数学论文,数列极限的求法

1、(2016)届本科生毕业论文题 目 数列极限的求法 专 业 数学与应用数学 院 系 数理学院 学 号 1208020108 姓 名 * * * 指 导 教 师 * * * 答 辩 时 间 二0一六年五月 论文工作时间 2015年12月 至 2016年5月绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）数列极限的求法 学 生：* * *指导老师：* * * 摘 要：从古至今, 在世界数学史上, 极限都扮演着重要的角色 ,是数学研究的基础.本论文研究数列极限的求法，主要就高等数学的范围内进行研究与分析.通过对国内外研究结果的琢磨，旨在通过对数列极限求法方法的整理与归类，加深对数列极限的理解与思考.通过查

2、找文献，阅读资料，收集数据，调查分析，最后得出论文，分别从列举数列极限的定义、性质、定积分、极限存在条件、重要公式求极限方法、转化为函数极限方法等入手求数列极限.最后整理出数列极限不仅在实际生活中有着应用与帮助，而且对于教学工作也有着许多积极的意义.关键词：数列；极限；数列极限的性质Methods for Sequence LimitUndergraduate: Xue Li Supervisor: Luo ShoushuangAbstract: In the history of mathematics,limit, as the basis of mathematical research

3、,has been playing an important rule since ancient time.This paper aims to research the methods for sequence limit,emphasizing the study and analysis of category of mathematics.I will compare the abroad and domestic research results to further understand mathematics by classifying methods for sequenc

4、e limit.I will follow this way to find out methods for sequence limit:the first step is to gather information,read material,investegate the analysis,and gain this paper,second step is to list its definition,character,definite integration,existence conditions,important formulas for sequence limit and

5、 ways to convert it into functional limit,and finally I will illustrate its usage in daily life and its meanings in teaching procedure.Keywords: Sequence;Limit;Character of Sequence Limit;Mathematical Ways目 录绪论41 数列极限4 1.1数列极限的定义4 1.2数列极限的性质42数列极限的求法5 2.1利用定义求极限5 2.2利用数列性质求极限7 2.2.1用迫敛性求数列极限7 2.2.2利

6、用极限的四则运算求极限8 2.3利用数列极限存在的条件求极限9 2.3.1利用单调有界定理求极限9 2.3.2利用柯西准则求数列极限11 2.4利用定积分求极限12 2.5利用级数求极限14 2.6利用重要的公式或转化为函数极限15 2.6.1重要极限公式15 2.6.2转化为函数极限153 中学数列极限的教学建议17结论18参考文献20致 谢21 21绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）绪论 “无论是从历史的、发生的还是从系统的角度来看,数的序列都是数学的基石.可以说,没有数的序列就没有数学”(弗赖登塔尔,1993). 数列是高中数学的重要内容.它是诸多数学思想的学习载体. 由于数列具

7、有丰富的现实背景,在解决现实问题中有着广泛的应用.因此,数列一直是普通高等学校招生考试重点考查的内容之一.数列是高中数学的重要内容，并且具有丰富的现实背景,在解决实际问题中有着广泛的应用.数列是初等数学与高等数学的重要衔接点,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特征.所以其有着内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性.1 本章共分四节，主要就数列极限、数列极限的求法、中学数列极限的教学建议、数列极限在现实生活中的应用进行了研究.第一部分为数列极限，第二部分为数列极限的求法，第三部分为中学数列的教学建议，第四部分为数列极

8、限在现实生活中的应用.1 数列极限 极限是高等数学的重要内容，它描述了变量在运动过程中变化趋势，是从有限认识到无限，从近似认识到精确，从量变认识到质变的必备的推理工具.数列极限又是极限的基础.1.1数列极限的定义 定义1 设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”. 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列. 定义2 任给，若在 之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限.1.2数列极限的性质定理1.2.1（唯一性） 若数列收敛，则它只有一个极限.定理1.2.2（有界性） 若数列收敛

9、，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有.定理1.2.3（保号性） 若（或），则对任何 (或)，存在正数，使得当时有（或）.定理1.2.4（保不等式性） 设与均为收敛数列.若存在正数,使得当时有，则.定理1.2.5（迫敛性） 设收敛数列，都以为极限，数列满足存在正数，当时有，则数列收敛，且.定理1.2.6（四则运算法则） 若与为收敛数列，则,也都是收敛数列，且有，.特别当为常数时有，.若在假设及，则也是收敛数列，且有.1.3数列极限存在的条件 定义3（单调数列）若数列的各项满足关系式，则称为递增（递减）数列.递增数列和递减数列统称为单调数列. 定理1.3.1（单调有界定理） 在实数系中，

10、有界的单调数列必有极限.定理1.3.2（柯西收敛准则） 数列收敛的重要条件是对任给的，存在正整数，使得当时有.定理1.3.3 数列收敛的重要条件是的任何非平凡子列都收敛.22数列极限的求法不同类型的极限问题，用不同的方法解决.在学习数列极限时，只有不断总结，不断完善知识理论和结构，才能在解题中对症下药，有所发现，有所创新. 2.1利用定义求极限对一些较为简单的极限问题，可以通过观察得出数列的极限，再用定义证明.其步骤如下 第一步 观察当无限趋于无穷大时，的变化趋势是接近于常数； 第二步 ，求出使成立的所要满足的条件寻找； 第三步 取出，由定义得. 例1 求（其中）.解 观察当无限趋于无穷大时，

11、的变化趋势是接近于常数1.令，则.由伯努利不等式可推得（1）或.对，由式可见，取，当时，就有，即.由数列极限的定义，有.3 例2 用方法求.解 观察当无限趋于无穷大时，的变化趋势是接近于常数1.令则，因为，所以，所以，取，则当时，有，所以.例3 证明数列发散.证明 当为奇数时，.当为偶数时，.由定理1.3.3知数列发散. 小结 长期以来的教学实践表明，对于初学者，极限的 定义很抽象一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它并不是求极限的好办法，更多地被应用于极限值的相关证明.22.2利用数列性质求极限2.2.1用迫敛性求数列极限迫敛性是极限的基本性质，给出了数列存在的一个条件，同时提供了一个计算

12、极限的方法.利用迫敛性求极限的关键或难点在于寻找不等式两端具有同一极限的式子.利用迫敛性定理求数列极限的关键在于寻找到合适的上下界数列，使得原数列被控制在这两个新数列之间的同时，两个新数列趋于同一个值.因此，由迫敛性定理即可求得原始数列的极限.例4 若为个正数，求的极限（其中）.解 设，则有,即 .又因为，而，因此.2例5 求数列的极限.解 由放缩法可知.因为，.由迫敛性知.2小结 利用迫敛性求极限的关键是，将所求极限的数列适当地放大和缩小，使得放大 和缩小的两个新数列的极限值相等，则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值.值得注意的是，这两个上下界数列的产生需要依据原始数列的特征进行放缩得到

13、，一般会有一个方向比较容易得到，而另一个方向需要一定的代数变形.不过，归根究底，使用分析的基本语言而不是寻找上下限数列会是个更好的替代办法.2.2.2利用极限的四则运算求极限极限的四则运算法则是两个数列的极限都存在，并且分母的极限还不等于的情况下，当这两个条件都满足时，那么两个数列在和、差、积、商的极限和这两个数列的极限的和、差、积、商都相等；对于一个常数与一个数列的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个数列的极限的乘积；一个数列乘方的极限和这个数列极限的乘方也是相等的.例6 求.解 令，（2）则，（3）由式，得，故得 ，由极限的四则运算法则，得.2例7 求的极限.解 因为，由极限的四则运

14、算法则，得，因当时，有.由迫敛性得到.所以，.小结 在运用极限的四则运算求数列极限时应注意 第一，对于分式来说，当其分母不等于时，才能直接运用四则运算法则进行求解. 第二，对于无穷多个无穷小量来说，其和未必是无穷小量.2.3利用数列极限存在的条件求极限在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两个基本问题.在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限，故可用作为的近似值.为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依照定义一

15、一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来做出判断.首先讨论数列单调性，其定义与单调函数相仿.若数列的各项满足关系式.则称为递减（递增）数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.22.3.1利用单调有界定理求极限例8 证明若，且，则.证明 ，对任何，存在正数,当时，有，即时，.又因为对所有成立，则时，单调有界.根据单调有界定理，的极限存在,所以得极限存在.可得出数列收敛.设，由极限的保号性知.若，则，矛盾.因此，即.例9 证明数列收敛，并求其极限.证 记，易见数列是递增的.现用数学归纳法来证明有上界显然.假设，则有，从而对一切有，即有上界. 由单调有界定理，数列有极限，记为.由于，对上式两边取极

16、限得，即有，解得或.由数列极限的保不等式性，是不可能的，故有.2 例10 证明存在.证 先建立一个不等式.设，对任一正整数有，整理后得不等式 . (1)以，代入（1）式.由于，故有.这就证明了为递增数列.再以，代入（1）式，得，故有.上式对一切正整数都成立，即对一切偶数有.联系到该数列的单调性，可知对一切正整数都有，即数列有上界.于是由单调有界定理推知数列是收敛的.小结 单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中常用于数列的收敛性，而且数列的单调有界定理与实数完备性也密切相关.22.3.2利用柯西准则求数列极限 例11 利用柯西收敛准则，证明数列收敛.其中. 解 因为，设，则有 .

17、对任给的，取，则对一切，有.因此数列满足柯西条件，由柯西收敛准则知，数列收敛.2例12 按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并用它证明下列数列是发散的，(1)； （2）. 证明 数列发散的充要条件是 存在正数，对任给的正整数，存在时，有.(1) 取对任意,都可找到，使得，（的周期性），于是，由数列发散的充要条件得数列发散.(2)因为，所以,取，都有，但是，所以的发散. 小结 柯西准则从理论上完全解决了数列极限存在性问题.它把定义中与的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数，只需要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.22.4利用定积分求极限定积分的定义定义4 设是定义

18、在上的一个函数，是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任一分割,以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作.其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限.其中，设闭区间上有个分点，依次为，它们把分成个小区间，.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记作或.小区间的长度为，并记，称为分割的模.2 利用定积分求步骤 通过恒等变形，将化为特殊形式的积分和 . 寻找被积函数确定积分下限及上限，令，被积函数为. 积分下限（为的第一个取值）；积分上限 （为的最后一个取值）. 根据定积分的定

19、义，将改写成定积分. 计算定积分，得到所求极限为，其中.4 例13 求.解 . 例14 求的极限.解 因为，且右边是连续函数在上的积分和.所以有.另一方面有且，故由夹逼定理可知，原极限.5 例15 求抛物线与两直线和所围图形的面积. 解 现将区间等分为个小区间，以这些小区间为底边，分别以为高，作个小矩形.这个小矩形的面积加在一起作为图形面积的近似值，即.这样，定义了一个数列，对每个而言，都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差距不会大于长为，宽为的矩形面积，即.所以，将区间无限地细分，即当时，.最后，将计算图形的面积归结为求数列极限的问题，即.6 小结 一般来说，若是项和式，当 时，可考虑用定

20、积分的概念来求极限.利用定积分求关键为寻找被积函数；确定积分的下限及上限.2.5利用级数求极限级数收敛的必要条件是若级数收敛，则.即若级数收敛，则当无限增大时，它的一般项必趋近于零.所以，若把所求之数列视为一个级数的通项，如果能判别此级数收敛，则此数列之极限必为零. 例16 求. 解 考察正项级数的收敛情况.因为.由正项级数的比值审敛法，知级数收敛，故由级数收敛的必要条件，得. 小结 此题如果不借助级数收敛的必要条件求解，则难以求出答案.7 例17 求. 解 作级数，根据级数收敛的比试判别法可得，所以级数收敛，从而有.82.6利用重要的公式或转化为函数极限2.6.1重要极限公式 重要极限公式.

21、 例18 求. 解 . 小结 利用公式求函数的极限时需注意的是数列极限的特点是“1”型. 例19 求的极限. 解 ，由极限的四则运算法则得，. 例20设本金为，年利率为，如果每年结算一次，则年末的本利和为；如果每年结算次，每期利率为，则年末的本利和为；如果每年结算无穷多次，即连续复利，这时，则年末的本利和为62.6.2转化为函数极限 归结原则（海涅定理） 设在内有定义.存在的必要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.海涅定理表明了函数极限与数列极限的关系.如果极限存在，为函数的定义域内任意收敛于的数列，且满足 ，那么相应的函数值数列必收敛，且9. 洛必达法则 若；在内可导，且；

22、.则. 对于，在满足相应的条件下，结论仍成立. 说明 对于这种情况,以上法则仍成立.10 例21 求. 解 令，因为，所以则有.因此，.11 例22 求. 解 令，因为，所以，则有. ，因此，.12 小结 洛必达法则是求几种未定式极限的一种重要方法，在使用时需注意 （1）次法则仅适用于和型未定式，其他未定式、都应该先变形转化为或型，再利用洛必达法则求解. （2）只要满足条件可以多次使用洛比达法则，但每次使用前都必须作检验，否则，就不能继续使用. （3）此法则的原理是分子和分母分别同时求导，不是对整个分式求导. （4）若遇到 不存在，不能由此断言 也不存在，只能说洛比达法则失效，此时须用另外方法

23、.133 中学数列极限的教学建议数列是高中数学的重要内容，由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特征,函数思想贯穿于高中数学的始终.数列是一种离散函数,它是一种重要的数学模型.教学中,将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数联系起来,有助于学生加深对一次函数、指数函数的认识,从而有助于学生从连续和离散两个角度认识函数,提高学生对函数思想的理解水平.在高中数学教科书中,并没有以函数的形式呈现数列的概念,对等差数列、等比数列的概念只要求从映射的角度与一次函数、指数函数相比较,作为了解;对于通项公式、前n项和公式、单调性、周期性等

24、一般性质则没有作安排.因此,教师在教学过程中,只能分散地不成系统地进行相应内容的补充.不过,这样的知识空白也给教师留下了自由发挥的空间.面对这样一个现状,教师如何选择教学内容,如何控制知识的广度、深度与难度并没有现成的标准与参照.通过对现高中学生的调查，并进行系列研究表明：（l）学生更易接受数列常规的表示方法;不同性质学校的学生在对概念及表示形式的理解上存在较大差异,高中生在数列的定义、数列与集合的关系、数列的表格表示法、映射表示法等各项指标上的理解均好于师范生;总体上看,男女生对数列概念的理解并无显著性差异.(2)学生对有规律的数列通项公式的存在性表示较大程度的认同；对有限数列中非等差、等比

25、数列的通项公式、有限数列通项公式的不确定性、不确定的无限数列等的理解都存在不同程度的困难.从整体上看,在数列通项公式的理解上,师范生逊于高中生,男女生并无显著性差异.(3)整体上看,对等比数列求和公式推导过程所隐含的整体消项法的思想理解程度不高.在解决问题的能力上,高中生要好于师范生,男女生并无显著性差异.(4)多数学生并没有利用函数性质解决数列单调性问题的意识.总体上看,在对基本定义的理解与运用上,高中生好于师范生,但师范生解题的思路较为宽广,灵活性更强;男生好于女生,但在函数性质的运用上,男女生并无显著性差异.14（1）中学生如何理解数列的通项公式?数列的通项公式是数列表示的最常见的方式之

26、一,通项公式也是数列与函数联系的纽带和桥梁.在中学数学教学中,数列的通项公式常常以函数解析式的形式出现,并在这种表达方式下进行数列性质的研究.而这个状况,常常会使学生忽视数学通项公式的存在性、唯一性,也常常会使学生忽视连续函数与离散函数性质之间的区别.因此,研究学生对不同类别数列通项公式的存在性、唯一性的理解是教师在教学工作中应该着重考虑的.（2）中学生如何理解数列前n项和?数列前n项和是数学教学的重点与难点.对于单一型数列(等差数列、等比数列)而言,其通项公式的运用较为简单.本文拟研究等差数列与等比数列复合的综合型数列,从而获得学生对数列前n项和公式的理解程度.（3）中学生如何理解数列的单调

27、性?数列作为特殊的函数,具有函数的一般性质.但由于数列是离散函数,又具有与一般连续函数性质不同的特性.因此,以单调性为例,研究学生对数列单调性的理解,区分利用定义与图像、导数不同方法解决单调性问题的有效性,追踪学生发生错误的原因,从而发现学生在知识迁移过程中存在的误区,增强学生数学学习的思辨能力,改进教育教学.15结论 极限是高等数学中的重要组成部分，它是探究高等数学中其他问题的重要工具.研究极限问题的核心是极限的求法.因此，掌握极限的求法显得尤其的重要. 在数列教学中,整体与局部思想、类比思想贯穿其中.等差数列与等比数列性质的类比,数列通项公式、前n项和公式、单调性与函数相应性质的类比,两个

28、不同数列的四则运算与函数的四则运算数列的类比，数列的复合与函数的复合的类比,数列内部各项之间的局部关系与数列整体关系都是教学的重点与难点. 以上总结的几种数列极限的求法.但是在做题时，应该注意多种方法的综合应用.对于不同的题目可以有多种方法的求解，在解题时应注意题目的特点，根据其特点，选择适当的方法.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以，国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断，同时仍存在很多内容等待我们去探讨，去解决，去突破.参考文献1 万为国.一类单调数列极限的求法.商丘职业技术学院学报N.2013（1-2）.1-2.2 华东师范大学数学系.数学分析.第三版.北京 高等教育出版社M.2001.23-41. 3 王金香.刘启才.关于极限求法之探究.宜春学院学报J.2011,33