线性代数试题及答案

1、线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分)一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式 a11a12=m ， a13a11=n，则行列式a11a12a13 等于（）a 21a22a23a 21a21a 22a23A. m+nB. - (m+n)C. n- mD. m - n1002.设矩阵 A = 020，则 A-1等于（）00310031001A.00B.010220110003110000231C.D.01000300101203123.设矩阵 A =

2、101 ， A *是 A 的伴随矩阵，则A * 中位于（ 1，2）的元素是（）214A. 6B. 6C. 2D. 24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（）A.A=0B. BC时A=0C. A0时B=CD. |A|0时 B=C5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3， ， ， 和 ， D. 4均线性相关，则（）6.设两个向量组 1， ， 2s12sA. 有不全为 0 的数 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ +s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B. 有不全为 0 的数 1， 2， ， s 使

3、 1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + +s（ s+ s）=0C. 有不全为 0 的数 1， 2， ， s 使 1（ 1- 1）+ 2（ 2- 2） + + s（ s- s）=0D. 有不全为 0 的数 1， 2 ， ， s 和不全为 0 的数 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ + s s=07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A. 所有 r- 1 阶子式都不为0B. 所有 r- 1 阶子式全为0C. 至少有一个r 阶子式不等于0D. 所有 r 阶子式都不为08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2 是其任意 2 个解，则

4、下列结论错误的是（）A. 1+2 是Ax=0的一个解B. 1 1+1 2 是 Ax=b的一个解22C. 1- 2 是9.设 n 阶方阵Ax=0 的一个解A 不可逆，则必有（D.2 1-） 2是 Ax=b的一个解A. 秩 (A )<nB. 秩 (A )=n- 1C. A=0D. 方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数和向量 使 A = ，则 是 A 的属于特征值的特征向量B. 如存在数和非零向量 ，使 ( E- A ) =0，则是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如 1， 2， 3 是 A

5、的 3 个互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 A 的属于 1， 2，3的特征向量，则 1， 2， 3 有可能线性相关11.设 0 是矩阵 A 的特征方程的3 重根， A 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k 3B. k<3C. k=3D. k>312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为 1B.|A |必为 1C. A- 1=A TD. A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， B =C TAC .则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A与B合同

6、14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）2334A.4B.632100111C. 023D. 120035102第二部分非选择题（共72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115. 356.9253616.设 A =111， B =123.11112.则 A+2B=417. 设 A =(aij)3× 3， |A|=2 ， A ij表 示 |A | 中 元 素 aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3） , 则(aA+a A+a13A23)+(aA21+a A22+a A)+(a A+

7、a A+a33A) =.1121122222122232323121322223218.设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a）线性相关，则a=.19.设 A 是 3× 4 矩阵，其秩为3，若 1， 2 为非齐次线性方程组Ax=b的 2 个不同的解，则它的通解为.20.设 A 是 m× n 矩阵， A 的秩为 r(<n) ，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量 、 的长度依次为2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（ + ， - ） =.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 - 1

8、和 4，则另一特征值为.0106223. 设矩阵 A =133 ，已知 =1是它的一个特征向量，则 所对应的特征值21082为.,x,x,x ,x )的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.24.设实二次型 f(x12345三、计算题（本大题共7 小题，每小题 6 分，共 42 分）12023125.设 A= 340， B =.求（ 1）AB T；（2） |4A |.121240311226.试计算行列式5134.2011153342327.设矩阵 A =110，求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB =A +2B.123213028.给定向量组 1=1， 2=3 ， 3=0 ， 4=1.02243

9、419试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。1210229.设矩阵 A =242662102.333334求：（1）秩（ A ）；（ 2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。02230.设矩阵 A= 234的全部特征值为 1，1 和 - 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T - 1AT =D .24331.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x2 ,x3)= x 122x 223x 324 x1x 24 x1 x 3 4x 2 x 3 ，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A

10、3=0 ，试证明 E- A 可逆，且（ E- A ） - 1=E+A +A 2.Ax=0 的一个基础解系 .33.设 0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解， ， 2是其导出组1试证明（ 1） 1= 0 + 1， 2= 0+ 2 均是 Ax=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10 空，每空 2 分，共20 分）15. 633716.37117. 418. 1019. 1+c( 2- 1)（或 2+c

11、( 2- 1)），c 为任意常数20. n- r21. 522. 223. 124.z12z22z 23z 24三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）1202225.解（1）AB T=34034121108 6= 1810.3 10（ 2） |4A |=43|A |=64|A |，而1 2 0|A|=3 4 02 .121所以 |4A |=64·（ - 2） =- 1283112511151341113126.解0110010215335530511=11115 5 05 1 1=62621040.0305555027.解AB =A +2B 即（ A- 2E ）

12、B=A ，而2231431（A - 2E）- 1= 110153 .121164143423所以 B=(A- 2E)- 1A= 153110164123386=296 .21292130053228.解一13011301022401123419013112103510350112011200880011001414000010020101,00110000所以 4=21+ 2 + 3，组合系数为（ 2， 1， 1） .解二考虑 4=x1 1+x2 2+x 3 3，2x 1x 23x 30即x 13x212x 22x 343x 14x 2x 39.方程组有唯一解（2， 1， 1）T ，组合系数为

13、（2， 1，1） .29.解对矩阵 A 施行初等行变换12102A00062032820963212102121020328303283000620003=B .100021700000（1）秩（ B） =3，所以秩（ A ） =秩（ B） =3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形， B 的第 1、2、4 列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第 1、 2、 4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或1、 3、 5 列也是）30.解A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=（2， -

14、 1， 0） T， 2=（2， 0， 1） T.25 / 525 /15经正交标准化，得 1=5 / 5， 2= 45/15 .05 / 3 =-8 的一个特征向量为11/ 3 3=2，经单位化得 3=2/3 .22 / 32 5/5 2 15/151 / 3所求正交矩阵为T=5 / 54 5/152/3 .05 / 32 / 3100对角矩阵D = 010 .0082 5/5215 /151/ 3（也可取 T=05 / 32 / 3.）5 / 545 /152 / 331.解f(x123123）2- 2x2223- 7x32， x， x )=（ x +2x- 2x+4x x=（ x1+2x2- 2x3） 2- 2（ x2-x3 ）2- 5x32.y1x12x 22x 3x1y12y 2设 y 2x 2x3 ， 即 x 2y 2y 3，y 3x3x 3y 3120因其系数矩阵 C=011可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得f(x 1， x2， x3) 的标准形222y1- 2y2 - 5y3 .四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.证由于（ E- A）（ E+A +A2）=E- A 3=E，所以 E- A 可逆，且（E- A ）- 1= E+A+A2 .33.证由假设 A 0=b，