相似三角形综合题锦含答案

1、一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 RtABC中，/ACB=90°, AC=3, BC=4,过点 B作射线BB1/AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以 每秒5个单位的速度运动，同时动点 E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHLAB于H, 过点E作EH AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接 DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时 DE的长度； (2)当4DEG与4ACB相似时，求t的值.点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点 运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速 度向A点运动，当P点到达B点时

2、，Q点随之停止运 动.设运动的时间为 x.(1)当x为何值时，PQ/ BC?(2) 4APQ与4CQB能否相似？若能，求出AP的长； 若不能说明理由.20 / 152.如图，在 4ABC中，/ABC= 90°, AB=6m, BC=8m,动 点P以2m/s的速度从A点出发，沿 AC向点C移动.同 时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移 动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移 动的时间为t秒.(1) 当t=2.5s时，求4CPQ的面积；求4CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数 解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当 4CPQ为等腰三角形时， 求出

3、t的值.5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm, BC=6cm,点 P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如 果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(0Vt v 6)。(1)当t为何值时，4QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形 与 ABC相似？4.如图所示，在 ABC中,BA= bc= 20cm, AC= 30cm,3.如图 1,在 RtABC 中，Z ACB= 90°, AC= 6, BC= 8, 点D在边AB上运动，DE平分/CDB交边BC于点E, EMXBD,

4、垂足为 M, ENI± CD,垂足为 N.(1)当 AD=CD 时，求证：DE/ AC;(2)探究：AD为何值时，4BME与ACNE相似？二、构造相似辅助线一一双垂直模型6 .在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2, 1), 正比例函数y=kx的图象与线段 OA的夹角是45°,求 这个正比例函数的表达式.7 .在 ABC 中，AB=/, AC=4, BC=2 以 AB 为边在C点的异侧作ABD,使 ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.11.如图：4ABC中，D 是 AB上一点，AD=AC, BC边 上的中线AE交CD于F。8.在 4ABC 中，AC=BQ12.四边

5、形ABCD中，AC为AB AD的比例中项，且 AC平分/DAB。/ ACB=90，。点M是AC上的一点，点 N是BC上的一点， 沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点.求 证：MC: NC=AP PB.10.已知，如图，直线 y=- 2x + 2与坐标轴交于 A、B两 点.以AB为短边在第一象限究结论，请你猜想用 给出证明.a、b和k表示EF的一般结论，并9.如图，在直角坐标系中， 矩形ABCO的边OA在x轴上， 边OC在y轴上，点B的坐标为(1, 3),将矩形沿对角 线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那 么D点的坐标为()做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为 1

6、 ： 2。 求C、D两点的坐标。13.在梯形 ABCD中，AB/ CD, AB= b, CD= a, E 为 AD 边上的任意一点，EF/ AB,且EF交BC于点F,某同学 在研究这一问题时，发现如下事实：DE a-i-b口 用a + 2b-1 -2(1)当月总时，EF=上;(2)当上百 时，EF= 5;经二 3一+先当4H 时，EF= 4 .当出£ .时，参照上述研三、构造相似辅助线A、X字型14.已知：如图，在 4ABC中，M是AC的中点， E F是BC上的两点，且 BE= EF= FC求 BN: NQ: QM.15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于2该顶点对边上

7、中线长的三.（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.18.如图，在 4ABC中，已知 CD为边 AB上的高，正 方形EFGH的四个顶点分别在 4ABC上。A F DG B四、相似类定值问题16.如图，在等边 4ABC中，M、N分别是边 AB, AC的中 点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交 AC AB于点E、F.113十 =求证：CE BF AB.19.已知，在4ABC中作内接菱!二形CDEF设菱形的边长为 a.求证：-4C RC a .17.已知：如图，梯形 ABCD中，AB/DC,对角线 AC B

8、D 交于。，过。作EF/AB分别交 AD、BC于E、F。1 l 1 1求证：五FF.五、卜目似之共线线段的比例问题20. （1）如图1,点尸在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA, BC的延长线于点 Q,S,交题，于点我丁 ,求证：= ?T(2)如图2,图3,当点F在平行四边形 ABCD的对角线3口或口2?的延长线上时，FQ FR=PS尸丁是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅 以图2为例进行证明或说明)；圈二医222.如图，已知 ΔABC 中，D CAD, BF分另1J为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线 交AB于E,交

9、BF于G,交 AC延长线于 H。求证： dE=eg?eh23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线 AC上一点，过 P的直线与 AD、BC CD的延长线、AB的延长线分别相交于点 E、F、G、 H.PE _PH 求证：号上G21.已知：如图， ABC中，AB=AC, AD是中线，P是 AD 上一点，过C作CF/ AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求 证：BP2=PE- PF .24.已知，如图，锐角 4ABC中，AD± BC于D, H为垂心 (三角形三条高线的交点)；在人口上有一点 巳且/BPC为直角.求证：PD = AD-DH。E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于

10、点 F.(1)求证：厂-' 二，-.(2)若G是BC的中点，连接GD, GD与EF垂直吗？并说明理由.六、相似之等积式类型综合25 .已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的 中点，ED的延长线交 CA于F。求证：一三二二,二三728 .如图，四边形 ABCR DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点 M, CG与AD相交于点N.求证：,26如图，在 RtABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M在CD上，DHXBM且与AC的延长线交于点 E.求证：(1) AAEDACBM; (2)29 .如图，BD> CE分别是 ABC的两边上的高，过 D 作DGLB

11、C于G,分另1J交 CE及BA的延长线于 F、H。求证：(1) D(j=BG- CG (2) BG- CG= GF- GH27.如图，4ABC是直角三角形，/ACB=90°, CD, AB于D,七、相似基本模型应用30.AABC和4DEF是两个等腰直角三角形， /A=/D=90； 4DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M, EF与AC交于点N,求证：BEMsCNE(2)如图2,将 DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延 长线交于点 M, EF与AC交于点N,于是，除(1)中的 一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明 你的结论.31.如图，四边形

12、 ABCD和四边形ACED都是平行四边形, 点R为DE的中点，BR分另1J交AC CD于点P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外)；(2)求 BP: PQ: QR.AB=5X / AD=AB, AD=5t.t=1 ,此时 CE=3 . DE=3+3-5=1如图当点D在点E左侧，即：0三t三之时，DE=3t+3-5t=3-2t.若adeg与aacb相似，有两种情况：DE _ EGDE84ACB,此时 W ,3-2i 23-二即：三 4 ,求得：t=4.DE _ EGDE8 4BCA,此时5U 磔,3-4 21zz -即：43 ,求得：t=6 ；32.如图，在4ABC 中，ADL

13、BC于 D, DE，AB于 E, DF±ACAE _ AC于Fo求证：-3如图，当点D在点E右侧，即：t之时，DE=5t-(3t+3)=2t-3 .若adeg与aacb相似，有两种情况：DE _ EGDE84ACB,此时/C ,2L-3 29二即：3 4 ,求得：t=4；DE _ EG DE8 4BCA,此时石仁 必2L-3 _217即：43 求得：t= 6 .s 2 1Z综上，t的值为4或6或4或63.答案：解：(1)证明： AD=CD . . / A=/ACD.DE平分NCDB交边BC于点E/ CDE=Z BDE / CDB为CDB的一个外角/ CDB=Z A+Z ACD=2/

14、ACD / CDB=Z CDE+Z BDE=2Z CDE/ ACD=Z CDEDE/ AC(2) / NCE之 MBE EMXBD, ENXCD,.BMEsCNE,如图3 / NCE=Z MEB4 .EM / CD.-.CD± AB5 .在 RtABC中，/ ACB= 90°, AC= 6, BC= 8 .AB=106 . /A=/A, /ADC=/ ACB7 .ACDAABCAB 1018综上：AD=5或5时, BME与ACNE相似.4.答案：解（1）0 <j-<5当 PQ/ BC 时,解得:10T由题意:AP=4x, CQ=3x, AQ=30-3x,AP A

15、QAC ,即:4x_30全20= 30 / NCE=Z MBE.BD=CD又 / NCE+/ACD=/MBE+/A=90°/ ACD=Z A.AD=CD4。(2)能，AP=9 cm或 AP=20cm1 .AD=BD二 AB.在 RtABC中，ACB= 90°, AC= 6, BC= 8 .AB=10.AD=5 / NCE=Z MEB EMXBD, ENXCD,.BMEsENC,如图AP AQ AP CBQ,则 C8 CQ解得：工二$或工=一10 （舍）此时：AP=-' cmAPQCQB,则AP AQ玩二而10五=解得： 9 （符合题意）40此时：AP= cm4 工

16、30-3x即 -4Q故AP= 9 cm或20cm时， APQ与 CQB能相似.5.答案：解：设运动时间为t,则DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t.（1）若a QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP,即：6-t=2t, t=2 （符合题意）t=2时， QAP为等腰直角三角形.（2） /B=/ QAP=90°AQ _ AP 6t_ -当QAPsABC时，AB BC ,即：12& ,6t-解得： 5 （符合题意）；AP _ AQ 21 _ 6 -Z当PACPABC时，用§加7 ,即：L2 & ,解得：/ = 3 （符合题意）.6£

17、= 当 二或£ = 3时，以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似.6答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作ABLOA,交待求直线于点 B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD, AC则由上可知：OAB=QCD =90。由双垂直模型知： OC2 ADBOC _AC_OAADBDABA （2,1）,=45.OC= 1, AC= 2, AO=AB,-.AD=OC= 1 , BD= AC= 2 .D点坐标为（3, 1） .B点坐标为（3, - 1）此时正比例函数表达式为：y= 3 x/一7答案：解：情形一:过点A作ABXOA,交待求直线于点 B,过点A

18、作平行 于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD, AC则由上可知： OAB=ZOCA=ZD =90。由双垂直模型知： OC2 ADBPC _ AC _ 0A二 一二 二- . A （2, 1） , 30E = 45°.OC= 2, AC= 1 , AO=AB,-.AD=OC= 2, BD= AC= 1 .D点坐标为（2, 3）B点坐标为（1,3）此时正比例函数表达式为：y=3x第二种情况，图象经过第二、四象限 如图.当上di苫=W HT：.连接 8,迂点蚱JU地上的高线DE,交Ul的延长 线于点G；a CM, BC=2: AC-BC'=AB- ? .”又二 DE±C

19、Ef 为写接直角三角考*, 旦：0一二口口= 9。 .v - F? T 广=m -i，4 E*lD 也，且£=5£?=3 DE=.4C=4在国 AJEC 中，CD=3 =1向 +情形二:迎其弟_心8时丈一漠蜜8.工吉0代中上狗身线口F，工"就於三任于占F"B"&/I BC=1.：./+ MCUXV DFLCF* -JHD为等原直角三星电，二 BD=H8. _J匚咫,*=帕：+-J3C-. FBD 90'. 一四C.HKG%'Z. _5.JC-Fsa.二 FDBCBa ,A DF-B2. 3FFE.二空将一口严£

20、0,CQjgYk -疝.情形三：圄，刍=35=90：时；*遥接O 过百普半反？边上的高域QP 交8的 延长线于克凡 过点才作直线PD边上的高统AO. 交产D于点6； aB=a器, TC4 片03，,JCff-90" .又；DE_CEf &LRD为萼僵直角三角形"/. AD=BDt 上 P 一0二 9。,，.pD+_pJD= 90'. 二QDATBDF= 90" >，1 -QaD=BDP >ife一 8.答案：证明：方法A AQ=DP，DQ=BP-连接PC,过点P作PD± AC于D,贝U PD/BC根据折叠可知MNLCP3 Z

21、2+Z PCN=90°, / PCN+Z CNM=90. / 2=Z CNM4 / CDP之 NCM=905 .PDg MCN6 .MC: CN=PD DC7 PD=DA8 .MC: CN=DA DC9 PD/BC10 .DA: DC=PA PB11 .MC: CN=PA PB方法二：如图，过M作MD ±AB于D,过N作NE± AB于E由双垂直模型，可以推知 PMDs NPE,则MD _PD _FM方一砺两MD-PD _PM根据等比性质可知PE+NE 球，而MD=DA,NE=EB PM=CM, PN=CN,，MC: CN=PA PB9答案：A过点D作AB的平行线交

22、BC的延长线于点 M,交x轴于点 N,则 / M= / DNA=90 ,由于折叠，可以得到 AB8 4ADC,又由B (1, 3)BC=DC=1, AB=AD=MN=3, / CDA=/ B=90 °. / 1+/ 2=90 °12 / DNA=90 °Z 3+Z 2=90 °.1. / 1=/ 313 . ADMC AAND,CM _ DM _CDI-Hr设 CM=x,贝U DN=3x, AN=1 + x, DM = 3I-Hr-3x+ 3 =310.答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平 行线交x轴于F,交GC的延长线于E。延长A

23、E到M使得EM=AE,连接 CM BE=CE / AEB=Z MECABEAACEM.CM=AB, /1 = /B .AB/ CM，/M=/MAD, /MCF=/ ADF .MCFAADFCF _ CM . CM=AB, AD=AC直线y= - 2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点A (1,0), B (0,2)OA=1, OB=2, AB=. AB: BC=1:2BC=AD= / ABO+Z CBG=90°, / ABO+Z BAO=90°/ CBG=Z BAO又,：乙 CGB=/BOA=90°.OABAGBCOA _GB，二二二.GB=2, GC=4.GO=41

24、 C (4,4)同理可得 ADF BAO,得OA _DF2 *上 .1.DF=2, AF=4 .1. OF=5 ，D(5,2)11.答案：证明：(方法一)如图CF CM AB .而一近一三过D作DG/ BC交AE于G则ABEADG, ACEFADGFAB _ BE CF _CE.ADDG 而一而. AD=AC, BE=CECF _BS AB .DFGAC12.答案:证明:过点D作DF/ AB交AC的延长线于点 F,则/ 2=/ 3. AC 平分 / DAB/ 1 = / 2.1. / 1 = Z 3.AD=DF / DEF=/BEA, /2=/3.BEAADEFBE _ AB.AD=DFBE

25、_ AB.芨一益.AC为AB、AD的比例中项. A（f = ABAD14.答案：解：连接MF,. M是AC的中点，EF= FCAD _ AC即 J：又,一/ 1 = / 2.ACDAABCAD _ AC _ CDBC2. .hBC2 - offAB-AC AB''AC-ADWDE13.答案：解:过点E作PQ/ BC分另1J交BA延长线和DC于点P和点Q1. AB/ CD, PQ/ BC，四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形PB= EF= CQAP AE又.AB=b, CD= aAP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EFtr - EF =k1 .MF/

26、AE且 MF=2 AEABENMA BFM . . BN:BM=BE: BF= NE: MF BE= EF . . BN: BM = NE: MF= 1:2 BN: NM= 1:1 设 NE= x,贝U MF = 2x, AE=4x .AN=3x MF / AE . .NAQsMFQ . . NQ : QM = AN: MF= 3:2 BN: NM = 1:1 , NQ: QM = 3:2. BN:NQ: QM = 5:3:215.答案：证明：（1）如图1, AD、BE为 ABC的中线，且 AD、BE交于点 O过点C作CF/ BE,交AD的延长线于点 F1. CF/ BE且E为AC中点/ AE

27、O= / ACF, / OBD= / FCD, AC= 2AE / EAO= / CAF.AEOAACFEO AE .CF1C2. D 为 BC 的中点，/ODB=/FDC .,.BODACFD.BO=CFBO _216.答案：证明:同理，可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长2的亏田工如图2, AD为 ABC的角平分线过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E则 / BAD=Z E,AD为 ABC的角平分线/ BAD=Z CAD/ E=Z CADAC= CE CE/ AB .BADACEDABAB _BD ACCD如图，作 DP/ AB, DQ/ AC则四边形 MDP

28、B和四边形 NDQC均为平行四边形且 DPQ是等边三角形 .BP+CQ= MN, DP= DQ= PQM、N分别是边 AB, AC的中点1MN=之 BC= PQ. DP/ AB, DQ / AC.,.CDPACFB ABDQABECDP CP DQ_BQDP DQ_ CP BQ BCPQ _3 .Lc二二 二二 二 . DP= DQ= PQ= BC=二 AB1 J-+-L -ab （已E 3尸）=21 1 _ 3，二二一二二二17答案：证明： EF/AB, AB/DCEF/DC.AOEAACD, DOE DBASO _AE SO _ DE .比二而布， ?EO EO AS DE d+_+.J

29、-L ,一1 1 118.答案：证明：EF/ CD, EH/ AB上A*/ADC ZCEH=ZA1 ?, ?2 .AFEAADC, ACEHACABAE _ EF CE _ EH - 7c = cB 而=U3 ?4 .EF= EHEH EF EF EF CE AE -+ _+ _ 二 c二匚二二二1 1 1+=19.答案：证明： EF/ AC, DE/ BC ?. 二丹二二 二 _52 .BFEABCA AAEDAABC21.答案：证明BE _EF DE _ AB- ABAC, ?EF DE BE AE AEBE 、 . AC BC AB AB AB 3 EE DE= a1 + 1 _ 1.H

30、E 历一20答案：(1)证明：在平行四边形 ABCD中，AD/ BC,/ DRP=Z S, / RDB之 DBS.DRPABSP同理由AB/ CD可证PTgPQBPT _ DP .PQBP,. AB=AC, AD 是中线, .-.AD±BC,BP=CP.1. / 1 = / 2又 / ABC=/ACB/ 3=7 41. CF/ AB/ 3=Z F/ 4=Z F 又 / EPC4 CPF .,.EPCCACPFPR _ PT一二”：(2)证明：成立，理由如下：在平行四边形 ABCD中，AD/ BC,/ PRD=/ S, / RDP之 DBS.DRPABSPPR _ DP二一同理由AB/

31、 CD可证PTgPQBPT _ DP一 二二PR _ PT下三.F2FR = PKF7EP _ PC. .拓一而 . BP2=PE- PF即证所求22.答案：证明：- DE± AB9-oEADDBA =90°. EDJDBA.BED=DEA.ADEADBEAE _ DE瓦丽. DE2=1 =-.BF± AC，上百呼+/H=9。.N3C?£+N£3C? = 9。且/AGE=/汽C?F.ZEBG=ZJi.BED=DEA.BECAHEABE _ SG.丽一U.芈，DE2=EG&bull;EH23. 答 案： 证 明25答案：证明：.（口是RR

32、 ABC斜边AB上的高，E 为BC的中点.CE=EB=DE/ B=Z BDE=Z FDA / B+Z CAB=90°, / ACD+Z CAB=90°/ B=/ACD/ FDA=Z ACD / F=Z F .FDAAFCD 四边形ABCD为平行四边形 .AB/CD, ADEBC/ 1 = 7 2, / G=Z H, / 5=7 6 .PAHAPCGPH _ PAFD AD / ADC=Z CDB=90°, / B=Z ACD .ACDACBDAD _ AC又,一/ 3=Z 4FD AC.APEACPFPE _fA.PF = PC24.答案：证明：如图，连接 BH交

33、AC于点E,BDCCAD-DH/ BPC 为直角AD± BCPD2 = BD&middot;DC PD2AD&middot;DHPE _ PH PF=GH为垂心1 BEX AC3 / EBC+/ BCA=90°4 . ADXBCT DZ DAC+Z BCA=90°/ EBC=Z DAC又/ BDH=Z ADC=90°5 .BDHAADCBD _ AD即；.F26答案：证明：（1）Z ACB= Z ADC= 90°/ A+ / ACD= 90°ZBCM+ /ACD= 90°/ A= / BCM同理可得：/MDH=/MBD6 / CMB= / CDB+ / MBD = 90 °+ Z MBD/ ADE= / ADC+ / MDH =90 + Z MDH/ ADE= / CMB.AEDACBMAS AD（2 ） 由上问可知：C CM ,即AECM=AD-CB故只需证明:二一，二即可1 . /A=/A, /ACD=/ABC2 .ACDAABCAD CD，而二而，即“.小月。，比，成二，一二立F口 _匹27答案：（1）将结论写成比例的形式， FC 产D , 可以考虑证明 FDN FCD（已经有一个公共角 / F）RtACD中，E是AC的中点DE=AE. . / A=/ADE3 /