2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：数列的概念及其简单表示法

1、 必过数材美 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列an的第 n 项 an 通项公式 数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式 a = f(n)表示，这个公式叫做 数列的通项公式 前 n 项和 数列an中，Sn= ai+ a2+ an叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法 把点(n, an)画在平面直角坐标系中 公式 法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值 ai和 an+1- f(an)或 ai, a?和 a“+1- f(an,

2、a“_i)等表示数列的方 法 3. an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn, Si, n = 1, 则 an= SnS_i, n 2. 4.数列的分类 小题体验 i. _ 数列一 1,4，_9，罗，的一个通项公式是 _ 解析： 1 1-_ -，数列 1,4,9,16,对应通项 n2，数列 1,3,5,7,对应通项 2n_ 1,数 2 列一 1,1, 1,1,对应通项( (一 1)n，故 an= ( 1)n 2n 1 2. _ 已知数列an满足 an= 4an-1+ 3,且 a1 = 0,贝V a5= _ . 解析：a2= 4a1 + 3= 3, a3= 4a2+ 3= 15, a

3、4= 4a3+ 3= 63, a5= 4a4 + 3= 255. 答案：255 3. _ 数列an的通项公式为an= n2+ 9n,则该数列第 _ 项最大. 答案：4 或 5 4.若数列an的前n项和Sn= n2+ 3n，则二 a；+ a；= 解析： 数列an的前 n 项和 Sn= n2 + 3n, a* + a? + a3= S3= 32+ 3X 3 = 18, a.4 + a5+ a a4+ a5 + a6= S6 S3= 36, = 2. a1 + a2+ a3 答案：2 必过易措美 1. 易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对 应的位置序号. 2. 在

4、利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项 公式写成 an= Sn Sn-1的形式，但它只适用于 n 2 的情形. 小题纠偏 1.已知数列an的前 n 项和 Sn= 2n 3，则数列an的通项公式是 _ 解析：当 n= 1 时，a1= S1 = 2 3 = 1, 当 n2 时，an= Sn Sn1= (2n 3) (2n1 3)= 2n 2 旷 1= 2 旷 2 1 2.若数列an的前 n 项和 Sn= an + 3 则an的通项公式 an= 2 1 2 1 解析：由 Sn = 3an+ 亍亍得，当 n 2 时，Sn-1= an-1 + 3 又 a1= 1

5、不适合上式，故 -1, an=A1, n = 1, n 2. 答案：an 1, n= 1, 2n 1, n 2 两式相减，得an =詁-2an1, 当 n2 时，an= 2an-1,即 - 2. anT 2 1 又 n = 1 时，Si = ai = ai + 3, ai =1, 二数列an是以 1 为首项，一 2 为公比的等比数列， an = （ 2）n1. 答案：（2）n 1 考点一 数列的性质 基础送分型考点 一一自主练透 题组练透 1若 an= n2+入n 3（其中入为实常数），n N*,且数列a“为单调递增数列，则实数 入 的取值范围是 _ 解析：法一：（函数观点）因为an为单调递增

6、数列，所以 an+1 an,即（n+ 1）2+ “n + 1） + 3 n2+入+ 3,化简为 A 2n 1 对一切 n N 都成立，所以 3. 故实数入的取值范围是（一 3,+s） 法二：（数形结合法）因为an为单调递增数列，所以 a1 a2,要保证 a?成立，二次 函数 f（x） = x2 +入+ 3 的对称轴 x= 应位于 1 和 2 中点的左侧，即一 扌3，亦即 心一 3, 故实数入的取值范围是（一 3,+ s） 答案：（一 3,+s ） 2.已知数列an的通项公式 an= （n + 1）0.9n,求 n 为何值时，an取得最大值. 解：因为 a|= 2X 0.9 = 1.8, a2=

7、 3X 0.81 = 2.43 , 所以 a1 2 时，an= Sn Sn-1= (2n2 3n) 2( n 1)2 3( n 1) = 4n 5, 由于 ai也适合此等式，所以 an= 4n 5. (2)ai = Si= 3 + b, 当 n 2 时，an= Sn Sn-1= (3n+ b) (3n1+ b) = 2 3n1. 当 b= 1 时，a1适合此等式. 当 b 1 时，a1不适合此等式. 所以当 b= 1 时，an= 2 3n 1; 由题悟法 已知 Sn求 an的 3 个步骤 (1) 先利用 a1 = S1求出 a1; (2) 用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，禾

8、U 用 an = Sn Sn- 1( (n2)便可求出当 n 2 时a 的表达式； 对n= 1 时的结果进行检验，看是否符合 n 2 时 an的表达式，如果符合，则可以把 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n= 1 与 n 2 两段来写. 即时应用 已知数列an的前 n 项和为 Sn. (1) 若 Sn= (- 1)n 1 n, 求 a5+ a6 及 an； (2) 若 Sn= 3 + 2n + 1，求 an. 解：(1)a5+ a6= S6 S4= ( 6) ( 4) = 2, 当 n = 1 时，a1= S1= 1; 当 n 2 时， n+1 n an = Sn Sn-1 = (

9、1) n ( 1) (n 1) =(1)n 1 n + (n 1) =(1)n+1 (2n 1), 又 a1也适合此式， 所以 an= ( 1)n+1 (2n 1).当 b 1 时, an = 3+ b, n= 1, 2 3n1, n 2. (2)因为当 n= 1 时，ai = Si = 6; 当 n 2 时， an = Sn- Sn-1= (3n + 2n + 1)- 3 n + 2(n- 1)+ 1 =2 3n-1 + 2, 由于 a1不适合此式, 6, n= 1, 2 3n-1 + 2, n2. 考点三由递推关系式求数列的通项公式 题点多变型考点 锁定考向 递推公式和通项公式是数列的两种

10、表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只 是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接. 常见的命题角度有: (1) 形如 an+1= anf(n)，求 an； (2) 形如 an+1= an + f(n)，求 an； 形如 an+1= Aan+ B(A丰0 且 AM 1),求 an. 题点全练 角度一：形如 an+1 = anf(n)，求 an 1.已知 a1= 2, an+1 = 2nan，则数列an的通项公式 an= _ ， 解析： -an+1= 2 an,a = 2,当 n 2 时，a.= .a 1 = 2 2 2 2 an an-1 an- 2 a1 =2 屮.又 a1= 1

11、也符合上式， 0.= 2, 答案：2 亡尸 角度二：形如 an+1 = an+ f(n)，求 a* 所以 an=i 多角探明 2.已知 a1= 1, n N),求数列an的通项公式. 丄七一1(n2).贝 U a2-a1= 1 弓，a3 n 1 n 2 1 1 解析：根据题意，数列an的前 4项为1 , 1 T, 所以空壬空壬1 = 3,所以数列 轴轴+ 1为等比数列，公比 q= 3, an十 1 又 a1+ 1 = 2,所以 an+ 1 = 2 3n 1, 所以 an= 2 3 旷1 1(n N*). 通法在握 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an+ 1 = an+ f(n)

12、叠加法 a1 = 1, an+1 = an + 2n an+1 = anf(n) 叠乘法 1 an十1 2n a1= 1 小=2 an an+ 1 = Aan+ B (AM 0,1 , BM 0) 化为等比数列 a1 = 1 , an + 1 = 2an 十 1 演练冲关 根据下列条件，求数列an的通项公式. (1)满足 a1= 1 , an= 3 十 an-1 (n2)； n 1 (2)满足 a1= 1, an= n an-1( (n2). 解：( (1)由 a1 = 1 , an an-1 = 3 (n2)，得 a1= 1 , an- 2= 3n 2, an an- 1= 3n S 以上等

13、式两边分别相加得 当 n= 1 时，a1 = 1 也适合， an= 1 n 1 n 2 1 an = an-1(n 2), an-1 = n1 an-2,，a2= ,a1.以上(n 1)个式子相乘得 an = 1 2 n 1 a1 1 a1 1 3 =n = n 当 n = 1 时也满足此等式, 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 1 1 1. (2018 南通期末) )已知数列an的前 4 项为 1, 4 9， 16,则数列an的一个通项 公式为 _ . * a = 1 -an =n. 2 a2 a1 = 3 , a3 a2= 3 ,，an 1 an= 1 十 3+ 32+ 十 3n1= 1

14、 tzzi CZI 1=1 则 ai= (- 1)1+ 1x 帚帚 i, a2= (- 1)2+ 1x 寺=4, 3 + 1 1 4 + 1 1 1 阴阴=(1) x32=9, a4=( (1) 7=-石，石， 以此类推可得：an = ( 1)n+1 2. n 答案：an= ( 1)n+ 11 n 2. (2018 盐城二模) )已知数列an的前 n 项和为 Sn,內=1, a“+1= 2Sn(n N*),则数列an 的通项公式 an= _ . 解析：当 n 2 时，an= 2Sn-1, I an + 1 an = 2Sn 2Sn- 1 = 2an, 即 an+1 = 3an , T a2=

15、2a1= 2, an = 2 3n 2, n 2. 当 n = 1 时，a1= 1, 3. （2018 苏州期中）已知数列an的通项公式为 an = 5n +1，数列bn的通项公式为 bn =n2,若将数列an, bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列 cn,则 C6的值为 解析：数列an的通项公式为 an = 5n + 1, 数列中数据符合平方的数有： 16,36,81,121,196,256. 数列bn的通项公式为 bn= n2, 当 n = 4,6,9,11,14,16 时符合上面各个数. 数列an, bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列 Cn , C6的值为 256. 答

16、案：256 4. （2019 南通第一中学测试 ）已知数列an对任意的 p, q N*，满足 ap+q= ap+ aq且a? 数列an的通项公式为 an= 1, n= 1, 2 3n2, n2. 答案：an 1, n= 1, 2 3n2, n 2 =6,贝 V a10= _ . 解析：a4= a2+ a2= 12, a6= a4+ a2= 18, a10 = a6+ a4= 30. 答案：30 5. 数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn + Sn-1 = 2n 1（n 2），且 S2 = 3,贝 V a1+ a3的值为a2 018 = a672x 3+ 2= a2= 9 解析：因为 Sn

17、+ Sn-1= 2n 1(n 2)，令 n= 2, 得 S2+ S1= 3,由 S2= 3 得 a1= S1= 0, 令 n = 3,得 S3+ S2= 5，所以 S3= 2, 则 a3= S3 S?= 1,所以 a1 + a3= 0+ ( 1) = 1. 答案：1 6. (2018 无锡期末) )对于数列 an ， 定义数列 bn 满足 bn= an+1 an(n N),且 bn + 1 bn =1(n N) ), a3= 1, a4= 1,贝 U a1 = _ . 解析：因为 b3 = a4 a3 = 1 1 = 2,所以 b?= a3 a?= b3 1 = 3，所以 6= a? a1 =

18、4 一 1 = 4，三式相加可得 a4 a1= 9,所以 a1= a4+ 9 = 8. 答案：8 二保咼考，全练题型做到咼考达标 1 * 1.数列an满足 an+ an+1 = (n N ), a2= 2,则通项公式 a“= _ . 解析： 1 3 3 因为 an + an+ 1 = 2 , a2 = 2 3所以 a1= 2 , a3=彳彳,a4= 2 , 所以 an=$ 2, n 为偶数. 2 n 为偶数 1 + an * 2. （2018 启东中学调研）已知数列an满足 a1= 2, an +1 = （n N），则连乘积 1 an a1a2a3a2 017a2 018 = _ 1 + an

19、 1 1 解析：因为 a1 = 2, an+1= 1 ，所以 a2= 3, a3= 1, a4 = T, a5= 2,所以数列an 1 an 2 3 的周期为 4，且 a1a2a3a4= 1,所以 a1a2a3a2 017a2 018 = a2 017 a2 018= a1 a2 = 6. 答案：6 3 （2019 苏州模拟）在数列an中，若 a4= 1, 3 仁=5,且任意连续三项的和都是 15,则 a2 018 = _ . 解析：任意连续三项的和都是 15, an + an+1 + an+ 2= 15,冋时 an+1 + an+ 2+ an+3= 15, an+ an+ 1+ an+ 2=

20、 an+ 1+ an+ 2+ an + 3, 即数列是周期为 3 的周期数列，则由 a4= 1, a12= 5, 得 a4= a1= 1, a12= ag= a6= a3= 5,则由 a1+ a2+ a3= 15,得 a2= 9, =1x PI x 32 1xx I 答案：卜 2 即 an+ 3= an, =1x PI x 32 1xx I 解析: an= n = 6 时取等号, 则an中的最大项的值1 12. 1 答案：1 5.已知数列an的通项公式为 an= ( 1)n 2n + 1,该数列的项排成一个数阵 ( (如图) )，则该 数阵中的第 10 行第 3 个数为 _ . a1 a2 a

21、3 a4 a5 a6 解析： 由题意可得该数阵中的第 10 行第 3 个数为数列an的第 1+ 2 + 3 + + 9+ 3 = 92|10+ 3= 48 项，而 a48= ( 1)48X 96 + 1 = 97,故该数阵中的第 10 行第 3 个数为 97. 答案：97 6. (2018 常州第一中学检测) )已知an满足 an+1= a“+ 2n，且 內=33,则号的最小值为 解析：由已知条件可知，当 n 2 时，an=a1 + (a? a： (a3 a2) )+ (an an-1)= 33 + 2+ 4 + + 2(n 1) = n? n + 33，又 n = 1 时，a1 = 33 满

22、足此式.所以 a = n? n + 33, n N*，所以如=n + 33 n n 1.令 f(n) = n+ 33 1,贝 U f(n)在1,5上为减函数，在6, +)上为 n 增函数，又 f(5) = 53, 5 f(6)=号号，则 f(5) f(6)，故 f(n)=釦的最小值为 . 2 n 2 答案：21 2 n * a1= 1, an=1 an-1(n2, n N)，贝 U an= 2 2 解析：由题意知皿=尸n - an1 n 7.在数列an中, 1 n 1 n+1 所以 an= a1x -an- a1 a2 an-1 22 32 n2 答案：9 4. (2018 常州期中) )已知

23、数列an的通项公式 an= 2：冷，则%中的最大项的值是 n n2+ 36 当且仅当 23, 2 2 2 2 22X 32x 42X X n2 2- 1 X 2+ 1 X 3- 1 X 3+ 1 X 4- 1 X 4 + 1 X X n 1 X n + 1 22X 32X 42X X n2 2n 1X 3X 2X 4X 3X 5X X (n 1 X (n + 1n + 1. -1 + a n, n 为偶数， 2 1 8. 数列an定义如下：a1= 4,当n2时，an=* 1 右a = 4，贝V n ,n 为奇数， an 1 解析： 因为 a1 1,所以 a2= 1 + a1= 2, a3= 一

24、 , a4= 1 + a2= 3, a5= 一 , a6= 1a2 2 a4 3 ,-3_ 1 2 一，一 ，一 1 1 c + a3= , a7= , a8= 1 + a4= 4, ag= =;, 所以 n = 9. 2 a6 3 a8 4 答案：9 9. 已知 Sn为正项数列an的前 n 项和，且满足 Sn 疑+ IVan(n N*). (1) 求 a1, a2, a3, a 的值； (2) 求数列an的通项公式. 解: (1)由 Sn 玮+ *an(n N*),可得 a1 =玮+如，解得 a1 = 1; 1 2 1 S2 a1 + a2 尹2+ 尹2,解得 a2 2; 同理，a3= 3,

25、 a4= 4. 1 1 (2)Sn= ?an + ?an， IV 1 当 n 2 时，Sn-1= aS-1 + ?an1, 一得( (an- an-1 1)(an+ an-1) 0. 由于 an+ an- 1 0, 所以 an an- 1= 1, 又由(1)知 a1= 1, 故数列an是首项为 1,公差为 1 的等差数列，故 an= n. 10. 已知an是公差为 d 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn, S4 2S2 + 4，在数列bn中, 答案: 2n n+ 1 bn = 1 + an an 求公差 d 的值; 若 ai = 2，求数列bn中的最大项和最小项的值； (3)若对任意的 n

26、N,都有 bn b8成立，求 色的取值范围. 3X 4 解：因为 S4= 2S2 + 4,所以 4 色 + d= 2(2ai+ d) + 4,解得 d= 1. 5 因为 ai=- 2， 所以数列an的通项公式为 an= 5+ (n 1)x 1= n 2, 1 + an 1 1 以 bn = = 1 + = 1 + * . an an 7 n 2 因为函数 f(x) )= 1 + 七在一a, 7 和 2，+上分别是单调减函数, X- 2 所以 b3 b2 切4 时，1v bn Q, 所以数列bn中的最大项是 b4= 3,最小项是 b3= 1. 1 又函数 f(x)= 1+ - ;在(a, 1 a1