2020年新课标版高考理数一轮复习：9.1直线方程与圆的方程

1、专题九平面解析几何 【真题典例】 O核心考点核心考点 商同的踊那舟秤9儿何桂寵. 2道线Fj椭例的位置光系 丄直螳舛率公式坷立倉方程. 储备知识储备知识 Lfl线料寧： 1 -Ion ifJE. X J 工粗q累数艾駅届星症瑾上陆的打程 fF；+/ji +iT b“ Qlj的 S權/.* 刖为片 1 巧 F 则 计% 1 c u -r ir 12 Ct * 补电卿斜率上和为IL 黒路分析黒路分析 1.先求帕亞坐标.引用点斜式可出脱 W的f用， 2除立直如与方程.利用根勺系數 I的黑爲疗冀出国即可得汇 易易错警示 过口0舶:&就有两种徙沐： i.ibi), n抻崛辜不存在的m. 4 2.

2、ftiW+i.耐Si悼和申対零的情肚 方法归纳 1韵s立谨方程的方曲(X公式法驷定察 工证期神常世寿此比为讥期曲直红侦斜角互 ，爪连而转化为证期阳iM料华之和为事 规禅总结 I 一设个曲的两曲所在H纯甘別为酪 j 林分刑加伺1則声手對删I卑 坐标轴爭祎的加戈对称U,4L 2.已知. njffiric：十十计gw” 内-点.：叽0畑珈伪暑it -点.过财 曲跑交n厲于1.晒民 如| 听叭.若、If- Z. fiA W,则 F?im 技巧点抜技巧点抜 血 川啟1“J卫不具库M+崔拦 赴把同團转忧为開怛之和.坤段止秩的书 式，利用根与慕数的畫灌解决. 解答过程解答过程 4赛塞见P344. 9.1 直

3、线方程与圆的方程 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 1.直线 方程 在平面直角坐标系中，结 合具体图形，确定直线的几 何要素;理解直线的倾斜 角和斜率的概念，掌握过两 2015 课标 I ,20,12 分 直线方程 抛物线的 几何性质 焜018谏标I.他12分丨设fiH叱:;r 二1刚右伍点为八 过F的直綴与胶于沖RR点.点膊的4标为Z 0). 唏虫轴垂白时.求也线4対的方松 设“为芈标廂点证明：/wt=row, 1 点的直线斜率的计算公式； 掌握确定直线位置的几 何要素，掌握直线方程的几 种形式（点斜式、两点式及 一般式）,了解斜截式与一

4、次函数的关系 2.圆的 方程 掌握圆的几何要素； 掌握圆的标准方程与一 般方程 2018 课标 II ,19,12 分 直线方程与圆的方 程 抛物线的几何性质 2017 课标川,20,12 分 直线方程与圆的方 程 两直线垂直与 其斜率的关系 2016 课标 I ,4,5 分 圆的方程 点到直线距离公式 2015 课标 1,14,5 分 圆的方程 椭圆的几何性质 分析解读 从近 5 年高考情况来看，对本节主要考查直线方程和圆的方程的求法 ，常以选择题、填空题的形 式出现，难度中等，解答时应充分利用分类讨论、数形结合的思想 在解决有关圆的问题时应充分利用圆的几 何性质简化运算 破考点 【考点集训

5、】 考点一直线方程 1. （2017 吉林梅河口校级二模，4）已知角a是第二象限角,直线 2x+ytan a +1=0 的斜率为-, 则 COS a等于（ ） A.- B.一 C. 一 D. 答案 D 2. （2018 江西九江月考,5）经过点 A（1,2）且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程 为（） A. y=2x 或 x-y+1=0 B. y=2x 或 x+y-3=0 C. x+y-3=0 或 x-y+1=0 D. y=2x 或 x+y-3=0 或 x-y+1=0 答案 D 考点二圆的方程 1. (2018 广东珠海四校 4 月联考，8)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-

6、4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的标准方程为( ) 2 2 2 2 A.(x+1) +(y-1) =2 B.(x-1) +(y+1) =2 2 2 2 2 C.(x-1) +(y-1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2 答案 B 2.(2017 河南豫北名校 4 月联考,4)与圆(x-2) 2 2 +y =4 关于直线 y=x 对称的圆的方程是( )2 2 A.(x- ) +(y-1) =4 2 B.(x- ) +(y- 一)2=4 2 2 C.x +(y-2) =4 2 2 D.(x-1) +(y- ) =4 答案 D 3. (2018 甘肃兰州模拟,7)已知点

7、 A 是直角三角形 ABC 的直角顶点，且 A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2), 则厶 ABC 的外接圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.x +(y-3) =5 B.x +(y+3) =5 2 2 2 2 C.(x-3) +y =5 D.(x+3) +y =5 答案 D炼技法 【方法集训】 方法1 直线的倾斜角与斜率的求解方法 1. （2018 陕西延安期中，5）直线 a2x-b2y=1（其中 a,b R,且 ab#）的倾斜角的取值范围为 （ ） A. - B.- C. D.- 答案 A 2. （2018 湖北黄冈模拟,4）直线 x-ysin 0 +1=0 的倾斜角的取值范围

8、是（ ） A. B. - U C. - D. - - U - 答案 A 3. （2017 河南豫南九校联考，5）若0是直线 l 的倾斜角，且 sin 0 +cos 0 =,则 I的斜率为 （ ） A.- B.- -或 -2 C.-或 2 D.-2 答案 D 方法2 解与圆有关的最值问题的方法 1. （2017 湖南长沙二模,5）圆 x2+y2-2x-2y+仁 0 上的点到直线 x-y=2 距离的最大值是（ ） A.1 + B.2 C.1 + - D.2+2 答案 A 2. (2018 河南洛阳期末)已知正数 x,y 满足 x2+y2=1,则一 x+y 的取值范围是( ) A.(1, 一 B.(

9、1,2 C.( 一,2 D.(2,2 一) 答案 B 3. (2018 福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家 亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究 表作圆锥曲线一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 A B 的距离之比为 入(入0,入鬥)，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点 M 与两定点 A- 、B(5,0)的距离之比为-时的阿波罗尼斯圆为 x2+y2=9.下面，我们来研究与此相关的一 个问题 :已知圆 O:x2+y2=1 上的动点 M 和定点 A - ,已知点 B(1,1),则 2|MA|+|MB|的最小值 为( ) A. B. 一 C. D.- 答案

10、C 过专题 【五年高考】 A组统一命题课标卷题组 考点一直线方程 (2015 课标I ,20,12 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C:y=与直线 l:y=kx+a(a0) 交于 M,N 两点. (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时，总有/ OPMd OPN 说明理由. 解析 (1)由题设可得 M(2 _,a),N(-2 _,a)或 M(-2 _,a),N(2 _,a). 又y=-,故 y=在 x=2 一处的导数值为 ,C 在点(2 ,a)处的切线方程为 y-a= _(x-2 一)， ,与欧几里得、阿基米德被称为 ,

11、主要研究成果集中在他的代 ,指的是：已知动点 M 与两定点 即 x-y-a=O. y=在 x=-2 -处的导数值为-,C 在点(-2 _,a)处的切线方程为 y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=O. 故所求切线方程为 x-y-a=O 和_x+y+a=0.(5 分) (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(O,b)为符合题意的点,M(xi,y,N(x 2,y 2),直线 PM,PN 的斜率分别为 ki,k 2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0. 故 xi+X2=4k,x iX2=-4a. 从而 ki+k2=+= - - - = -. 当 b=-a 时，有

12、k 计 k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故/ OPMN OPN 所以点 P(0,-a)符合题意.(12 分) 疑难突破 要使/ OPMNOPN 只需直线 PM 与直线 PN 的斜率互为相反数. 考点二圆的方程 2 2 1. (2016 课标n ,4,5 分)圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-仁 0 的距离为 1,则 a=( ) A.- - B.- - C. 一 D.2 答案 A 2. (2015 课标 I ,14,5 分)一个圆经过椭圆 一+=1 的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则 该圆的标准方程为 _ . 答案 -_ +y2=-

13、3. (2018 课标n ,19,12 分)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=8. (1)求 I的方程； (2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解析 由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0), 设 A(xi,y i),B(x 2,y 2). 由 - 得 k2x2-(2k 2+4)x+k 2=0. 2 =16k +160,故 xi+X2= - . 所以 |AB|=|AF|+|BF|=(x i + 1)+(x 2+1)=. 由题设知 - =8,解得 k=-1(舍去),或 k=

14、1, 因此 I的方程为 y=x-1. 由 得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x o,y 0),贝 U - 解得 或 2 2 2 2 因此所求圆的方程为 (x-3) +(y-2) =16 或(x-11) +(y+6) =144. 方法总结有关抛物线的焦点弦问题，常用抛物线的定义进行转化求解，在求解过程中应注 重利用根与系数的关系进行整体运算 一般地，求直线和圆的方程时，利用待定系数法求解 2 4. (2017 课标川,20,12 分)已知抛物线 C:y =2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A

15、,B 两点，圆 M 是 以线段 AB 为直径的圆. (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； 设圆 M 过点 P(4,-2), 求直线 l 与圆 M 的方程. 解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 设 A(X1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2. _ 2 可得 y -2my-4=0,贝V y1y2=-4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为一一匚=-1,所以 OM OB. 故坐标原点 O 在圆 M 上. (2)由(1)可得 yi+y2=2m,xi+X2=m(yi+y2)+4=2m+4. 2 故圆心 M 的坐标为(m +2,m), 圆 M 的半径 r= . 由于圆

16、M 过点 P(4,-2),因此 -=0,故(X I-4)(X 2-4)+(y i+2)(y 2+2)=0, 即 XIX2-4(X i+X2)+y iy2+2(y i+y2)+20=0. 由(1)可得 yiy2=-4,x 1X2=4. 所以 2ni-m-仁 0,解得 m=1 或 m=-_. 当 m=1 时,直线 I的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 ，圆 M 的方程为 2 2 (x-3) +(y-1) =10. 当 m=_时，直线 I的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为-，圆 M 的半径为一,圆 M 的方程 为 + =. 解后反思 直线与圆锥曲线相

17、交问题，常联立方程，消元得到一个一元二次方程，然后利用根 与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程 ，也可以用该线段的两端点坐标 (x 1,y 1)、 (x 2 ,y 2)表示:(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. B组自主命题省(区、市)卷题组 1. (2014 陕西,12,5 分)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称，则圆 C 的标 准方程为 _ . 又 X1=,X 2= ,故 =4. 2 2 答案 x+(y-1) =1 2. (2016 江苏,18,16 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M:x +

18、y -12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4). (1)设圆 N 与 x轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程； (2) 设平行于 0A 的直线 I与圆 M 相交于 B,C 两点,且 BC=OA 求直线 I的方程； 设点 T(t,O)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 + =,求实数 t 的取值范围 2 2 解析 圆 M 的标准方程为(x-6) +(y-7) =25,所以圆心 M(6,7),半径为 5. (1)由圆心 N 在直线 x=6 上,可设 N(6,yo). 因为圆 N 与 x轴相切，与圆 M 外切， 所以 Oyo7, 于是圆 N

19、 的半径为 yo, 从而 7-y 0=5+y0,解得 y0=1. 因此，圆 N 的标准方程为(x-6) 2+(y-1) 2=1. 因为直线 I / OA 所以直线 l 的斜率为一=2. 设直线 I的方程为 y=2x+m,即 2x-y+m=0, 则圆心 M 到直线 l 的距离 d= - =. 因为 BC=OA= =2 _,而 MC=d2+ , 所以 25= - +5, 解得 m=5 或 m=-15. 故直线 I的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. 设 P(xi,y i),Q(x 2,y 2). 因为 A(2,4),T(t,0), + =, 所以 - 因为点 Q 在圆 M 上,所以

20、(x 2-6) 2+(y 2-7) 2=25. 2 2 将代入，得(x i-t-4) +(y 1-3) =25. 于是点 P(xi,y 1)既在圆 M 上，又在圆x-(t+4) +(y-3) =25 上, 从而圆(x-6) 2+(y-7) 2=25 与圆x-(t+4) 2+(y-3) 2=25 有公共点, 所以 5-5 0,r0),则有 所以圆 M 的方程为(x-4) 2+y2=16. (2)由题意知/ AOB=, 设直线 OA 的斜率为 k(k老)，则直线 OB 的斜率为-，直线 OA 的方程为 y=kx, 直线 OB 的方程为 y=-x. 由 得(1+k 2)x 2-8x=0, 解得 或 则点 A 的坐标为 - . 同理可得点 B 的坐