相似三角形中的动态几何问题

1、相似三角形中的动态几何问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题动态几何。动态几何问题是近年来各地中考的热点和难点，通常以压轴题形式出现在中考数学试卷中，分值占总分的10%左右。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，把相关的线段用含有时间t （或其他字母）的代数式表示出来，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。例 1：如图，在RtABC中， C90°， AC 20 cm ， BC 15 cm。动点 P 以 4 cm / s 的速度

2、从A 点出发，沿AC向点 C移动；同时，动点Q以2 cm / s 的速度从C 点出发，沿CB向点B 移动。当其中有一点到达终点时，它们都停止移动。设移动的时间为t 秒。当t3 秒时，P，Q两点之间的距离是多少？求 CPQ的面积 S （ cm2 ）与时间 t （ s）的函数关系式，并直接写出t 的取值范围； t 为何值时，以点 C、 P、 Q为顶点的三角形与与 ABC相似？练习1.1 ：如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0,6)、点B(8,0)，动点P 从点A 开始在线段AO上以每秒1 个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B 开始在线段BA上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动，当其中

3、一个点到达终点时，另一个点也随之停止。设点P、 Q移动的时间为t 秒。求直线 AB 的解析式；当 t 为何值时，以A、 P、 Q为顶点的三角形与 AOB 相似？求 APQ的面积 S （用含 t 的代数式表示） 。练习 1.2 ： (2017 江苏苏州， 28) 如图，点 O为矩形 ABCD的对称中心， AB10cm ， BC12 cm 。点 E， F， G分别从 A，B， C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1 cm / s ，点 F 的运动速度为3 cm / s ，点G的运动速度为1.5 cm / s。当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C重合）时，三个点随

4、之停止运动。在运动过程中，EBF关于直线 EF 的对称图形是 EB'F，设点 E，F， G运动的时间为 t （单位： s）。当 ts 时，四边形 EBFB'为正方形；若以点 E， B， F 为顶点的三角形与以点F，C， G为顶点的三角形相似，求 t的值；是否存在实数t ，使得点 B' 与点 O重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。例 2：如图，在梯形 ABCD中， AD BC， AD 3， DC 5，BC 10，梯形的高为个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD以每秒有一点到达终点时，它们都停止移动。设运动的时间为 （秒）。

5、 t4。动点 M从 B 点出发沿线段BC以每秒 21 个单位长度的速度向终点D 运动，当其中求 B 的度数以及AB的长；当 MN AB 时，求 t 的值；试探究： t 为何值时， MNC为直角三角形？练习 2.1：如图，在梯形ABCD中， AD BC， AD 3， DC 5， AB 42 ， B 45°。动点M从 B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点时， M点随之停止运动。设运动的时间为N同时从t 秒，C点出发沿线段CD以每秒 1个单位长度的速度向终点D运动，当N点到达D点求 BC的长；试探究： t 为何值时，MNC为等腰三角形？练习 2.2 ：如图，在 R

6、t ABC中， C 90°， AB 50， AC 30， D， E，F 分别是 AC，AB， BC的中点。点 P 从点 D 出发沿折线 DE-EF-FC-CD以每秒 7 个单位长的速度匀速运动； 点 Q从点 B 出发沿 BA方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q作射线 QK AB，交折线 BC-CA于点 G。点 P，Q同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D 时停止运动，点 Q也随之停止。设点 P， Q运动的时间是 t 秒（ t 0 ）。 D，F 两点间的距离是射线 QK能否把四边形_；CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；当点P 运动到折线EF

7、-FC 上，且点P 又恰好落在射线QK上时，求t 的值；连接PG，当PG AB 时，请直接写出t 的值。例 3：如图所示，在 ABC中， BA BC 20 cm，AC 30 cm ，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4 cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q从 C点出发， 沿 CA以每秒 3 cm 的速度向 A 点运动， 当其中有一点到达终点时，另一点也停止移动。设运动时间为 x 。当 x 为何值时， PQBC？S BCQ1，求S BPQ的值；当S ABC3S ABC APQ能否与 CQB相似？若能，求出 AP的长；若不能，请说明理由。练习3：如图，在梯形ABCD中， ADBC， A

8、D6 cm， CD 4 cm ， BC BD 10 cm ，点P 由B 出发沿BD方向匀速运动，速度为1 AD6 cm / s；同时，线段EF 由 DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm / s，交BD于Q，连接PE。当其中有一点到达终点时，另一点也停止移动。若设运动时间为t （ s ）（ 0t5）。当t 为何值时，PEAB？设 PEQ的面积为y （ cm2 ），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使2？S PEQSBCD25例 4：如图，已知ABC是边长为6 cm 的等边三角形，动点P、 Q同时从A、 B 两点出发，分别沿AB、 BC匀速运动，其中点P 运动的速度是1

9、cm / s，点Q运动的速度是2 cm / s ，当点Q到达点C 时， P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（ s ），解答下列问题：当 t 2 时，判断 BPQ的形状，并说明理由；设 BPQ的面积为 S （ cm2 ），求 S 与 t 的函数关系式；作 QR BA 交 AC于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APR PRQ？练习4：在 ABC中， BAC 90°，ABAC，M是BC边的中点，MN BC交AC于点N，动点P 在线段BA上以每秒3 cm的速度由点B 向点A 运动。同时，动点Q在线段AC上由点N 向点C运动，且始终保持MQ MP。一个点到终点时，两个点同时停止运动。设

10、运动时间为t 秒 ( t0 ) 。 PBM与 QNM相似吗？请说明理由；若 ABC 60°， AB 43 cm 。(1) 求动点 Q的运动速度；(2) 设 APQ的面积为 S （ cm2 ），求 S 与 t 的函数关系式（不必写出t 的取值范围） ；探求 BP2、 PQ2、CQ2 三者之间的数量关系，请说明理由。例 5：如图，在直角梯形COAB中，OC AB，以 O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别为A(8,0) 、A(8,10) 、C (0, 4)，点D 为线段BC的中点，动点P 从点O出发，以每秒1 个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为 t 秒。求

11、直线BC的解析式；若动点P 在线段OA上移动，当t 为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的2 ？7动点P 从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD的面积为S ，请直接写出S 与 t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；当动点 P 在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由。练习 5：在 Rt ABC中， C90°， AC 3，AB 5。点 P 从点 C出发沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿AC返回；点 Q从点 A出发沿 AB以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动。伴随着P、Q的运动， DE保持垂直平分PQ，且交 PQ于点 D，交折线 QB BC CP于点 E。点 P、 Q同时出发，当点 Q到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止。设点