勾股定理难题-提高

1、得分评卷人一、选择题7 / 161 .下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 4, 5, 6 B . 3, 4, 5 C . 2, 3, 4 D . 1, 2, 32 .给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为 3和4,则第三边长为5;22. 2三角形的三边 a、b、c满足a c b ,则/ C=90° ;ABC中，若/ A: / B： /C=1: 5:6,则 ABC是直角三角形；ABC中，若a :b:c=1:2:J3,则这个三角形是直角三角形.其中，假命题的个数为（）A. 1个 B . 2个 C .3个 D .4个3 .如图，如果把 ABC勺顶点A先向下平移3格，再

2、向左平移1格到达A'点，连接A B, 则线段A' B与线段AC的关系是（）如果三角形三个内角的比是1 ： 2 ： 3,那么这个三角形是直角三角形;如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形;若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形;如果/ A=Z B/ C,那公' ABC是直角三角形若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形;在 ABC中，若/ A+ / B=Z C,则此三角形是直角三角形。A 3 个 B 4个 C 5个 D 6 个卜列各组数中,是勾股数的是6.()MNL AC于 N点，则

3、MN=()A. 14, 36, 39B. 8, 24, 25C. 8, 15, 17D. 10, 20, 267. （2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高4米，两机目距8米, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米8.如图，四边形 ABCD43, AB=AD AD/ BC /ABC=60 , / BCD=30 , BC=6,那么 ACDA.串 B ,等 C - 2p D . 973第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明MNMN(1)如图，过点A在 ABC外作直线 MN BML MN于M,

4、CNL MNT N.判断线段BM CN之间有何数量关系，并证明；若AM刃，BM巾，AB=c,试利用图验证勾股定理 a2 b2 = c2;(2)如图，过点 A在4ABC内作直线 MN BMh MN于M, CNL MN于N,判断线段 (直接写出答案)10 . (6分)小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1,将Rt ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE(1)如果AC= 6cm, BC= 8cm,可求得 ACD勺周长为;(2)如果/ CAD:/ BAD=4:7,可求得/ B的度数为 ;操作二：如图2,小王拿出另一张 RtABC纸片，将直角边 AC沿直线AD

5、折叠， 使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，若 AC= 9cm, BC= 12cm,请求出 CD的长.11 .如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC= 5cm, BC= 12cm,现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它恰女?落在斜边 AB上，且与AE重合，求CD的长.12 .如图，学校 B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB, BC两条路可到达公路,经测量 BC= 6km, BA= 8km, AC= 10km,现需修建一条路使学校到公路距离最短，请 你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长.BC13 .如图，4ABC中，/ACB= 90°, AC= 9, BC= 12,求 RtA

6、ABC中斜边 AB上的高 CD.A DB, 一 ， .1 一 114 .阅读理解题： 如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，且 ADBC.2求证：/ BAC=9015 .如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是 a、b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.16 .课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图.(1)求证： AD隼 CEEB(2)从三角板的刻度可知AC=25crm请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块醇的厚度相等).17 .

7、（10 分）如图，在 ABC 中，AB= 13, BC= 10, BC 边上的中线 AD= 12. AB D C(1) AD平分/ BAC吗？请说明理由.(2)求： ABC的面积.评卷人得分四、填空题18 .直角三角形两边长分别为 3厘米、4厘米，则第三边的长为 。19 .一个直角三角形的两边长分别为9和40,则第三边长的平方是 .20 .若一个直角三角形的两边的长分别为m、n ,且满足Jm 3 n 4 0,则第三边的长为三角形21 .已知|x 6 y 8 (z 10)20，则由此x,y,z为三边的三角形是22 . ABC的三边长分别为 m2- 1, 2m, m2+1,则最大角为 .23 .在

8、长方形纸片 ABCM, AD= 3cm, AB= 9cm,按如图方式折叠， 使点B与点D重合, 折痕为EF,则DE=.24 .如图，在 RtABC中，/ ABC是直角，AB=3 BC=4 P是BC边上的动点，设 BP=x, 若能在AC边上找到一点 Q使/ BQP=90 ,则x的取值范围是 .25 .如图，OP= 1,过 P 作 PBLOP且 PR= 1,得 OP J2 ；再过 Pi 作 PiP2,OP 且PlP2= 1 ,得OP2 J3 ;又过P2作P2P3LOF2且P2P3= 1 ,得OP3=2依此法继续作下 去,得 OF2012 =.五、计算题参考答案1 . B.【解析】试题分析：A. 4

9、2+52*6 2,不能构成直角三角形，故不符合题意；B. 32+42=52,能构成直角三角形，故符合题意；C. 22+32W4 2,不能构成直角三角形，故不符合题意；D. 12+22W3 2,不能构成直角三角形，故不符合题意.故选B.考点：勾股数.2. B【解析】试题分析：命题中若 4是直角边，则第三边长为 5,若4为斜边，则第三边长为 J7 ,故错误；命题中应该是/ B=90。，故错误；命题、土正确；故假命题有2个；故选B.考点：真命题与假命题.3. D【解析】试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾月定理结合网格结构即可判断线段A' B与线段AC的关系：如图，将点A先向下平移3格，再

10、向左平移1格到达A'点，连接A B,与线段AC交于点 O. A' O=OB=/2 , AO=OC=22 ,.线段A' B与线段AC互相平分，又. / AOA =45° +45° =90° ,. .A' B± AC.线段A' B与线段AC互相垂直平分.故选D.考点：1.网格问题；2.平移的性质；3.勾股定理.4. D.【解析】试题分析：二.三角形三个内角的比是1: 2: 3,，设三角形的三个内角分别为x, 2x, 3x,. x+2x+3x=180° ,解得 x=30° ,.-3x=3X30

11、6; =90° ,1 / 16.此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180° ,，若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形， 故本小题正确； 直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；，1 ，一. / A=Z B=-Z C, 2，设/ A=Z B=x,则/ C=2x,，x+x+2x=180 ,解得 x=45 , .2x=2X45° =90° ,，此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等

12、于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，三角形一个内角也等于另外两个内角的和，这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ,故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ，有一个内角一定是 90° ,故这个三角形是直角三角形，故本小题正确.故选D.考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质.5. C.【解析】试题分析：连接 AMBMC. AB

13、=AC点M为BC中点， .AM!CM BM=CM AB=AC=5 BC=qBM=CM=3在 RtAABM, AB=5, BM=3根据勾股定理得： AM=/AB2_BM2 V52 33 4,八 1.1 八八MN=AM ?CM125又 S；Aamc= MN?AC=AM?MCAC故选C.考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.6. C【解析】满足 a2+b2=c2的三个正整数 a, b, c是勾股数，因为 82+152 = 289, 172=289, 所以82+ 152= 172,即8、15、17为勾股数.同理可判断其余三组数均不是勾股数.7. B【解析】如图，设大树高为AB=10米，小树高为 C

14、A 4米，过C点作CH AB于E,则四边形 EBDC 是矩形.连接 AC,贝 U EB= CD= 4 米，EC= 8 米，AE= AB-EB= 10-4= 6 （米）.在 r9aec中，ac Jae2Ec2 10米.E-i C闻|D8. A. 【解析】试题分析：如图，过点 A作AE! BC于E,过点D作DF, BC于F.设 AB=AD=x又 AD/ BC四边形AEFD是矩形形，AD=EF=x在 RtABE中，/ABC=60 ,则/ BAE=30 ,1 1BE=-AB=- x,2 2DF=AE=/AB2_BE2 = x, 2在 RtCDF中，/ FCD=30 ,贝U CF=DF?cot30 =

15、-x.2又 BC=6,BE+EF+CF=6 即 1 x+x+ 3x=6, 22解得x=2. ACD的面积是： 1 AD?DF=1xX 3-x=-3 X 2 2= 73 .故选A.考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.9. （1）证明见解析；（2） MN=BM-CN.3 / 16【解析】(BM+CN x MN=1 (a+b) 2,2试题分析：（1）利用已知得出/ MAB= ACN进而彳#出 MA里ANCA进而彳#出 BM=AN AM=CN即可得出线段MN BM CN之间的数量关系；利用S 梯形 mbc=Sama+Saabc+Sx nc= ab+ C + ab , S 梯形 MBC= 进而

16、得出答案;(2)利用已知得出/ MAB= ACN进而彳#出 MA望 NCA进而得出 BM=AN AM=CN即可 得出线段MN BM CN之间的数量关系.试题解析：(1)MN=BM+CN理由： / MAB它 NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , ./ MABh ACN在 MAB NCA 中BMA ANCMAB NCA,AB AC.MA军 NCA ( AAS ,BM=AN AM=CN MN=AM+AN=BM+CN由知 MA望 NCACN=AM=a AN=BM=b AC=BC=cMN=a+b''' S 梯形 mbc=Samab+Sabc+Sanc= ab+ c?

17、+ ab, S 梯形 mbc= (BM+CN x MN=1 (a+b) 2,222221 ab+1 c2+1 ab=1 (a+b) 2,2 2222. - a +b2=C2；(2) MN=BM-CN理由： / MAB它 NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , ./ MABh ACN在 MAB NCA 中BMA ANCMAB NCA,AB AC.MA军 NCA(AAS ,BM=AN AM=CN MN=AN-AM=BM-C N考点：全等三角形的判定与性质.10.操作一(1) 14cm(2) 35 ° 操作二 CD=4 . 5【解析】试题分析：操作一利用又称找准相等的量：BD=

18、AD ZBAD=/ B,然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；操作二利用折叠找着 AC=AE利用勾股定理列式求出AB,设CD=x,表示出BD, AE,在Rt BDE中，利用勾股定理可得答案试题解析：操作一(1) 14cm(2) 35 °操作二 由折叠知：AE=AC=9 DEI AB,设 CD=DE=X 则 BD=12-X, ABAC2BC2 =81 + 144=225, . AB=15 BE=15-9=6,又 BD2DPBE2,22 .(12 x) =x +36,X-9X,2即 CD=45cm考点：轴对称，线段的垂直平分线1011. CD的长为3 cm.【解析】试题分析：利用翻

19、折变换的性质得出DE=CD AC=AE=5cm / DEB=90 ,进而利用勾股定理得出x的值.试题解析： 有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm BC=12cmAB=13cm将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，DE=CD AC=AE=5cm / DEB=90 ,设 CD=xcm 贝U BD= (12 x) cm,故 D+BE2=BC5,即 x2+ (13- 5) 2= (12- x) 2,10解得：x=,310则CD的长为10 cm.3考点：勾股定理12. 4.8km.【解析】解：过 B作AC的垂线，垂足为 D,线段BD就是要修的路.在 ABC中，. AB2+B

20、G= 82 + 62= 100,而 AC2= 102= 100,11.AB2+BC2=AC2,即 ABC是直角二角形，且/ ABC= 90 .由一ABgBC ACgBD ,22得 BD ABgBC 68 4.8 (km),AC 10即所修路长为4.8km .5 / 1613.36【解析】解：在 R9ABC中，AB TaC"_BC2 J92 122 15.11由三角形的面积公式得 一ACgBC -ABgCD , 22ACgBC 9 12 36-CD ?AB 155即斜边AB上的高CD是36. 514. （ 1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直1角二

21、角形.（2）出。 2【解析】试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可.试题解析：（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角 形是直角三角形。（2）因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角 形。设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b,则a+b=1 + J3根据勾股定理，得a2+b2=22a2+b2=4因为（a+b） 2= a 2+b2+2ab即（1 +J3）2=4+2ab所以ab 311ab ,322所以这个三角形的面积为1 32考点：直角三角形斜边上的中线.15. （1）（答案不唯一）如图.(2)验证：二,大正方形的

22、面积可表示为(a+b)2,21又大正方形的面积也可表不为c 4 ab ,2221(a b) c 4 ab , 2即 a2+b2+2ab= c2 + 2ab.a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【解析】(1)(答案不唯一)如图.(2)验证：二,大正方形的面积可表示为(a+b)2,1又大正方形的面积也可表不为c 4 ab ,2221(a b) c 4 - ab ,2即 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.16. (1)证明见解析；(2)砌墙砖块的厚度 a为5cm【解析】试题分析：(1)根据

23、题意可知 AC=BC /ACB=90 , AD)± DE, B已DE,进而彳#到/ ADCWCEB=90 ,再根据等角的余角相等可得/BCE=/ DAC从而得到结论；(2)根据题意得：AD=4a, BE=3a,根据全等可得 DC=BE=3a由勾股定理可得(4a) 2+(3a) 2=252,再解即可.试题解析：(1)根据题意得：AC=BC /ACB=90 , AD! DE, BEX DE / ADCh CEB=90 , / ACD吆 BCE=90 , / ACD廿 DAC=90 , ./ BCE=/ DAC在 AD的 CEB中，ADC CEBDAC BCE ,AC BC7 / 16.

24、AD竽 CEB ( AAS ;(2)由题意得：AD=4q BE=3a,由(1)得： ADe ACEBDC=BE=3a在 RtAACD: AD2+CD=AC2,( 4a) 2+ (3a) 2=252, a>0,解得a=5,答：砌墙砖块的厚度 a为5cm.考点1.:全等三角形的应用 2.勾股定理的应用.17. (1)平分，理由详见解析；(2) 60【解析】试题分析：(1) AD平分/ BAC理由为：.BC边上的中线ADBD=5.在 ABC中,AB=13, AD=12, BD=5.1- 252=242+72,即：AB=AE2+BD/ ADB=90 ,即 AD± BC,AD垂直平分BC

25、AB=AC AD平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BCBC AD. Sa abc=2=60.考点:1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法18. 5cm 或6 cm.【解析】试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析.试题解析：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；(2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为J7cm；故直角三角形的第三边应该为5cm或J7 cm.考点：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】设第三边为 x(1)若40是直角边，则第三边 x是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2,所以x2=1681.(2)若40是斜边，则第三边 x为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402,所以x2=1519.所以第三边的长为 1681或1519.20. 5或方.【解析】试题分析：: y/m3 n 40, 1- m- 3=0, n-4=0,，m=3 n=4