直角三角形的边角关系小结与复习

1、第一章 直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角 形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角 三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键，而且也是本章知识的难点。如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1. 从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知Rt 的 一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。 显然用勾股定理和直角三角形两个锐角 互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三

2、角形中边与角的相互关系。2. 教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为 30°时，那么这角 的对边与斜边之比就确定比值为1： 2,接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为 宀，同时也说明了锐角的度数£ 忑变化了 ,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了 ,由到。这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。3. 从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质

3、证明了 ：当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时， 那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。4. 在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学 生熟练掌握。同时要强调三角函数的实质是比值。防止学生产生sin X=60° ,sinX= 1等错误，要讲清si nA不是sin*A而是一个整体。如果学生产 生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。5. 在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢，再通过有关的练习加以巩固。在解三角形的过程中，需要会求一般锐角的三角函数值， 并

4、会由已知的三角函数值求对应的角度。为此，教材中安排介绍了查三角函数表 的方法，学生在查表过程中容易出错，尤其是在查余弦、余切表时，特别是在查 表前，应适当讲一下锐角三角函数值的变化规律。6. 从定义总结同角三角函数关系式：在学生熟练掌握定义的基础上，师生共 同来发现如下的同角三角函数关系式，培养学生分析问题、总结规律、发现问题 的习惯和能力。例如:£3bsinA=sinB=bacosA= cosB='abtanA= '' tanB= cotA= ' cotB="有哪些函数的值相等呢？如下：sin A=cosBvZ A+Z B=90°

5、 cos(90 ° -B)=sinB/ A=90° - Z B tan(90 ° -B)=cotB sin(90 ° - Z B)=cosB cot(90 ° -B)=tanB关于ZA可由学生自己推出。a b11=1 又有：tanA cotA= '： tanA= cotA= v si nA=> sin2 卫=* cos2 >4=7b2/bcosA='sin2 A + cos1 A- u :=1四个三角函数的基本性质：根据特殊角的三角函数值和查三角函数可以得出： 正弦、正切的函数值是随着角度的增大而增大，正弦函数(在0

6、° 90°)sin0 ° =0, sin90 ° =1,正切函数(在 0° 90° )tan0 ° , tan90。不存在。 余弦、余切的函数值是随角度的增大而减小，余弦函数(0 ° 90° )cos0° =1,cos90° =0，cos0°不存在，cot90 ° =1.为了巩固这一部分知识，应该通过一些基本练习题使学生达到熟练掌握的目的。 练习题如下：填空：(1) 知：a + B =90°，sin a = 则 cos B =(2) 已知：sin27=a,

7、则 cos63° =(3) 已知：tan42 ° =c,贝U cot48 ° =(4)计算:tan48第8页共8页竺竺二型_堀4亍(5)已知A为锐角，化简：1 '(6)已知 O < a <45°呂(4 宁 +- cig (4 5'-化简:7(sm 20B - cos 20* )2(8) 已知：cos a =0.1756,sin B =0.1756则锐角a与B之间的关系是_。(9) 在 ABC中，/ C=90，如果 45° <A<90° , 0° <B<45，那么 sin A

8、与cos A较大的是sin B与cos B中较小的是。(10) 已知 ABC中/C=90 ,0° <Z B<45 ,那么(sin A-cos A)与(sin B-cos B)中是正数的是 。(11) ABC 中，/ C=90 , a、b、c 为/A、/ B/C 的对边，当 b=10时,sinA=m(m 为常数),当 b=100 时,a、b、c 各扩大 10 倍，sinA=.(12) ABC中, / B=30°，/ C=45 ,AB=8cm,则 AC=_,判断下列各题是否正确(a角为锐角)(1) sin a =cos42° ,贝U a =42°

9、()(2) cot a =tan17°，则 a =83°()(3) cos(90 ° - a )=sin36 ° , a =36° ()(4) tan(90 ° - a )=cot53 ° , a =37° ()(5) sin40 ° +sin30 ° =sin70 ° ()(6)40" -cos40*)2=sin 40* - cos 4CT不查表判断下列各式的正负:(1)cot75 °()(2)cos42 °-cos46°()cos46

10、76;-cos47 °() ta n75°-cot14 °()sin50 ° -cos50°()(6)tan50° -sin50 °()(二)、解直角三角形1、解直角三角形是本章重点，正确地选择关系式，先将已知和未知联系起来, 然后进行正确地计算是解直角三角形的关键。2、解直角三角形的依据有如下公式： 三边之间关系：-'': 角之间关系：/ A+Z B=90 边角之间关系：sinA=cosB= ; cosA=sinB=；tanA=cotB= ； cotA=tanB=。3、直角三角形可解的条件：在两个锐角和三边

11、这五个条件中，必须已知两个独 立的条件且两个条件中至少有一个条件是边。 根据可解的条件的分类，可有如下 类型及其解法：a已知两边：两条直角边（a , b ）解法：c=“ * tanA=''求 ZAZ B=90° - ZA斜边和一条直角边（a , c ）解法：b= 7用sinA= 求AZ B=90o - ZAb 一边和一锐角 一条直角边和锐角A: / B=90 - ZAb=c=斜边C和锐角A: / B=90 - ZA a=c sinA b=4、解直角三角形的应用（1）、解决实际中提出的问题：如测量、航海、工程技术和物理 学中的有关距离、高度、角度的计算，应用中要根据题意

12、，准确画出图形，从图中确定要解的直角三角形， 解直角三角形时，充分使 用原始数据，正确选择关系式，使运算尽可能简便、准确。（2）、在解决实际问题中，仰角俯角；坡度坡角水平距离，垂直 距离等概念，一定要在弄清概念的含意的基础上， 辨别出图中这些 概念的位置。（3）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三 角形，间接地解出。（4）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可 使得问题得到解决。练习题如下：1、填空:（1）等腰三角形腰长为10cm顶角为120°，则三角形底边长为_， 高为面积为_。（2）正三角形边长为2a，则一边上的高线长为_。（3）正三角形一边上中线长为3，则边长为_。（4） 正三角形一边长为6,则正三角形外接圆半径R=。（5） Rt ABC中，/ C=90 , a、b、c 分别为 A、B、C的对边, a+c=4+- - ,Z A=60°,贝U R=_, C=_。2、梯形的两底边分别为15cm 5cm两底角分别为60°, 30°。求梯形的周长。3、如图电视塔建立在20米高的小山顶上，从水面上一点D测得塔 顶A的仰角为60°,测得塔基B的仰角为30°,求塔高AB4、在 A