线性代数考试题及答案3

1、_ _ _ _号学_ _ _ _名姓级班_ _ _ _业专_ _ _ _系_ _ _2009 2010 学年第一学期期末考试线性代数 试卷161001202 :_ (3,24)31111311 1.11311113(A)0(B)1(C)2(D)32.A 32 A3A(A)24(B)24 (C)6(D)6 3.A, B,n(A)AB BA(B)(AB) 2A22ABB2(C)ABBA(D)( AB)( AB)A2B24.A 3,A a0A(A)aB)a 2(C)a 3(D)a 45.A B(A)R( A)R( B)(B)R(A) R(B)线性代数试卷（A）第1页共10页(C)R( A)R(B)(

2、D)不能确定 R( A) 和 R(B) 的大小【】 6.设 n 元齐次线性方程组Ax0 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则 Ax0 有非零解的充分必要条件是(A)rn(B)rn(C)rn(D)r n【】 7.向量组 a1 , a2 ,am (m2) 线性相关的充分必要条件是(A)a1 , a2 , am 中至少有一个零向量(B)a1 , a2 , am 中至少有两个向量成比例(C)a1 , a2 , am 中每个向量都能由其余m1 个向量线性表示(D)a1 , a2 , am 中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示【】 8.n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)R( A)n(B)A

3、 有 n 个互不相同的特征值(C)A 有 n 个线性无关的特征向量(D)A 一定是对称阵得分二、填空题。( 每小题 3 分, 共 15 分 )1.已知3 阶行列式D 的第2 行元素分别为 1,2, 1 ，它们的余子式分别为1, 1,2 ，则D。2.0146设矩阵方程X2，则 X。1013.设 x是非齐次线性方程组Axb 的一个特解， 1 ,2 为对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系， 则非齐次线性方程组Ax b 的通解为.4.设 mn 矩阵 A 的秩 R( A)r ，则 n 元齐次线性方程组Ax 0 的解集 S 的最大无关组 S0 的秩 Rs0。5.设 是方阵 A 的特征值，则是 A2的特征

4、值线性代数试卷（A）第2页共10页得分三、计算题 ( 每小题 8 分, 共 40 分).102512131计算行列式10。2113421022. 已知矩阵 A213，求其逆矩阵 A 1 。418线性代数试卷（A）第3页共10页3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 ，已知1 , 2, 3 是它的三个解向量且21321，23，求该方程组的通解。4354214. 求矩阵 A的特征值和特征向量。12线性代数试卷（A）第4页共10页5. 用配方法化二次型fx122x2 25x3 22x1x22x1x36x2 x3 成标准型。得分四、综合体 ( 每小题 8 分, 共 16 分)1. 解下列非齐次

5、线性方程组2x1x2x3x414x12 x22 x3x422x1x2x3x41线性代数试卷（A）第5页共10页2. 已知向量组123a1 2 , a23 , a313116求 (1) 向量组的秩； (2)向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。得分五、证明题（5 分）证明：设 n 阶方阵 A 满足 A2A 2E0，证明 A及 A2E 都可逆，并求 A 1及(A2E) 1。一、单项选择题。(每小题 3分,共 24分1A2B3C4B5C6C7D8C二、填空题。( 每小题 3 分, 共 15 分)21(c1,c2 R) 4.n r 5.1.42.3. x c1 1

6、c2 2462线性代数试卷（A）第6页共10页(8,40).1.1025102512130232101=1422011134203271025=014112005200010401025=014112005200000=021022.A213A 1418102100(A,E)21301024180011001122r 01040140016111122A 140126113.31,2,321321234354线性代数试卷（A）第7页共10页解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax0的解集 S 的秩为 4 3 1 ，因此齐次线性方程组 Ax0 的任意非零解即为它的一个基础解系。（ 3分）令2 1

7、 (23 )则 AA2 1(2 3) 2A1A 2A32b b b 0所以(3,4,5,6)T0 为齐次线性方程组Ax0的一个基础解系。 （ 3分）由此可得非齐次线性方程组Axb 的通解为：3 24 3xkk(kR) （2 分）5 46 5214. 求矩阵 A的特征值和特征向量。12解： A 的特征多项式为：211)( 3)A E(12所以 A 的特征值为11,23 。 （ 4 分）（ 1）当11时，对应的特征向量满足11x10x211x2，解得： x10则 11对应的特征向量可取p11 （ 2 分）1（2）当 13 时，对应的特征向量满足11x10x211x2，解得： x10则 13 对应的

8、特征向量可取p211 （ 2 分）15. 用配方法化二次型f x122x225x322x1x2 2x1x3 6x2 x3 成标准型。线性代数试卷（A）第8页共10页f x122x1x2 2x1x32x225x3 26x2x3( x1x2x3 ) 2x2 24x324x2 x3( x1x2x3 ) 2( x22x3 )24y1x1x2x3y2x22x3ffy12y224y3x38,16)1.2x1x2x3x414x12 x22 x3x422x1x2x3x41 B2111121101B 42212r0010 052111100000x1100x2c1211R)3x3c21(c1 ,c200x40002.123a12 , a23 , a313116(1)(2)123107rA231 01523116000RA222a1 ,a2线性代数试卷（A）第9页共10页2a37a15a