2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案文

1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断 两圆的位置关系.2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.主干知说整合07_课前拍身槌固權基知识点一直线与圆的位置关系设直线I:Ax+By+C= 0(A2+B2* 0),圆：(xa)2+ (yb)2=r2(r0)，设d为圆心(a,b)到直线I的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 方法几何法代数法相交相切相离答案d0d=r = 0dr 0),圆O: (xa2)2+ (yb2)2=r2(r20).方法位置关系几何法：圆心距

2、d与1,2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离相外切相交相内切内含答案dr1+2无解d=r1+2组实数解|m冋d“ +2两组不同的实数解d=|r12|(1工 一组实数解owd0)截直线x+y= 0 所得线段的长度是 2 2.则圆M与圆N：(x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置关系是()-5 -A.内切C.外切B.相交D.相离解析：由题知圆M x2+ (ya)2=a2,圆心(0 ,a)到直线x+y= 0 的距离d=，所以a= 2.圆M圆N的圆心距|MN= 2,两圆半径之差为 1,故两圆相交.答案：B5.(必修P133A 组第 9 题改编)圆x2+y2 4= 0 与圆x2+y2

3、4x+ 4y 12= 0 的公共弦所在的直线方程为_ .解析：x +y4=0,由22得 4x 4y+ 8= 0，即xy+ 2= 0.x2+y2 4x+ 4y 12 = 0答案：xy+ 2 = 002热点一直线与圆的位置关系【例 1】(1)直线l:mx- y+ 1 m= 0 与圆 C：x2+ (y 1)2= 5 的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定(2)若直线y=x+b与曲线x=1 y2恰有一个公共点，则b的取值范围是()A.b ( 1,1B.b=2C.b=2D.b ( 1,1或b=2【解析】(1)方法 1:由题意知，圆心(0,1)至煩线1的距离d= L1Jm+1与圆相交.方法 2

4、：直线 I :mx-y+ 1 0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2+ (y 1)2= 5 的内部,所以直线l与圆相交.yp-Z/丿XM-6 -7 -由x= 1y2知，曲线表示半圆(如图)，让直线y=x+b在图形中运动，可知当一 1b1时，与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时求得b= 2(舍去)或b=2.【答案】 (1)AD【总结反思】通常利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系,立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系2 2(2017重庆沙区模拟)直线xy+m 0 与圆x+y- 2x 1 = 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是(

5、)B. 4n2D. 3n1x2+y2 2x 1 = 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是0n1，故选 A.答案：A热点二圆的切线、弦长问题考向 1 有关切线问题【例 2】 过点P(1 , 3)作圆 C: (x 4)2+ (y 2)2= 9 的两条切线，切点分别为A, B,求:(1)切线方程；直线AB的方程;线段AB的长度.【解】当切线的斜率存在时，设直线方程为y+ 3=k(x 1)，即kxyk 3= 0,由|4k =3|= 3,解得k=务切线方程为 8x 15y 53 = 0.当切线斜率不存在时， 易知直线x= 1 也是圆的切线，所求切线方程为 8x 15y 53= 0或x= 1.(2)以

6、PC为直径的圆D的方程为也可利用直线的方程与圆的方程联A. 0n1C.n1解析：由直线与圆相交的充要条件，得|1 + m -3n1，所以直线xy+ m= 0 与圆-8 -(x5212172 + (y+2 =2-9 -圆C与圆D显然相交，.直线AB就是圆D与圆C公共弦所在直线直线AB方程为3x+ 5y 13 = 0.亠11厂 1(3)由 SMA=235= 234qlAB, 得|AB=气34考向 2 有关弦长问题【例 3】（2017承德模拟）若a2+b2= 2C2（C丰0），则直线ax+by+c= 0 被圆x2+y2= 1所截得的弦长为（）B. 1D. 2【解析】因为圆心（0,0）到直线ax+by

7、+C=0 的距离d=22=-=二,因此寸a+b2|c|2根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于= ，所以弦长为【答案】D【总结反思】1求过某点的圆的切线问题时， 应首先确定点与圆的位置关系， 再求切线方程若点在圆 上 （即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注 意斜率不存在的切线.2求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用 勾股定理来解决问题.（1）（2017陕西宝鸡模拟）已知条件p：k= 3，条件q：直线y=kx+ 2 与圆x2+y2= 1 相D.既不充分也不必要条件（2017阜新模拟）过点（1 ,2）的直线l将圆（x

8、 2）2+y2= 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k=2解析： 若直线y=kx+ 2 与圆x2+y2= 1 相切，则有2=1,解得k= 3,所以pk + 1C.切，则綈p是綈q的（）B.必要不充分条件C.充分不必要-10 -綈p是綈q的必要不充分条件，故选 B.(2)因为(1 2)2+ ( 2)2= 33.2/. (a+b) 9, 即卩a+b3 或a+b1,-12 -直线X+y 1 = 0 与圆(Xa)2+ (yb)2= 1 相离.【总结反思】(1) 处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法.(2) 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆

9、的方程作差得到2222i若圆X+y= 4 与圆X+y+ 2ay 6 = 0(a0)的公共弦长为 2 寸 3,贝U a=_解析：方程x2+y2+ 2ay6 = 0 与x2+y2= 4.1两式相减得：2ay= 2,则y=.a由已知条件2, 32=孑即a= 1.答案：11直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何 法”是从不同的方面和思路来判断的.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.斜率不存在的情形.3.圆的弦长的常用求法(1) 几何法：求圆的半径为r，弦心距为d,弦长为I，则=r2d2；(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公

10、式：|AB= . 1 +k2|X11+ k2L X1+X22 4x1X2.注意:X2| =-13 -直线与圆的最值与范围问题【例】设点P是函数y= 4x12图象上的任意一点，点Q坐标为(2a,a3)(a R)，则|PQ的最小值为 _.(2)已知m0,n0,若直线(m 1)x+ (n+ 1)y 2 = 0 与圆(x 1) + (y 1) = 1 相切，则n的取值范围是_ .【解析】函数y=y4x1的图象表示圆(x 1) +y= 4 的下半圆.令点Qx=2a,x一的坐标为(x,y)，贝 U得y=; 3，即x 2y 6 = 0,如图所示.Iy=a 3,26= 0 与圆(x 1)2+y2= 4 相离，

11、因此|PQ的最小值是，5 2.2 2(2)因为m0,n0,直线(mn1)x+ (n+ 1)y 2= 0 与圆(x 1) + (y 1) = 1 相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径 1.所以 f I吋仔严12|亏=1 ,即|m+n| =J+ n+1,2+n+12.两边平方并整理得mn=n+1.+ 2 .2.【答案】(1) ,5 2 (2)2 + 2 2 ,+)解题策略：规律解读适合题型几何法充分考虑圆的几何性质，并根据代数式 的几何意义，借助数形结合思想求解所求最值有明显的几何特征，如距离、斜率等课外1展_由于圆心由基本不等式mn0,解得m+n2(1,0)x2y-14 -根据题目条件列出关于所求目标式子的 函数关系式，然后根据关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，利用 基本不等式求最值是比较常用的方法已知AC BD为圆O x2+y2= 4 的两条互相垂直的弦， 且垂足为M1 ,、,则四边形ABCD面积的最大值为（）A. 5B. 10C. 15解析：