(x) =ix的最大值为 _.2、一x+ 2,x 0)的最小值为 _.【答

11、案】 0【解析】令*x=t，则t0,f(t)=t2+1=4+寸，当to时，f(t)在 0,+s)1 1上为增函数，f(t)min= = 0.44解题技巧与方法总结求函数最值的五种常用方法及其思路1.单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.3.基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.5.换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的【变式训练】X2，XW1，(1 )已知函数f(x)6贝y f(f

12、( 2)=_，f(x)的最小值是|x+X 6，x1，1 _【答案】-22 6-68【解析】l时 妙=兀+-& 令7(x) = l-=0,解得尸遍负值舍去).当lg岳时打(x)g当寸打何 I5)的最小倩为族)*+玄一=2&-$综上小)的最小值杲2&-6一(2)(2017石家庄模拟).已知函数y=1x+XT3的最大值为M最小值为m则M的值为( )112A_B.C.占D.4222【答案】C1 x0,【解析】由x+30得函数的定义域是2x|3WxM存在X0I，使得f(X0) =M结论M为最大值M为最小值题型三函数单调性的应用命题点 1 比较函数值或两个自变量的大小典例 4. (

13、1) (2015 山东高考)设a= 0.60.6,b= 0.61.5,c= 1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC. bac【答案】C【解析】因为函数尸o是减的数，OF施is所以is少丸护，即“1.因为的数尸列在0,+呵上是増函数,11-SJ所以LS1O0即笔上，卜5工fx1 )(2) (2017 太原调研)已知函数f(x) =xe J，若f(x”f(X2)，则()D. bc0,f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，所以有x 80,解得；8X2C. xiX2B.xi+X2= 02 2D. xi0 时，f(x)0,.f(x)在 0,+s)上为增函数，由f(xf(X2)

14、，得f(|xi|)f(|X2|),|Xi|X2I ,x10,且az1)是 R 上的减* a +1(x0)函数，则a的取值范围是_ .x【解析】当0：a：1时，f x = a 1在0,：心；上为减函数，而f x =-x 3a在：；：-匚?,00 w a 12上为减函数，要使函数f x在 R 上为减函数，则a满足，解得21.3a 3 23(6)(2017 山东省鄄城县)已知函数f X=22T (m为常数)，若f (x )在区间2,畑)上是增函数，则m的取值范围是_ .【答案】一：,4解析】令r = |2x-m|；则f = |2x-m|在区间 牛上单调递増，在区间函数/仗)=2匹胡在Rw)上单调递増

15、所臥有学2,即必 4 所以加的取值范围是2(84-解题技巧与方法总结1比较大小；比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的 单调性解决.2.解不等式；在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域.3利用单调性求参数；(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间a,b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上 也是单调的.4利用单调性求最值；应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.【变式训练】F 护单调递减又12D

16、.既不充分也不必要条件(1)( 2017乌鲁木齐市三诊)log2agb ”是“33 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件313【答案】A22,x：2(2)( 2017 云南省昆明模拟)已知函数 f(x)才32若不等式af(x)0 x -80解得8 x9即原不等式的解集为(8, 9)x(x -8 )0?f(x)在D上是增函数，f(x1)二f(x2) 0)的增区间为(a和,a,+s)，减区间为一，a, 0)和 (0,可.知识交汇*3 a )x 6,x兰10f% *x 10满足an= f nN，且是递增数列，则实数的取值范围是()A. (1,3)B.1,21 C. (2,3) D.

17、【答案】C3 0【解析】因为是递増数列，所垃1I 3解得鼻Al银卩2oc3,故选GaA2 或 Q内随机取一点(a, b),则函数 f(x) yo2 .、=ax - 4bx+1 在区间1, +s)上是增函数的概率为()111A.BC432【答案】B(例 1. (2017 河北省保定市一模)已知函数，若数列fan?宦,3】111丿16x+y-40【解析】作出不等式组，0对应的平面区域如團:：D对应的團形为AOAB,其中对应面积为S=x4x4 = 8 ,A若f （x =3X5- 4bx+l在区间1,代上是増函数,1 4 B-二对应的面积为沪肓x4 = m，二根据几何概型的概率公式可知所求的观率为3

18、=.故选：B.【解题反思】作出不等式组对应的平面区域，由二次函数的对称轴结合单调区间，建立不等式组，再根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论.练习检测111. （ 2017 安徽省池州市质检）若a=（-）10,b=（）2Clog/O，则a, b, c大小关系为（）251A.a b cB .a c bC.c b aD .b a c【答案】D11【解析】0:（一）10:（）0二1，即0：a：1，同理b 1, 而c0，因此b a c.22考点;指数与对数函数的单调性的运用log2X,x 1,2.（2017 北京模拟）已知函数f（x）=贝厂c=- 1”是“函数f（x）在 R 上递-Ab则满

19、5 且对称轴即对应的平面区域为也OBC,由*02b2bta+b-4=0317区+c,x1,增”的（）B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充要条件18【答案】A【解析】若函数f(x)在 R 上递增，则需 log21c+1，即cw1.由于c=- 1?c- 1, 但cw-1c=- 1,所以“c=-1”是“f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件故 选 A.考点；分段函数单调性与充要条件的判断faxx3.(2017 届云南曲靖模拟)已知函数f (x)满足对任意x1- x2,Ja 3)x +4a, x K 0都有f (xJ -f区)o成立，则的取值范围是()X1 X21 1A

20、-(0,-B(1,2C(1,3)D(2，1)【答案】A【解析】- f(x)是减函数=a-3 ae (0,-O仏14考点；分段函数单调性与求参数范围4.(2017 银川质检)定义新运算：当ab时，ab=a；当ab时，ab=b2，则函数f(x)=(1x)x- (2x),x 2,2的最大值等于()A. 1B. 1C. 6D. 12【答案】 C【解析】由已知得当一 2wxwi时，f(x) =x-2,当 10,| =2 |0,l -I +t =0，有两个不相等的正实根,U=1-4t0，解得，0Vtv1，即L 0,1，故选 D.t044考点；新定义问题及函数的单调性的运用X2+ 1,x 0,6.(2017 山西模拟)已知函数f(x)= *则满足不等式f(1 x2)f(2x)的x1,x0,的取值范围是_.【答案】(1,2 1)【解析】当x0时，f(x) =x2+ 1 是增函数；当x0因此由题设f(1 x)f(2x)得，* 2x0解之得1x0 或 0Wx0,7.(2016