方程的根与函数的零点

1、 第三章第三章 函数的应用函数的应用3.1.1 3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？2(0)y axbx c a20 (0)axbxca 00=0=0判别式判别式 = =b b2 24ac4ac方程方程axax2 2 +bx+c +bx+c=0(a0)=0(a0)的根的根函数函数y= axy= ax2 2 +bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的图象函数的图象函数的图象与与 x x 轴的交轴的交点点00( (x x1 1

2、,0),0)( (x x2 2,0),0)没有实根没有实根没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x x1 1 、x x2 2有两个相等有两个相等的实数根的实数根x x1 1 = x= x2 2( (x x1 1,0),0)-2-4-6-8-10-15-10-5x2x1h x 2-2 2-2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2?4?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-18?-30?-25?-20?-15?-10?-5?1结?论1.1.方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x x轴交点的轴交点的 个数。个数。2.2.方程的实数根就是函

3、数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的横轴交点的横 坐标。坐标。 对于函数对于函数y=f(x) y=f(x) 我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点（的零点（zero point)zero point)。结论结论：(1)函数的零点就是方程函数的零点就是方程f(x)=0f(x)=0的实数根，的实数根，(2)(2)也就是函数也就是函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的交点的横轴的交点的横坐标坐标. .(3)(3)确定确定函数函数y=f(x)y=f(x)的零点，就是求的零点，就是求方程方程f(x)=0f(x)

4、=0的实数根的实数根方程方程f(x)=0f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点函数函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象与与x x轴的交点的轴的交点的横坐标横坐标. .类型类型1 1 求函数的零点求函数的零点例例1 1 求下列函数的零点求下列函数的零点xxfxfxxxfxxfx32log1)()4(32)()3(32)()2(32)() 1 (23xX=-3或或x=1X=log23X=3函数零点的求法函数零点的求法:方法一方法一: 令令f(x)0，根据解方程，根据解方程f(x)0的根求得函的根求得函数的零点；数的零点；方法二方法二: 画出函数画出函数yf(x

5、)的图像，图像与的图像，图像与x轴的交轴的交点的横坐标即为函数的零点点的横坐标即为函数的零点类型二判断函数零点的个数类型二判断函数零点的个数1.方程法：方程法：若方程若方程f(x)0的解可求或能判断解的的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数或判定零点的个数2.图象法：图象法：由由f(x)g(x)h(x)0，得，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出在同一坐标系内作出y1g(x)和和y2h(x)的图象，的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数数例例2. 2. 函数f

6、(x)ln xx23的零点的个数是_例例3. 3. 已知函数f(x)则函数yf(x)x4的零点个数为()A1 B2 C3 D41,log1,331xxxx（1 1）观察二次函数）观察二次函数f(x)=xf(x)=x2 22x2x3 3的图象的图象: : 在在 2,12,1上，上，我们发现函我们发现函数数f(x)f(x)在区间（在区间（-2,1)-2,1)内有零内有零点点x x , ,有有f(f(2)2) 0 0, , f(1)f(1) 0 0。f(-2)f(-2)f(1) 0 f(1) 0 ( (填填 )。 在在2,42,4上，我们发现函数上，我们发现函数f(x)f(x)在区间（在区间（2,4

7、)2,4)内有零点内有零点x x ，有有f(2) 0,f(4) f(2) 0,f(4) f(2)f(2)f(4) 0 f(4) 0 （填（填 )。xy0132112123424-13（）观察下面函数的图象）观察下面函数的图象 0 0 （或）（或） 在区间在区间a,ba,b上上 ( (有有/ /无无) )零点零点；)(af)(bf 0 0 （或）（或） 在区间在区间b,cb,c上上 ( (有有/ /无无) )零点；零点； ( )f b( )f c 0 0 （或）（或） 在区间在区间c,dc,d上上 ( (有有/ /无无) )零点；零点； ( )f c( )f d由以上两步探索，由以上两步探索，你

8、可以得出什么你可以得出什么样的结论？样的结论？abcd?有有?有有?有有 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(a)f(b)0f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b) (a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)c(a,b)，使得使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根。的根。2.2.若若f(x)f(x)在（在（a,ba,b）内有零点，一定能得出）内有零点，一定能得出f(a)f(a

9、)f(b)0f(b)0吗？吗？1.1.若若f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,则则f(x)f(x)在（在（a,ba,b）内就有零点吗？）内就有零点吗？对函数零点存在性的判定要注意四点：对函数零点存在性的判定要注意四点：1.1.函数的图象既要在区间函数的图象既要在区间a,ba,b上连续，上连续， 又要在区间又要在区间a,ba,b端点处的函数值异号端点处的函数值异号, ,则存在零点。则存在零点。2.2.函数在区间函数在区间a,ba,b上连续，且存在零点，上连续，且存在零点， 在区间在区间a,ba,b端点的函数值可能异号也可能同号。端点的函数值可能异号也可能同号。3.3.函数函数f(x)f(x)

10、在在a,ba,b上是单调函数，上是单调函数， 如果如果f(a)f(b)0,f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么这个函数在区间，那么这个函数在区间(a,b)(a,b)上没有零点。上没有零点。4.4.只能用来判断函数零点的存在性，不能用来只能用来判断函数零点的存在性，不能用来 判断函数零点的个数。判断函数零点的个数。类型三判断函数的零点所在的大致区间类型三判断函数的零点所在的大致区间步骤步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：两端点函数值乘积的符号判断：两端点函数值乘积的符号(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，结论：若符

11、号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点该区间内至少有一个零点例例4.4.函数f(x)2x1x5的零点所在的区间为() A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 练习、判断下列函数在给定的区间上是否有零点 （1）?在区间?上 (2)?在区间?和?上( )3xf xex1,23( )35f xxx 0,11,21.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+)内的零点有1004个，则f(x)的零点个数为 个。的零点的个数是函数5)(xexf2.200912(1)函数函数f(

12、x)xln x的零点所在的区间为的零点所在的区间为()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(1，e)(2)已知已知f(x)xx3，xa，b，且，且f(a)f(b)0，则则f(x)0在在a，b内内()A至少有一个实根至少有一个实根 B至多有一个实根至多有一个实根C没有实根没有实根 D有唯一实根有唯一实根?BD展示题展示题目目展示人展示人达标达标1 15组组达标达标2 22组组达标达标3 37组组组组组组组组组组组组点评人点评人 点 评 本 组展示、点评要求展示、点评要求展示小组：展示小组：1.1.板书工整、规范板书工整、规范 2. 2. 面向同学，声音洪亮面向同学，声音洪亮， 思路清晰，语速适当，思路清晰，语速适当， 表达清楚，方法得当。表达清楚，方法得当。点评小组