1979—2019全国统一高考数学(理科)试卷含详细解答(历年真题)(全国卷1)史上最全

1、第1页（共 717 页）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.（ 5 分）已知集合 M = x| 4vxv2 , N = x|x2 x 6v0，则 MnN =（）A.x|4vxv3 B.x|4vxv 2 C.x2vxv2 D.x|2vxv32.（ 5 分）设复数 z 满足|z i|= 1, z 在复平面内对应的点为（x, y）,则（ ）2 2 2 2A .（ x+1 ） +y = 1B.（ x 1） +y = 12 2 2 2C. x + （y 1）= 1D. x

2、 + （y+1）= 13.（ 5 分）已知 a= Iog20.2, b = 20.2, c= 0.203,则（ ）A.avbvcB.avcvbC.cvavbD.bvcva4.（ 5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比5 15 1是一（一-0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此2 2夕卜，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是兰丄.若某人满足上2述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）A . 165cmB . 175cmC . 185 cmD . 190 cm?.?（5

3、 分）函数 f （x） =?在?-n，n的图象大致为（第2页（共 717 页）6.（ 5 分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ 一 ”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是（）7.（ 5 分）已知非零向量? ?满足|?= 2|?,且（?- ?丄?则?与?勺夹角为（）5A .1611B .322111C.D.3216?A .-6?32?C.35?D.6&（ 5 分）如图是求1厂的程序框图，图中空白框中应填入（2+ 12+2第3页（共 717 页）12.（ 5 分）已知三棱锥 P -

4、ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA = PB= PC , ABC 是 边长为2 的正三角形，E, F 分别是 PA, AB 的中点，/ CEF = 90,则球 O 的体积为（ ）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13._ （ 5 分）曲线 y= 3（x2+x） ex在点（0, 0）处的切线方程为 _.1214.（ 5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1= -, a42= a6,则 S5=_15.（ 5 分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客

5、1A. A_2+?B . A= 2+?CA_11+2?D .1A=1+2?9.（ 5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和.已知 S4= 0, a5= 5,则（)A . an= 2n- 5B . an= 3n - 10C . Sn= 2n2- 8nD .Sn_fn2- 2n10.B 两点.若 |AF2|= 2|F2B|, |AB|=|BF1|,则 C 的方程为()?2A . y + y =1? ?B. +T=1?C.+= 143?D.+= 15411.（ 5 分）关于函数 f （x）= sin|x|+|sinx|有下述四个结论:1f（x）是偶函数?2f （x）在区间（2，n）单调递增3f

6、（x）在-n,冗有 4 个零点4f（x）的最大值为 2其中所有正确结论的编号是（）A .B .C.D.D.v6n（5 分）已知椭圆C 的焦点为 F1(- 1, 0),F2（1, 0）,过 F2的直线与 C 交于 A,第4页（共 717 页）主” 设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4： 1 获胜的概率是_?字16.（ 5 分）已知双曲线 C:灵-= 1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A, B 两点.若？?= ?,?= 0,则 C 的离心率为_ .三、解答题：共 70 分。解

7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。2 217.（ 12 分） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, 6 设（sinB - sinC）2= sin2A-sin Bsi n C.(1 )求 A;(2)若 v2a+b= 2c,求 sinC.18.（ 12 分）如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形， AA1= 4, AB= 2，/ BAD =60,E, M , N 分别是 BC, BB1, A1D 的中点.（1）证明：MN /平面 C1D

8、E;（2）求二面角 A- MA1- N 的正弦值.2319.（ 12 分）已知抛物线 C: y2= 3x 的焦点为 F，斜率为?的直线 I 与 C 的交点为 A, B, 与 x 轴的交点为 P.(1 )若 |AF|+|BF|= 4，求 l 的方程;第5页（共 717 页）第 5 页(共 717 页)(2)若 ?=3?,求 |AB|.20.( 12 分)已知函数 f (x)= sinx- In (1+x), f( x)为 f (x)的导数.证明：?(1) f( x)在区间(-1,二)存在唯一极大值点；2(2) f (x)有且仅有 2 个零点.21.( 12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新

9、药，希望知道哪种新药更有效，为此 进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治 愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和轮试验中甲药的得分记为X .(1 )求 X 的分布列；(

10、2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i = 0, 1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po= 0, p8= 1, pi= api-1+bpi+cpi+1(i = 1,2,，7),其中a=P ( X=- 1), b = P(X= 0),c= P(X=1).假设a=0.5,3=0.8.(1)证明：pi+1- pi (i = 0, 1, 2,，7)为等比数列；(ii)求 p4,并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。第一题计分。选修 4-4 :坐标系与参数方程(10 分)?=2

11、2.( 10 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为?=坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2 pcosB+V3psin 肝 11 = 0.(1 )求 C 和 I 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 I 距离的最小值.如果多做，则按所做的1-?21+?/(t 为参数).以4?1+?l 的极坐标方程为第7页（共 717 页）选修 4-5:不等式选讲（10 分）23.已知 a, b, c 为正数，且满足 abc= 1.证明:1 1 12 2 2)?+?+?wa+b+c；(2)( a+b)3+ (b+c)3+ (c+a)324.第8页（共 717 页）20

12、19年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.( 5 分)已知集合 M = x| 4vxv2 , N = x|x2 x 6v0，则 MnN =()A.x|4vxv3 B.x|4vxv 2 C.x2vxv2 D.x|2vxv3【解答】 解：IM = x| 4vxv2 , N = x|x2 x 6v0 = x| 2vxv3,MnN=x|2vxv2.故选：C.2.( 5 分)设复数 z 满足|z i|= 1, z 在复平面内对应的点为(x, y),则( )A .

13、( x+1 )2+y2= 1B. ( x 1)2+y2= 12 2 2 2C. x2+ (y 1)2= 1D. x2+ (y+1)2= 1【解答】解： z 在复平面内对应的点为(x, y),.z= x+yi,.z i = x+ (y 1) i,.|zi|=V?+ (?- 1)2= 1,2 2.x + (y 1)= 1,故选：C.3.( 5 分)已知 a= Iog20.2, b = 20.2, c= 0.203,则( )A.avbvcB.avcvbC.cvavbD.bvcva【解答】解：a= log20.2vlog21= 0,b= 2.2 20= 1,/ 0v0.2.3v0.2=1,第9页（共

14、717 页）.c=。公養。公養(0, 1),第10页（共 717 页） avcvb,故选：B.4.（ 5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比需需-1-0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是A . 165cmB . 175cmC. 185cmD. 190cm【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26cm,5 1由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是一一 -）.618 ,2、 、26可得咽喉至肚脐的长度小于-42cm,0.618由头顶至肚脐的长度

15、与肚脐至足底的长度之比是一乱,2可得肚脐至足底的长度小于亦=110,即有该人的身高小于 110+68 = 178cm,又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于105X0.618- 65cm,述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可22能是（）第11页（共 717 页）即该人的身高大于 65+105 = 170cm,第12页（共 717 页）故选：B ?+?5.( 5 分)函数 f (x)=?+?-nn的图象大致为()卄?+?解：-(x)=-n，C.【解 f (- x)-?-?(-?)+?+?+?(X) f （x）为-n, n上的奇函数

16、，因此排除A;又 f (?+? ?+?-1+?20,因此排除B, C；故选：D.6.（ 5 分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦” 列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“一一”，如图就是 中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是（）由从下到上排一重卦在所有重卦第13页（共 717 页）【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数 n= 26= 64,该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数 m=?=20.oo on则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p=?=20?64故选：A.7.（ 5 分）已知非零向量? ?满足|?= 2|?,且（?- ?丄【解答】解：（力？丄?

17、(?- ?= ? ?=|?|? ? - ? = 0 ,TT 2 ? ?=?I?I?IT2一|?|=1-T2=2，2|?|/V? ?0,?V?故选：B.（5 分）如图是求12+2+2的程序框图，图中空白框中应填入（5A .161211B.32516?则?与 ?勺夹角为（）?A .-6?B .-32?C.35?D.6-3第14页（共 717 页）B . A= 2+1?C. A=11+2?D . A = 1+2?【解答】解：模拟程序的运行, 可得:A=2, k= 1;满足条件 kw2,执行循环体,满足条件 kw2,执行循环体,1A= +, k= 3;2+T2+1此时，不满足条件 kw2，退出循环，输

18、出A 的值为1- ,2+12+2观察 A 的取值规律可知图中空白框中应填入A=12+?.故选：A.9.（ 5 分）记 9 为等差数列an的前 n 项和.已知S4= 0, a5= 5,则（ ）A . an= 2n 5an= 3n 10C.2Sn= 2n 8n12D. Sn=刃-2n【解答】解：设等差数列an的公差为 d,由S4= 0, a5= 5,得4?+6?=0 .?= ? + 4?= 5，?= 2二 an= 2n 5, ?= ?- 4?第 13 页(共 717 页) |AF1|+|AF2|= 2a, |AF1|= a,|AFI|=|AF2|,.A 在 y 轴上.1在 Rt AF2O 中，co

19、s/ AF20=?10.（ 5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（- 1, 0）, F2（1, 0）,过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点.若 |AF2|= 2|F2B|, |AB|= |BF1|,则 C 的方程为（）?2A.歹 + y =1?B. + = 132?=13?D.+= 154【解答】解:|AF2|= 2|BF2|,. AB|= 3|BF2|,又|AB|=|BF1|,A|BF1|= 3|BF2|,又 |BF1|+|BF2|= 2a, |BF2|=2；jAF2|= a,a3 -2TFB在厶 BF1F2中，由余弦定理可得cos/ BF2F1=4+(2?2-(3?f?2X2劳劳1根据

20、 cos/ AF20+C0S/BF2F1= 0，可得-+?4-2?22?=0，解得玄2= 3,. a= v3 .b2= a2- c2= 3 - 1 = 2.所以椭圆 C 的方程为:?+ = 1.32故选：B.第16页（共 717 页）11.( 5 分)关于函数 f (x)= sin|x|+|sinx|有下述四个结论：1f (x)是偶函数?2f (x)在区间(一，n)单调递增23f (x)在-n, n有 4 个零点4f (x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是()A .B .C.D .【解答】 解：f (- x)= sin| - x|+|sin (- x) |= sin|x|+|sinx|=

21、 f (x)则函数 f (x)数，故正确，?当 x(_,n)时，sin|x|= sinx, |sinx|= sinx,2则 f (x)= sinx+sinx = 2sinx 为减函数，故 错误，当 0 x0,即 q 0, q= 3,则 S5=121故答案为:1213第20页（共 717 页）3前 5 场比赛中，第三场负，另外4 场全胜，其概率为：p3= 0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,4前 5 场比赛中，第四场负，另外4 场全胜，其概率为：p3= 0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,则甲队以 4: 1 获胜的概率为：p= pi+p2+p3+p4= 0.036

22、+0.036+0.054+0.054 = 0.18.故答案为：0.18.? ?16.（ 5 分）已知双曲线 C:?2-?2=1（a 0,b 0）的左、右焦点分别为Fi,F2,过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A, B 两点.若？?= ?,?= 0,则 C 的 离心率为2 ./ ?= ?,且？?？?= 0,二 OA 丄 F1B, 则 F1B : y=?(?+ ?)则?=:?+?2= ?(?孑_?2)2(?/-?2)2,整理得： b2= 3a2,. c2 a2= 3a2,即卩 4a2= c2,联立?= (?+ ?)?, ?= ? 解得 B （?字?_?2),?e=?7?=2.【解答】解：

23、如图,第21页（共 717 页）故答案为：2.第22页（共 717 页）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。2 217.（ 12 分） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, 6 设（sinB - sinC） = sin Asin Bsi n C.(1 )求 A;(2)若 v2a+b= 2c,求 sinC.【解答】解：(1 厂.公 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. . 2.2设(sinB - sin

24、C)= sinA- sinBsinC.222则 sin B+sin C - 2sinBsinC= sin A- sinBsinC,由正弦定理得：b2+c2- a2= bc, ovAv n A=3.(2)TV2a+b=2c,A=3?3由正弦定理得V2?2?v62?一+?(- ?)= 2?解得 sin (C-?=C-?=?C=?+2?626446?v2昉v21v6+迈sinC=sin ( + )=sin cos_ + coLsin =x+x=-4646462222418. （ 12 分）如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形， AA1= 4, AB= 2，/ BAD =60,E

25、, M , N 分别是 BC, BB1, A1D 的中点.（1）证明：MN /平面 C1DE;（2）求二面角 A- MA1- N 的正弦值./ cosA=?+?字-?2_2?_ 12?=2,第23页（共 717 页）1【解答】（1）证明：如图，过 N 作 NH 丄 AD，则 NH / AAi,且？?=*?,又 MB / AAi, MB=*?二四边形 NMBH 为平行四边形，则 NM / BH ,由 NH / AAi，N 为 A1D 中点，得 H 为 AD 中点，而 E 为 BC 中点， BE/ DH , BE = DH，则四边形 BEDH 为平行四边形，则 BH / DE , NM / DE,

26、 NM?平面 C1DE , DE?平面 C1DE , MN /平面 CiDE;（2）解：以 D 为坐标原点，以垂直于 DC 得直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y 轴，以DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则 N（子,-2, 2）, M（需,1 , 2）, Ai（运1, 4）,T需3一 巧1?=（寿,3,0）,?1?=（7,-1,2）,设平面 A1MN 的一个法向量为?= （? ? ?）?=?+3?= 0由22v31? =?.?+2?= 0.122取 x= v3，得?= (V3,- 1,- 1),第24页（共 717 页）又平面 MAA1的一个法向量为？?= （1,0,0）, CO

27、SV?, ?=“35“155-?|?|?|?第25页(共 717 页)319,( 12 分)已知抛物线 C : y2= 3x 的焦点为 F，斜率为孑的直线 I 与 C 的交点为 A, B, 与 x 轴的交点为 P,(1 )若 |AF|+|BF|= 4，求 I 的方程；TT(2)若?=3?,?求 |AB|.【解答】解：(1)设直线 I 的方程为 y=3(x-t),将其代入抛物线 y2= 3x 得：9x2-24/ 992t+3) x+t2=0,设 A (X1, y1), B (x2, y2),由抛物线的定义可得：|AF|+|BF| = X1+X2+P = 2t+3+2=4，解得 t= g， 直线

28、l 的方程为 y=3x-7,2 8TT33(2)若？?=3?,?则 yi= 3y2,. (xi- t)=- 3X(X2- t)，化简得 xi=-3x2+41,则 X1+x2=9?+39-4.422t+3，X1X2= t ,面角 A- MAi- N 的正弦值为第26页(共 717 页)由解得 t= 1 , X1= 3 , x2=3,91、2,4-|AB 1=V1 +4V(3 +3)2- 4 =20.( 12 分)已知函数 f (x)= sinx- In (1+x), f( x)为 f (x)的导数.证明:?(1) f( X)在区间(-1,-)存在唯一极大值点;2(2) f (x)有且仅有 2 个

29、零点.【解答】证明：(1)f(x)的定义域为(-1,+R),(x)=- sinx+1_,(1+?)1令 g (x)=- sinx+2，贝 U g( x)=- cosx-(1+?)2(x)单调递减;f( X)= cosx-1+?2?-V0 在(-1, 一)恒成立,(1+?)32-f( x)在(-1,?T 上为减函数,又 f(0)= 1, f?1(2)=-1+(诗v-1+1=0,由零点存在定理可知,函数 f(x)在(-?1,亍)上存在唯一的零点 X0,结合单调性可得，f( X)在(-1, x0) 上单调递增,?在(x。，2?上单调递减，可得f(x)?在区间(-1, 一)存在唯一极大值点;2(2)由

30、(1 )知，当 x (- 1 , 0)时,f(X)单调递增,f(x)vf(0)=0,f第27页(共 717 页)当 x( 0, X0)时，f( x)单调递增，f(X)?由于 f(刈在(X。，2)上单调递减，且f(由零点存在定理可知,函数f( X)在?(X0,-)知，当 x ( X0, X1)时， f( X)单调递减，f(X)当 x ( ?,2?时,f( X)单调递减，f(X) f( 0)=0, f (x)?单调递增;?v0,上存在唯一零点 X1,结合单调性可 f( X1)= 0, f (x)单调递增;vf(X1)= 0, f ( x)单调递减.第28页(共 717 页)?1 1当 x (3，n

31、)时，COSXV0, -1+?V0,于是 f( X)= cosx-存?？VO, f (x)单调递减，?其中 f (2=1-ln(1+?1-In(1+3.2)- 1 - In2.6 1 - Ine- 0，f( n)=-In(1+n)V-In3v0.于是可得下表：X(-1，0(0，X1(?，?2?(-，?n0)x1)?-)2f0+0 (X)f(X)单调递0单调递大于 0单调递大于 0单调递小于 0减增减减?结合单调性可知，函数f (X)在(-1，-上有且只有一个零点 0,?由函数零点存在性定理可知，f (X)在(-，n)上有且只有一个零点 X2，2当 xn，+8)时，f (X)= sinx In

32、(1+X)V1 - In (1+n) V1 - In3v0，因此函数 f(x)在n，+上无零点.综上，f (x)有且仅有 2 个零点.21.( 12 分)为治疗某种疾病， 研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此 进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试 验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治 愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠

33、治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和轮试验中甲药的得分记为 X .第29页(共 717 页)(1 )求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i = 0,1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po= 0, p8= 1, pi= api-1+bpi+cpi+i(i = 1, 2,，7),其中 a= P ( X=- 1), b = P (X= 0), c= P (X= 1).假设a=0.5,3=0.8.(i)证明：pi+1- pi (i =

34、 0, 1, 2,，7)为等比数列；(ii)求 p4,并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性.【解答】(1)解：X 的所有可能取值为-1, 0, 1.P(X=-1) = (1- a) 3,P(X=0) = a+(1- a) (1- 3) ,P(X=1) = a (1- 3), X 的分布列为：X-101P(1- a) 3a 3 (1- a) (1-3)a (1- 3)(2)(i)证明：a=0.5,3=0.8,由(1)得,a= 0.4, b= 0.5, c= 0.1.因此 pi= 0.4pi-1+0.5pi+0.1 pi+1( i= 1, 2,，7),故 0.1 ( pi+1- pi) = 0

35、.4 ( pi- pi-1)，即(pi+1- pi) = 4 (pi- pi-1),又Tp1- p0= p1丰0,pi+1-pi(i=0,1, 2，7)为公比为 4,首项为 p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，?(1-48)48-1p8=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)+p0=3?,3-p8=1, p1=8,48-144-11 P4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-pO)+p0=p1=257第30页(共 717 页)P4表示最终认为甲药更有效的概率.第31页（共 717 页）由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药

36、更有效的1概率为？=疋0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合25 7理.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4 :坐标系与参数方程（10 分）两式平方相加，得?+?= 1 (XM-1),?2 C 的直角坐标方程为？+?= 1 (XM-1),由 2pcos0+v3 psin0+11=0，得 2?+ v3?+ 11 = 0.即直线 I 的直角坐标方程为得 2?+v3?+ 11 = 0 ；(2)法一、设 C 上的点 P (cos02sin0)(0Mn),则 P 到直线得 2?+V3?+ 11 = 0

37、的距离为:当 sin（0+0）= -1 时，d 有最小值为v7.法二、设与直线 2?+V3?+ 11 = 0 平行的直线方程为 2?+V3?+ ?= 0,22.（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线?=C 的参数方程为?=1-?21+?，4?1+?/（t 为参数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为2 pcosB+v3 psin0+11=0.（1 ）求 C 和 I 的直角坐标方程;（2）求 C 上的点到 I 距离的最小值.【解答】解:?=(1)由?=1-?21+?纟，4?1+?=（t 为参数），得?1-?21+?吩2?1+?第32页（共 717

38、页）2 2由厶=16m2 64 （ m2 12）= 0，得 m= 4.当 m= 4 时，直线 2?+ v3?+ 4 = 0 与曲线 C 的切点到直线 2?+v3?+ 11 = 0 的距离 最小，为孚=v7.V22+3选修 4-5 :不等式选讲（10 分）23.已知 a,b, c 为正数，且满足 abc= 1.证明:1(1) +?1 12 2 2+24.【解答】证明：（1）分析法：已知 a, b, c 为正数，且满足 abc= 1.111non要证(1)+ +a2+b2+c2;因为 abc = 1.? ? ? ? ?222就要证：+a +b +c ;? ? ?Q Q Q即证：bc+ac+abwa

39、 +b +c ;non即：2bc+2ac+2ab 02 2 2(a - b) + (a- c) + (b - c)0 ；/a, b, c 为正数，且满足 abc = 1.(a- b)2 0;( a - c)2 0; ( b- c)2 0 恒成立；当且仅当：a = b= c= 1 时取等号.即(a - b)2+ (a - c)2+ (b c)20 得证.,111故一+Wa+b+c 得证.2?kV3?+ ?= 04?+ ?- 4=0，得 16“+4mx+m212= 0.第33页（共 717 页）当且仅当(a+b) = ( b+c) = ( c+a)时取等号；即：a= b= c= 1 时取等号；/

40、a, b, c 为正数，且满足 abc = 1.(a+b) 2V? ( b+c) 2V? ( c+a)2V?当且仅当 a= b, b = c; c= a 时取等号；即：a= b= c= 1 时取等号；( a+b)3+(b+c)3+(c+a)33(a+b)?(b+c)?(c+a)3X8V?TV?V?24abc=24；当且仅当 a= b= c = 1 时取等号；故(a+b)3+ (b+c)3+ (c+a)324.得证.2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1-?1.( 5

41、 分)设 z=!+?+2i，则 |z|=()1 -A.0B. -C.1D. v222.( 5 分)已知集合 A = x|x2- x-20，则？RA=()A.x|-1vxv2B.x|-1wxw2 C.xX2D.xX23. （ 5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更 好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收 入构成比例，得到如下饼图：第34页（共 717 页）则下面结论中不正确的是（)第35页（共 717 页）A 新农村建设后，种植收入减少B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D 新农村

42、建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.（ 5分）记 Si 为等差数列an的前 n 项和.若 3S3= S2+S4, al= 2,贝 U a5=（）5.（ 5 分）设函数 f （x）= x3+ （a - 1） x2+ax.若 f （x）为奇函数，则曲线 y = f （x）在点（0, 0）处的切线方程为 ( )7. （ 5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）C: y2=4x的焦点为F，过点（-2, ）且斜

43、率为2的直线与 C 交于M , N 两点，贝 U ?=()C . 7D . 8A . - 12B . - 10C. 10D. 12A . y=- 2xB . y=- x6.（ 5 分）在厶 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线,3一1一1T3一A . -?B . - ?4444C . y= 2xD . y= xE 为 AD 的中点，则?=()3一1一1_3一C - ?+?D . -?+?4444A . 2vi7B .2V5C . 3（5 分）设抛物线第36页（共 717 页）?W09.(5分)已知函数f(x) = ?鸟0,g(x)=f(x)+x+a-若g(x)存在2个零点，则 a 的取值范围

44、是（）10.（ 5 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC,直角边 AB, AC.AABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为H,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n，川的概率分别记为P1, p2, p3,则（ ）?211.（ 5 分）已知双曲线 C : 3 - y = 1，O 为坐标原点,C 的两条渐近线的交点分别为 M , 2 若厶 OMN 为直角三角形，则|MN|=（）12 . （ 5 分）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面此正方体所得截面面积的最大值为（）3v32v33

45、V2A .B .C434、填空题：本题共4 小题,每小题5 分，共 20 分。? 2?- 2 0，则 z= 3x+2y 的最大值为 _ .? 014 . （ 5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn= 2an+1，贝 U S5 =_.15 . （ 5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有 _种.（用数字填写答案）16 . ( 5 分)已知函数 f (x)= 2sinx+sin2x,贝 U f ( x)的最小值是 _B.0,+a)C.-1,+a)D.1,+a)A . p1= p2B . p1= p3C. p2= p3D . p

46、1= p2+p3F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与a所成的角都相等，则a截第37页(共 717 页)三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.( 12 分)在平面四边形 ABCD 中，/ ADC = 90,/ A= 45, AB= 2, BD = 5.(1 )求 cos/ ADB;(2 )若 DC = 2 辺，求 BC.18.( 12 分)如图，四边形 ABCD 为正方形，E, F 分别为 AD , BC 的中点，以 DF 为折痕 把厶 DF

47、C折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF 丄 BF .(1) 证明：平面 PEF 丄平面 ABFD ;(2) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.M 的坐标为(2, 0).(1 )当 I 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：/ OMA = / OMB .20.( 12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p (0 1 的解集;(2)若 x ( 0,

48、1 )时不等式 f (x) x 成立，求 a 的取值范围.(2 )若 f ( x)存在两个极值点X1, x2,证明:?-?2va - 2.22.(10 分)在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的方程为 y= k|x|+2 .以坐标原点为极点,第40页（共 717 页）2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1-?1.( 5 分)设 z=y?+ 2i，则 |z|=()1-A . 0B .C. 1D2【解答】 解：z=1+?+2i=(1-?)(1-?)+2i

49、 =- i+2i = i,1+? (1-?)(1+?) 则 |z|= 1.故选：C.2.( 5 分)已知集合 A =x|x2-x- 2 0，则？RA=()A.x|-1vxv2 B.x|-1wxw2C.xX2 D.xX2【解答】解：集合 A = x|x2- x- 20,可得 A = x|x 2,则:?RA= x| 1wxw2.故选：B.3 . （ 5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收 入构成比例，得到如下饼图：第41页（共 717 页）则下面结论中不正确的是（A 新农村建设后，种植收

50、入减少B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解答】解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a A 项，种植收入 37%x2a-60%a= 14%a0, 故建设后，种植收入增加，故 A 项错误B 项，建设后，其他收入为 5%x2a= 10%a,建设前，其他收入为 4%a，故 10%a-4%a= 2.5 2,故 B 项正确.C 项，建设后，养殖收入为 30%x2a= 60%a,建设前，养殖收入为 30%a，故 60%a-30%a= 2,故 C 项正确.D 项，建设后，养殖收入与第三产业

51、收入总和为（30%+28%）x2a=58%x2a,经济收入为 2a，故（58%x2a）- 2a = 58% 50%,第42页（共 717 页）故 D 项正确.因为是选择不正确的一项，故选：A.4.（ 5 分）记 S 为等差数列an的前 n 项和.若 3S3= S2+S4, al= 2,贝 U a5=（）A- 12B- 10C10D12【解答】解： Sn为等差数列an的前 n 项和，3S3= S2+S4, ai= 2,3 x (3? +?)= ai+ai+d+4ai+-d,把 ai= 2，代入得 d=- 3.a5=2+4x( -3)= -10.故选：B.325.( 5 分)设函数 f( x)=

52、x + (a - 1) x +ax .若 f( x)为奇函数，则曲线 y = f (x)在点(0, 0)处的切线方程为()A . y=- 2xB . y=- xC. y= 2xD. y= x32【解答】解：函数 f (x)= x + (a - 1) x +ax，若 f (x)为奇函数，f (- x)=- f(x),32323-x + (a- 1) x - ax=-( x + ( a- 1) x +ax)=- x -( a - 1)x2- ax.所以：（a-1） /=-(a- 1) x2可得 a= 1，所以函数f ( x )= x3+x,可得 f2(x)= 3 + 1,曲线 y= f（x）在点（

53、 0, 0）处的切线的斜率为 :1,则曲线 y= f （x）在点 （0, 0）处的切线方程为 :y= x.故选：D.6.（ 5 分）在厶 ABC 中,AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则?=( )3一1一A - ? - ? 4 4 1一3一B - ? - ? 44 3一1一C - ?+?4 4 1 T3 TD - ?+?4 4 【解答】解：在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点,-J,1?= ? ?= ? ?第43页（共 717 页）21 1=?寸X寸(? ?3一1一= ? ?44故选：A.第44页（共 717 页）7.（ 5 分）某圆柱的高为 2，底

54、面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）B .2V5【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径 中，最短路径的长度：V22+42=2V5.故选：B.22&（ 5 分）设抛物线 C : y2= 4x 的焦点为 F，过点（-2, 0）且斜率为-的直线与 C 交于3M , N 两点，贝 U ?=（）A . 5B . 6C. 7D. 8【解答】解：抛物

55、线 C： y2= 4x 的焦点为 F （1 , 0），过点（-2, 0）且斜率为-的直3线为：3y= 2x+4,联立直线与抛物线 C: y2= 4x,消去 x 可得：y2- 6y+8 = 0,C. 3直观图以及侧面展开图如图:第45页（共 717 页）解得 yi= 2, y2= 4，不妨 M (1, 2), N (4, 4), ?= (0,2) , ?= (3,4).则?= ( 0, 2) ? (3, 4)= 8.第 34 页(共 717 页)?0点，则 a 的取值范围是()A.-1,0)B.0,+s)C.-1,+s)D.1, + 【解答】解：由 g (x)= 0 得 f (x)=- x -

56、a,作出函数 f (x)和 y=- x- a 的图象如图：当直线 y=- x-a 的截距-a- 1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g (x)存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是-1,+s),故选：C.10.( 5 分)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC,直角边 AB, AC.AABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为H,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n，川的概率分别记为P1, p2, p3,则( )9.(5 分)已知函数第47页（共 717 页）第48页（共

57、717 页）【解答】解：如图：设 BC = 2ri,AB= 2r2, AC= 2r3,ri2= r22+r32112二 Si=2X4r2r3=2r2r3,Sm=Xni-2r2r3,A . pl= p2B . p1= p3C. p2= p3D . p1= p2+p3Sn=1Xn32+1XTT22-Srn=1X22 2212123+2XTT2 -Xn1+2r2r3=2r2r3,第49页（共 717 页）【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长空,2a

58、截此正方体所得截面最大值为：6X-43X（手）2=4-二 Si= Sn,二 P1= P2,故选：A.11.（ 5 分）已知双曲线 C:- y2= 1, O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与3C 的两条渐近线的交点分别为M , 2 若厶 OMN 为直角三角形，则|MN|=（）C. 2【解答】解：双曲线 C:?- y2= 1 的渐近线方程为:3y= +-3?渐近线的夹角为:60,不妨设过 F（2, 0）的直线为：y= v3（?- 2）,则：?=-亍？解得 M (-，-冷),2 2?=V3(?- 2)vj?= ?- 3_?解得：N (3,V3),?=V(?- 2)则|MN|=v(3

59、 -|)2+ (v3+V3)2=3.故选：B.12.（ 5 分）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 此正方体所得截面面积的最大值为（）a所成的角都相等，则a截3V3A .4V3D. 一2第50页（共 717 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。? 2?- 2 0，则 z= 3x+2y 的最大值为6?2 时，Sn-1= 2an-1+1 ,，由-可得 an= 2an- 2an-1,-an= 2an-1,二an是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列,故答案为：-6315.（ 5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，

60、则不同的选法共有 16 种.（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1 女 2 男，有 C21C42= 12, 2 女 1 男，有 C22C41= 4根据分类计数原理可得，共有12+4= 16 种，二S6=-1X(1-26)1-2=-63,第52页（共 717 页）方法二，间接法： C63- C43= 20 - 4= 16 种，故答案为：16第53页(共 717 页)16.( 5 分)已知函数 f (x)= 2sinx+sin2x,贝 U f ( x)的最小值是【解答】解：由题意可得 T= 2n是 f(x)= 2sinx+sin2x 的一个周期,故只需考虑 f (x)= 2sinx+sin2x 在0 ,