2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　第1课时　高效演练分层突破

1、基础题组练1已知正数 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2y2m1 的焦点坐标为()a( 3，0)b(0， 3)c( 3，0)或( 5，0)d(0， 3)或( 5，0)解析：选 b因为正数 m 是 2 和 8 的等比中项，所以 m216，即 m4，所以椭圆 x2y241 的焦点坐标为(0， 3)，故选 b2(2019高考北京卷)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，则()aa22b2b3a24b2ca2bd3a4b解析：选 b由题意得，ca12，所以c2a214，又 a2b2c2，所以a2b2a214，b2a234，所以 4b23a2.故选 b3曲线x2169y214

2、41 与曲线x2169ky2144k1(k144)的()a长轴长相等b短轴长相等c离心率相等d焦距相等解析：选 d曲线x2169ky2144k1 中 c2169k(144k)25，所以 c5，所以两曲线的焦距相等4(2020郑州模拟)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 f1，f2，离心率为23，过 f2的直线 l 交 c 于 a，b 两点，若af1b 的周长为 12，则 c 的方程为()ax23y21bx23y221cx29y241dx29y251解析：选 d由椭圆的定义，知|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a，所以af1b 的周长为|af1|af2|bf1

3、|bf2|4a12，所以 a3.因为椭圆的离心率 eca23，所以 c2，所以 b2a2c25，所以椭圆 c 的方程为x29y251，故选 d5(2020昆明市诊断测试)已知 f1，f2为椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，b为 c 的短轴的一个端点， 直线 bf1与 c 的另一个交点为 a， 若baf2为等腰三角形， 则|af1|af2|()a13b12c23d3解析：选 a如图，不妨设点 b 在 y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|bf1|bf2|2a，|af1|af2|2a，由题意知|ab|af2|，所以|bf1|bf2|a，|af1|a2，|af2|3a2.所以|af

4、1|af2|13.故选 a6若椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为_解析：由题意可得 bc，则 b2a2c2c2，a 2c，故椭圆的离心率 eca22.答案：227(2020贵阳模拟)若椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，短轴长为 4，则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知 eca32，2b4，得 b2，所以ca32，a2b2c24c2，解得a4，c2 3，所以椭圆的标准方程为x216y241.答案：x216y2418(2020浙江台州月考改编)已知 p 为椭圆x29y281 上一个动点，直线 l 过圆(x1)2y21 的圆心与圆相交于 a，b 两

5、点，则papb的最大值为_，最小值为_解析：由(x1)2y21 可得圆心 o1(1，0)，由x29y281 得椭圆右焦点的坐标为(1，0)因为papb(po1o1a)(po1o1b)(po1o1a)(po1o1a)po21o1a2|po1|21.因为 31|po1|31，所以 3|po1|2115，所以papb的最大值为 15，最小值为 3.答案：1539已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 f1，f2的坐标分别为(3，0)和(3，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若 p 为短轴的一个端点，求f1pf2的面积解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意得2a10，c3，因此 a

6、5，b4，所以椭圆的标准方程为x225y2161.(2)易知|yp|4，又 c3，所以 sf1pf212|yp|2c124612.10分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆x24y231 有相同的离心率且经过点(2， 3)；(2)已知点 p 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 p 到两焦点的距离分别为 5，3，过 p 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24y23t1或y24x23t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2， 3)，所以 t1224( 3)232，或 t2( 3)242232512.故所求椭圆的标准方程为x28y261 或y2253x22

7、541.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，(2c)25232，解得 a4，c2，所以 b212.故椭圆的方程为x216y2121 或y216x2121.综合题组练1(综合型)设椭圆：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 a，右焦点为 f，b 为椭圆在第二象限内的点，直线 bo 交椭圆于点 c，o 为原点，若直线 bf 平分线段 ac，则椭圆的离心率为()a12b13c14d15解析：选 b如图，设点 m 为 ac 的中点，连接 om，则 om 为abc 的中位线，于是ofmafb，且|of|fa

8、|om|ab|12，即cac12，解得 eca13.故选 b2(2019高考全国卷)已知椭圆 c 的焦点为 f1(1，0)，f2(1，0)，过 f2的直线与 c交于 a，b 两点若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则 c 的方程为()ax22y21bx23y221cx24y231dx25y241解析： 选 b 由题意设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)， 连接 f1a， 令|f2b|m， 则|af2|2m，|bf1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 ma2，故|f2a|a|f1a|，则点 a 为椭圆 c的上顶点或下顶点 令oaf2(o 为坐标原点)， 则 sin 1a.在等腰三

9、角形 abf1中， cos 2a23a213，所以1312(1a)2，得 a23.又 c21，所以 b2a2c22，椭圆 c 的方程为x23y221.故选 b3. (创新型)(2020江西吉安一模)如图，用与底面成 45角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为_解析：设圆柱的底面圆的直径为 r，则椭圆的短轴长为 r.因为截面与底面成 45角，所以椭圆的长轴长为2r，所以椭圆的半焦距为22r2r22r2，则 ecar222r22.答案：224(2019高考全国卷)设 f1，f2为椭圆 c：x236y2201 的两个焦点，m 为 c 上一点且在第一象限若mf1f2为等腰三角形，则 m

10、 的坐标为_解析：通解：由椭圆 c：x236y2201，得 c a2b24，不妨设 f1，f2分别为左、右焦点，则由题意知|mf1|f1f2|2c8，于是由椭圆的定义得|mf1|mf2|12，所以|mf2|12|mf1|4， 易知mf1f2的底边mf2上的高 h|f1f2|212|mf2|2 82222 15，所以12|mf2|h12|f1f2|ym，即1242 15128ym，解得 ym 15，代入椭圆方程得xm3(舍去)或 xm3，故点 m 的坐标为(3， 15)优解：不妨设 f1，f2分别为左、右焦点，则由题意，得|mf1|f1f2|8，由椭圆的焦半径公式得|mf1|exm623xm68

11、，解得 xm3，代入椭圆方程得 ym 15，故点 m 的坐标为(3， 15)答案：(3， 15)5已知椭圆 c：x22y24.(1)求椭圆 c 的离心率；(2)设 o 为原点若点 a 在直线 y2 上，点 b 在椭圆 c 上，且 oaob，求线段 ab 长度的最小值解：(1)由题意，椭圆 c 的标准方程为x24y221.所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 c 的离心率 eca22.(2)设点 a，b 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 oaob，所以oaob0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以|ab

12、|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x2022(4x20)x204x2028x204(0 x204)因为x2028x204(0 x204)，当且仅当 x204 时等号成立，所以|ab|28.故线段 ab 长度的最小值为 2 2.6(2019高考全国卷)已知 f1，f2是椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，p 为 c上的点，o 为坐标原点(1)若pof2为等边三角形，求 c 的离心率；(2)如果存在点 p，使得 pf1pf2，且f1pf2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围解：(1)连接 pf1.由pof2为等边三角形可知在f1pf2中，f1pf290，|pf2|c，|pf1| 3c，于是 2a|pf1|pf2|( 31)c，故 c 的离心率 eca 31.(2)由题意可知，满