16-17工科数学分析第一学期期末试题

1、2021/8/6116-17 16-17 第一学期第一学期工科数学分析工科数学分析期末试题期末试题 一、填空题（每小题一、填空题（每小题4 4分分, , 共共2020分）分）解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 lim()xxxaxa 2limxaxx ae 29ae ln3a 则则2lim(1)xxaxa 2021/8/62机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：22221111122211xdyxxxxdxxxx 222211122121xxxx 21x 2021/8/63解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

2、束结束 23111lnln3eexxdxxdx 32111(ln)3eexxx dx 33111()333ee 3121)9e （2021/8/64机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：211sindxxx 11sin()dxx 1cosCx 2021/8/65解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11()()2()dxdxxxyex edxC ln2ln()xxex edxC ()xxdxC 2()2xxC2021/8/66二、计算题（每小题二、计算题（每小题5 5分分, , 共共2020分）分）解：解：机动机动 目录目录 上页上页

3、 下页下页 返回返回 结束结束 30tanlimcosxxxxx 2201seclim3xxx 220tanlim3xxx 13 300tan1limlimcosxxxxxx 2021/8/67机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1：方程两边同时对方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：0yyxxdydyexeeyedxdxyxxyeyedydxexe 解解得得：解解2：方程两边求方程两边求微分微分，得：，得：0yyxxe dxxe dye dyye dx yxxyeyedydxexe 解解得得：2021/8/68机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

4、束结束 解：解：01sinxdx 2202|sincos|xuuu du 令令2yox4xsinxcos0|sincos|22xxdx 402(cossin )uu du 242(sincos )uu du 402 sincosuu 242cossinuu 4( 2 1) 2021/8/69机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：,uxy 令令1,dydudxdx 则则代入原方程，得：代入原方程，得：21duudxarctan,uxC 解解得得arctan(),xyxC 即即tan()yxCx 通通解解为为2021/8/610解解1：机动机动 目录目录 上页上页 下

5、页下页 返回返回 结束结束 22lim()1xxxaxbx 22lim ()0(1)xxxbxax xx 22lim()20 ,(1)xxxbaax xx 2a 得得22lim(2 )1xxxbxx 3lim31xxx 2021/8/611解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22lim(1)xxxax x 22lim(2 )1xxxbxx 3lim31xxx 由条件知由条件知，221xxyaxbyx 直直线线是是曲曲线线的的渐渐近近线线，则则2 , 2021/8/612解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （1 1）( )sin,f

6、 xxx 设设( )1cos0 ,fxx ( )0f xx 单单增增，则则当当时时( )(0)0 ,f xf 0sinxxx 即即当当时时，有有。（2 2）， 由由(1)(1)知，知，对任何自然数对任何自然数 n，有，有1sinnnnxxx 10sin1,nnxx 又又nx则则有有极极限限，lim,nnxa 设设sin,aa 得得0a 则则2021/8/613解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 :0 ,D x 2)1(4lim2 xxx, 2 。得水平渐近线得水平渐近线2 y( )limxf xax 2)1(4lim3xxxx )(limaxxfbx 2)1(4

7、lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得铅直渐近线得铅直渐近线0 2021/8/614列表确定单调区间、凹凸区间及极值点和拐点列表确定单调区间、凹凸区间及极值点和拐点x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 拐点拐点极小值极小值间间断断点点3 26( 3,)9 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34(2)( ),xfxx , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点48(3)( ),xfxx ( )0 ,fx 令令3 .x 得得点点2021/8/615解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

8、回返回 结束结束 (1) 由对称性由对称性2202( )( )sd 弧弧长长22024(1cos )4sind 08|cos|2d 016cos22d 16 042(1cos )d 016sin2 2021/8/616解解:(2) 由对称性由对称性6 2012( )2Ad 面面积积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 204(1cos ) d 2204(2cos)2d 4032cos22d 242032costtdt 令令3 1324 2 2 2021/8/617解解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 121(1)xVy dx 32105 062

9、sin3cos( sin )ttt dt 7203sincosttdt 注意上下限注意上下限 ! !1 1oyx2021/8/618(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dydy dtdxdx dt tan ,t 223sincos3cos( sin )tttt 41tdydx 22()d yddydxdx dx 22sec3cos( sin )ttt ()ddydtdt dxdx()ddydxdt dxdt 41,3cossintt 2244 23td ydx 322|(1)yky 4 232 2 23 33cos,sinxtyt 2021/8/619解：解：机动

10、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则容器内水的容积是则容器内水的容积是：( )20( )h tV tx dy 两边对两边对 t 求导：求导：23,dVdhhdtdt 3 ,dVdt 已已知知得得233h 231dhdVdtdth 2( )30h ty dy 2021/8/620解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ydy y),(yxyx013yx 2(1)dWx dy gy 23(1)gy y dy 2130(1)Wgy y dy 940g ,y ydy 取取小小区区间间2021/8/621机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

11、结束结束 解：解：（1 1）,uxt 令令dudt 00()() ( )()xxtf xt dtxu f udu 则则00( )( )xxxf u duuf u du 00( )( )xxxf t dttf t dt 2021/8/622机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：（2 2）将（）将（1 1）代入已知等式，有）代入已知等式，有00( )( )( )sin0 xxf xxf t dttf t dtx 两边对两边对 x 求导，有求导，有0( )( )cos0 xfxf t dtx 两两边再边再对对 x 求导，有求导，有( )( )sin0fxf xx 202

12、1/8/623机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 sin(0)0 ,(0)1yyxyy 得得初初值值问问题题：特征特征方程方程为为特征根为特征根为210 ,r ri 对应齐次方程的对应齐次方程的通解为通解为12( )cossinY xCxCx i 是特征方程的单根，是特征方程的单根，(cossin ),yx AxBx 设设求出求出)( ,)( yy代入原方程，代入原方程， 比较系数得比较系数得1,0 ,2AB 得特解：得特解：1cos2yxx 通解为：通解为：121cossincos2yCxCxxx代入初始条件，解得：代入初始条件，解得：1210 ,2CC 11( )s

13、incos22yf xxxx 故故2021/8/624机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 sin(0)0 ,(0)1yyxyy 得得初初值值问问题题：特征特征方程方程为为特征根为特征根为210 ,r ri 对应齐次方程的对应齐次方程的通解为通解为12( )cossinY xCxCx 作辅助方程：作辅助方程：ixyye i 是特征方程的单根，是特征方程的单根，,ixyAxe 设设求出求出)( ,)( yy代入原方程，代入原方程，比较系数得比较系数得1,2Ai 112xiyixe 则则取虚部，得特解：取虚部，得特解：1cos2yxx 通解为：通解为：121cossincos

14、2yCxCxxx另解：另解：2021/8/625机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 sin(0)0 ,(0)1yyxyy 得得初初值值问问题题：通解为：通解为：121cossincos2yCxCxxx代入初始条件，解得：代入初始条件，解得：1210 ,2CC 11( )sincos22yf xxxx 故故2021/8/626机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：1(1)lim( )xff x 1( )lim(1)(1)xf xxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )lim5(1)xf xx 5 002021/8/627机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: : (2)(2)20sin()limln(1)xxfxx 2220sinsin()1limsinln(1)1xxxfxxxxxxx 301sin()sinlimlimsin1xxxfxxxxxx 2021/8/628机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20sin()limln(1)xx