拓扑学第四章-紧致性

1、第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓 扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在 实分析中，闭区间具有良好的性质）。§4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）定义1设A是（X,）的一个子集。如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A中每个收敛子列的极限点都属于A ,则称A是列紧的；如果（X,）本身是列紧的，则称为列紧空间。注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不

2、加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。（3）若A是（X,）的列紧子集，则A是（X,）的有界闭集。（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（X,）是列紧空间，则4列紧=> A是闭集。（5）列紧的度疑空间必是可分的。进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用"序列”形式刻画的。人们找出了 一种非序列刻画的方式。定义2设A是（X,d）的一个子集。是X的一族开集，满足（JUnA,则称Z/为A在X t/eZ/中的开覆盖；若"中只有有限个子集，称"为有限开覆盖；若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则

3、称X为紧致空间（有的书成为紧空间）理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间O紧致空间 （这在泛函分析书中都有介绍）。§ 4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间a,b具有某些极好的性质，它对于证明极 大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为M,”上这个特性 取决于4,盯上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间 上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。进一步深入研究，认为用"开集”表达形式更

4、为自然。并且从实分析理论中知道：'实数空间R 的子集为有界闭集O它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。这种描述的优点：用有限族去代替无穷族（序列）的研究；无须度量描述。解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？定义3设X为拓扑空间，如果X的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧致空间。显然，每一紧致空间也都是Lindeld f空间（X的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不 然。定义4设A为拓扑空间X的非空子集，若A作为X的子空间是紧致的，则称A为X的紧致子 集。例1实数集R不是紧致空间。因为H =neN为的开覆盖，但是力中任何有限子集族（一耳， J，（一“2 '），（nk，11 k）的

5、并集为（-max,/?2, ,/J,max, ,wJ）,它不能覆盖R ,即力没有有限子覆盖（解释: 要覆盖R只有“Ts。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。例2 R的开区间（0）不是紧致的。因为开区间族：G'D'C'i）'（十1）是（0,1）的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖（0,1）。例3 R的子空间A = 0）kj-|/ze（"为正整数集）是紧致的。n因为，任给A的一个开覆盖必，力中有一个成员包含0,记这个成员为U （开区间）。于是， 开区间U除了有限个“丄”外，它要包含A的所有其余的点，因此，对于A中的每一个U未包含 n的点，从X

6、中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。重新看一下定义4：说A为拓扑空间X的紧致子集，是指A中的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖，并没有明 显说明：每一 X的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。定理1拓扑空间X的子集A是X的紧致子集O每一由X的开集构成的4的覆盖都有有限 子覆盖。证明：（=）假设4是紧致的。令/ = BJaer是由X的开集组成的A的一个覆盖，那么， BarAaeT就是A中开集所组成的A的一个开覆盖。由于A是紧致的，从而有一个有限子族可以覆盖q,即它就是H的一个覆盖a的有限族。（U）反之，设4的每一由X的开

7、集构成的覆盖都有有限子覆盖。设=Uaaer为A的 由X的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为乙匕，匕而（U舛 cA）u（i/勺 cA）ur>A） = A故q是x的紧致子集。"定理2设期为拓扑空间X的基，若由昭的成员构成的X的每一覆盖（自然是开的）都有有 限子覆盖，则X为紧致空间。证明：设力是X的任一开集。对于VAeH，则A是开集，故存在磁的子族Qi，使得 A= I I B。令力=U 覘（即，覆盖H中所有成员A的厨中集族）由BU彳A4 HeSA肚N即，力是岛中成员构成的X的覆盖。_如果力有有限子覆盖，不妨设为 44,VB（ e A o故存在，使得B, e , 从而Bj u A（。于是，

8、力的有限子集族人,心,A” 一定是X的子覆盖。所以，X为紧致空间。定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。证明：设A是紧致空间X的闭子集，于是人。是X的一个开集。如果是X的任一开覆盖，不难看出Ac构成X的一个开覆盖。又因为X是紧致的，故",中存在有限集族匕,/，口”,"是X的有限子覆盖，而 匕,卩2,（/,”是A的一个有限子覆盖，即闭集A的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A是紧 致的。下面的几个定理不加以证明的给出。定理4每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。定理5若XX2,X "均为紧致空间，则积空间XXx-.-xX,为紧致空间。定理6设f:XY是从拓扑空间X到

9、y的连续映射,若A是X的紧致子集，则/（A）是丫 的紧致子集。上述定理的解释：定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间,N并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点N）； 尺2的单点紧致化同胚于球面S3同时，从定理4又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。 即，紧致性不是可遗传性质。定理6说明：紧致集在连续映射下的象也是紧致集。从前面的定义知：紧致性是用一族开集的并运算定义的（开覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律，'开集的并 运算”与“闭集的交运算”是对偶的。所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义。（尽

10、管这种 定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）定义5令X为任意非空集合，力是X的任一子集族。如果必的每一有限子集族的交集都是 非空的，则称力具有有限交性质。定理7拓扑空间X是紧致的 O X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交。关于定理7的注释（不证明）：关于“X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是：设Ur是X上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限交性质 的。则应由p|Aa0,即，闭集族Aaaer都必含有某个相同元素。§4-3紧致性与分离公理（Hausdorff空间的紧致子集）本节讨论紧致空间和7；公理共同作用下得到的拓扑空间性质

11、。定理8设A是Hausdorff空间X的紧致子集，若xA9则x与A有不相交的邻域。证明：对于VyeA,则y H由于X是空间，则有x和y的开邻域t/v,V （注：下标均为，表 示这两个邻域与y的选择有关），且Uvr>VY=0o当y取遍A时，有VjyeAJ构成A的开覆盖。又由于4是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为匕,，1，只，.。 令“V = VV1 2人 52叫U =U” 5、则V是A的开邻域，U是x的开邻域。又，对于任意匕卫=1,2,丿）均有Uc匕=0。所以,UcV=0。证毕。定理9 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻 域。证明方法与定理8雷同，证略。它的意义如右图所示。

12、由定理8和定理9,可以得到如下的推论。推论1 Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集。注释：因为则xgA （闭包），所以x不是A的聚点，即A是含有聚点的集合，故A是 闭集。推论2紧致的Hausdorff空间的子集为闭集 O 它是紧致子集。注释：根据推论1得到U;由定理3 “紧致空间的闭子集是紧致子集”得到二>。于是，有如下关系：紧致空间：闭集二> 紧致子集Hausdorff空间：闭集 U 紧致子集紧致Hausdorff空间：闭集O紧致子集另外，由定理9,我们得到如下结论。推论3每一紧致的Hausdorff空间都是7；空间。注释：根据紧致Hausdorff空间的紧致子集是闭集，

13、且闭集也是紧致集。则由定理9,有不相 交邻域，则是7；空间。推论4每一紧致的Hausdorff空间都是7；空间。注释：由紧致Hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理&则是7；空间。于是，我们又推出如下关系：对于紧致空间：Hausdorff空间 <=> 正则空间 O 正规空间-注：已知： 正规空间=> 正则空间=> Hausdorff空间 （）X又，紧致空间是Lindeld f空间，而对Lindeld f空间有于是正则空间O正规空间J又由推论3和4,故有（）成立。定理10从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射必为闭映射。证明：设X为紧致空间，Y为

14、Hausdorff空间。f:XY为连续映射。设A是X的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3）,则/（A）是Y的紧致子集（由定理6）。 由推论1, /（A）是闭集。故/为闭映射。定理11 X为紧致空间，丫为Hausdorff空间，f'.XY是在上的-一连续映射，则/是 同胚。证明：（提示：只要证明: X X是连续的）在第二章§2-5“连续映射与同胚”中定理1 （3）已有结论：a F.UV ,若V的闭集在F下的原象是闭的，则F连续”在此，记F = f-U = Y,V = X；于是利用定理10,有/"是连续的。故/是同胚。关于“欧氏空间的紧致子集” 一节略，同学们可以自己看

15、。§4-4几种紧致性的关系（简介）在微积分学中，实数空间的子集A上，下述命题是等价的：（1）4是有界闭集；（2）A的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中每一无限子集都有聚点在A中；（4）A中每一序列都有收敛的子序列收敛于人中的点；同时，（2）可以写成（5）4的每一可数开覆盖都有有限子覆盖（注：由（5）不能推出（2）! 即，（5）不是（1）（4）的等价命题）定义6设X为拓扑空间，如果X的每一可数开覆盖都有有限子覆盖,则称X为可数紧致空 间。下面的命题都是显然的。命题1每一紧致空间都是可数紧致空间。命题2每一 Lindel6f的可数紧致空间都是紧致空间。注释：Lindeld f空间一一每

16、一开覆盖有可数子覆盖。如果它又是可数紧致空间，则每个可 数子覆盖都有有限子覆盖，则X每个开覆盖都有有限子覆盖，故X是紧致空间。前面介绍了度量空间的列紧性，列紧性也可以移植到拓扑空间中。定义7设X为拓扑空间，如果X的每一无限子集都有聚点，则称X为列紧空间。（说明：许多书对列紧的定义不一致）定理12每一可数紧致空间都是列紧空间。（不证明）定义8设X为拓扑空间，如果X中每一序列都有收敛的子序列，则称X为序列紧致空间。定理13每一序列紧致空间都是可数紧致空间。每一满足第一可数公理G的可数紧致空间都是序列紧致空间。由上述定理，我们可归纳出如下关系：§4-5局部紧致与仿紧紧致性是一种很好的拓扑性

17、质，如，紧致空间上的函数有界，并且达到最大、最小值。但是， 紧致性的条件太强，以至于“维欧氏空间E"也不是紧致的（E"的闭子集是紧致的）。本节介绍紧致性的两个方面推广一一局部紧致和仿紧的。定义9设X为拓扑空间，如果X的每一点xeX都有一个紧致的邻域，则称X为局部紧致 空间。注释：“xeX,都有一个紧致的邻域”，表示至少存在一个，并不是说x的所有邻域都是紧致 的。由定义9不难看出： 紧致空间一定是局部紧致的。因为VA-eX,若X是紧致的，则其闭子第也是紧致的，只要取包含兀的闭集V作为x的邻 域即可；另外，X本身就是每一x的邻域。 ”维欧氏空间曰是局部紧致空间。因为欧氏空间上的

18、闭子集是紧致的，于是的球形邻域的闭包是紧致的。下面讨论局部紧致性与匚公理（Hausdorff空间）配合的结果。定理14设X是局部紧致的Hausdorff空间，则（1）X满足7；公理。（2）V.veX, x的紧致邻域构成它的邻域基（也称局部基）。（3）X的开子集也是局部紧致的。证明：（1）证明思路：由§3-4节命题5,有“X是A OVxw X和它的开邻域U,存在x的开邻域V,使得VU 于是，设xeX , U是x的开邻域，仅证存在x的开邻域V,使得卩uU。设X是局部紧致的Hausdorff空间，xeX , 是x的开邻域。兀有一紧致邻域根据§4-3中推论1 “Hausdorff空

19、间的每一紧致子集都是闭集”，则D是X的闭集。又由推论4 "每一紧致的Hausdorff空间都是7；空间”，则D作为子空间是人空间。令W = Ur>intD,则W是尤在D中的开邻域；由于D是右空间，则有x在D中的开邻域V, 使得卩uWut/。以为W是X的开集，D是X的闭子空间，卩是D中闭包，也是X中闭包。综上所述：xeX , x在X中的开邻域V,满足Put/,即X是7；空间。（2）证明思路：根据x的局部基定义，只要证明对于x的任一开邻域U ,存在x的一个紧致邻 域C,使得CuU。对于xeX，设£>是x的一个紧致邻域，则DcU也是x的邻域。又根据（1）知，X满足T, 公理，于是，存在x的邻域V,满足IZuDcUuU。取C = V ,它