圆的标准方程

1、 第二章第二章 平面解析几何初步平面解析几何初步2.3 2.3 圆的方程圆的方程2.3.1 2.3.1 圆的标准方程圆的标准方程奥运会五环奥运会五环圆形大理石圆形大理石圆形碟圆形碟圆形玉屏圆形玉屏奥运会五环奥运会五环圆形大理石圆形大理石圆形碟圆形碟圆形玉屏圆形玉屏问题提出问题提出在平面直角坐标系中，两点确定一在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和斜率也确定一条直条直线，一点和斜率也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？个圆呢？圆心和半径圆心和半径问题提出问题提出2.2.直线可以用一个方程表示，直线可以用一个方程表示， 圆也可以用一个方程来表示，圆也

2、可以用一个方程来表示， 怎样建立怎样建立圆的方程圆的方程是我们需要探究是我们需要探究的问题？的问题？ 二、知识应用：圆的标准方程二、知识应用：圆的标准方程 平面上到一个定点的距离等于定长的平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆点的轨迹叫做圆. . 思考思考1:1:圆可以看成是平面上的一条曲线圆可以看成是平面上的一条曲线, ,在平面几何中在平面几何中, ,圆是怎样定义的？圆是怎样定义的？A AM Mr r探究探究思考思考2 2: :设圆心坐标为设圆心坐标为A(a,b),A(a,b),圆半径为圆半径为r,r, M(x,y) M(x,y)为圆上任意一点为圆上任意一点, , 根据根据圆的定义圆

3、的定义， x,y x,y应满足什么等式关系？应满足什么等式关系？(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2A AM Mr rx xo oy yrbyax22)()(P=M|MA|=r.P=M|MA|=r.思考思考3:3:对于以点对于以点A(a,b)A(a,b)为圆心为圆心,r,r为半径的圆为半径的圆, ,由以上可知由以上可知, ,若点若点M(x,y)M(x,y)在圆上在圆上, ,则点则点M M的坐标满足方程的坐标满足方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 ；反之反之, ,若点若点M(x,y)M(x,y)的坐标适合方程的坐标适合方程

4、(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 , ,那么点那么点M M一定在这个圆上吗？一定在这个圆上吗？A AM Mr rx xo oy y222)()(rbyax圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r1.1.以以(a,b)(a,b)为圆心为圆心,r,r为半径的圆的标准方程为半径的圆的标准方程: :2.2.以以(0,0)(0,0)为圆心为圆心,r,r为半径的圆的标准方程为半径的圆的标准方程: :3. 3. 以原点以原点(0,0)(0,0)为圆心为圆心,1,1为半径的圆的标准方程为半径的圆的标准方程: : 222rbyax)()(222ryx122yx单位圆单位

5、圆例例1 下列方程对应的曲线是圆吗下列方程对应的曲线是圆吗?如果是如果是,说出它说出它的圆心坐标、半径以及轨迹的圆心坐标、半径以及轨迹.(1) ( x 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4.(2) ( x + 4 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 7.(3) x 2 + ( y + a ) 2 = r2(r0).圆心坐标圆心坐标半径半径轨轨 迹迹 是是 什什 么么(1)(2)(3)( 3 , 2 )(4 , 2 )( 0 , a )27以以(3, 2)为圆心为圆心, 2为半径的圆为半径的圆以以(4, 2)为圆心为圆心, 为半径的圆为半径的圆7r以以(0,a)为圆心为圆心, 为半径的

6、圆为半径的圆r( (口答口答) ) 求圆的圆心及半径求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1练习练习Xy0+2-2C(0、0) r=2XY0-1C(-1、0) r=1(1) x2+y2=9(2) (x+3)2+(y-4)2=55(3)(3)圆心在（圆心在（-1,2-1,2）, ,与与y y轴相切轴相切. .XY0c-1C(-1、2) r=1(x+1)2+(y-2)2=1(x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)2+(y+2)2=4202XY-2-2y=x(4)(4)圆心在直线圆心在直线y=xy=x上上, ,与两轴同时与两轴同时相切相切, ,半径为半径为2.2

7、.XY0C（8、3）P（5、1）(5)(5)已知圆经过已知圆经过P(5P(5、1),1),圆心圆心在在C(8C(8、3),3),求圆方程求圆方程. .(x-8)2+(y-3)2=13XC(1、3)3x-4y-6=0Y0(6)(6)求以求以C(1C(1、3 3）为圆心，）为圆心，并和直线并和直线3x-4y-6=03x-4y-6=0相切相切的圆的方程的圆的方程. .(7)(7)已知两点已知两点A(4A(4、9)9)、B(6B(6、3), 3), 求求以以ABAB为直径的圆的方程为直径的圆的方程. .提示提示: :设圆方程为设圆方程为:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=

8、r2 2A(4、9)B(6、3)X0Y待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：222)()(rbyax因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy 所求圆的方程为所求圆的方程为 (8) ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程.xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 例例3.己知圆心为己知圆心为C的圆经过点的圆

9、经过点A(1,1)和和B(2,-2),且圆心在直线且圆心在直线L :x-y+1=0上上,求求此圆的标准方程此圆的标准方程.圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分线直平分线例例3.己知圆心为己知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,-2),且圆心在直线且圆心在直线l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C的圆的圆的标准方程的标准方程.(1)(1)圆的标准方程的结构特点圆的标准方程的结构特点. .(2)(2)求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 直接代入法直接代入法