力学竞赛培训1

1、2021/8/61首届上海市大学生力学竞赛首届上海市大学生力学竞赛理论力学理论力学第一讲第一讲同济大学航空航天与力学学院同济大学航空航天与力学学院王斌耀王斌耀2021/8/62掌握力学的要义掌握力学的要义: :1. 1. 力学建模力学建模: : 从实际问题抽象成力学模型从实际问题抽象成力学模型( (包括受力包括受力分析和运动分析分析和运动分析) )。2. 2. 解决的方法解决的方法: : 用什么定律、定理、公式去求解。用什么定律、定理、公式去求解。 3. 3. 结果分析结果分析: : 判断所得结果的正确性（从基本概念、判断所得结果的正确性（从基本概念、量纲等）。量纲等）。2021/8/63任意

2、力系简化的一般结果任意力系简化的一般结果F2A2AnFnzxy0zxy0M1F1F1A1FRM2F2FnMnzxy0M0附加力偶附加力偶主矢，主矩主矢主矢：,RiFF主矩主矩：),(iOiOFMMM（1 1） 空间任意力系的简化空间任意力系的简化点点O：简化中心：简化中心2021/8/64简化结果讨论简化结果讨论: :2RRFMFhO与简化中心无关与简化中心无关RFMORFFRFRFR2.0RF0OM平移距离平移距离：平移方向平移方向：OMFR的方向的方向0RFMO既0OM1.主矢主矢 而主矩而主矩 0RF3.0, 0ROMFOM（1）RFRFMhO2021/8/65右手力螺旋右手力螺旋左手力

3、螺旋左手力螺旋RFOM（2 2）力螺旋力螺旋M0FR方向一致方向一致OMF与R方向相反方向相反OMF与R2021/8/66OOMFMFR,0,0RRFMORFMO2MO1RFdRFRFMO1MO1RFRFMO12RRR1)(FFFMMOO2RRFMFhOOORsinFMhO2021/8/67RFrMMOOORRFpFrMMOOO)()(RRRRkFjFiFkzj yi xFrzyxOOzxyOzyzxOyxyzOxFyFxFMFxFzFMFzFyFMpRRRRRRRRR)()()(式中：式中：螺旋中心轴的参数方程：螺旋中心轴的参数方程：2021/8/68 边长为边长为b1、b2、b3的长方体顶

4、点的长方体顶点A、B处，分别作用有处，分别作用有大小均为大小均为F的力的力F1、F2。试求最终简化结果。试求最终简化结果。ABb1b2b3F1F2首先任选一点作为简化中心（可选在首先任选一点作为简化中心（可选在其中一个力的作用线上），并建立直其中一个力的作用线上），并建立直角坐标。角坐标。xyz将将 、 分别用基矢量表示为分别用基矢量表示为 1F2F2322321bbkbjbFF2322322bbkbjbFF两力作用点两力作用点A,B相对点相对点A的矢径分别为的矢径分别为01rjbibr2122021/8/69将两力向简化中心点将两力向简化中心点A简化，得主矢与主矩分别为简化，得主矢与主矩分别

5、为:2322321R2bbkFbFFii2322322121)(bbkbjbFjbibFrMiiiA2322213132bbkbbjbbibbFRFMA 以以 是否等于零来判断简化的最后结果。是否等于零来判断简化的最后结果。 因为因为0/223223212RbbbbbFFMARRFF所以这两力必定简化为一个左力螺旋，其中力螺旋的力所以这两力必定简化为一个左力螺旋，其中力螺旋的力 ，)(AM对应的力偶矩对应的力偶矩 的大小为：的大小为：232221RR)(bbbbFFFMMAA2021/8/610RFRF其矢量方位就是力其矢量方位就是力 的方位，负号表明指向与的方位，负号表明指向与 相反，即相反

6、，即kbbbbFFFMMAA232221RR)()(设力螺旋的中心轴通过点设力螺旋的中心轴通过点A，则点则点A相对点相对点A的矢径为：的矢径为： r)(21212RRjbibFMFrA即简化的最后结果是一个中心轴位于即简化的最后结果是一个中心轴位于Az1的左螺旋的左螺旋 ABb1b2b3jikA z1MFR2021/8/611载荷的处理及叠加法载荷的处理及叠加法ABq1q2 b已知：载荷已知：载荷q1与与q2，梁长为梁长为b，试求：支座试求：支座A、B处的力处的力。q1q1+q22021/8/612平衡问题平衡问题 刚体静力学平衡问题的求解体系：刚体静力学平衡问题的求解体系： 未知量（力、位置

7、等）必须不多于未知量（力、位置等）必须不多于独立独立平衡方程的个数。平衡方程的个数。 FEFDxFDy如图所示支架中，杆如图所示支架中，杆AB水平，杆水平，杆AD垂直，垂直，A，C，D处由光滑铰链接，处由光滑铰链接，B，E处为光滑接触，各杆重力不计处为光滑接触，各杆重力不计。已知：已知：F 、 ，试求杆试求杆AD的内力的内力。ABCED bhF x 解解: :取整体取整体 ( (含销钉含销钉) ) 为研究对象为研究对象 0 xF， Fsin - FDx = 0， 0)(FMEFsin h + Fcos (b-x)- FDy b= 0， 得得:FDx = Fsin得得: :FDy = F(hsi

8、n+bcos-xcos)/b2021/8/613取AB为研究对象： 0)(FMA，FB b - Fcos x = 0ABF x FBFAxFAy得:FB = Fxcos/b取BD (含销钉D) 为研究对象： 0)(FMC- (FDA +FDy)b/2 + FDx h/2 - FB b/2 = 0BCDFBFDAFDxFDyFCxFCy得:FDA = -FcosPOABA1B1CDbbbhOABCFAA1FBB1FOFOFA1xFA1y在图示构架中，已知：P，b，h，试求支座O、 A1处的力。解:杆OA 整体 可以得到O处力的方位如图示0iOM031bPhFxA得:PhbFxA310ixF012

9、2xAOFhbbF得:PhhbFO2230iyF0122PFhbhFyAO得:PFyA412021/8/615带摩擦的平衡问题 NsmaxFfFsmaxtanf 在带摩擦的平衡问题中，平衡方程不会失效，但库仑定在带摩擦的平衡问题中，平衡方程不会失效，但库仑定律不一定适用；同时还要考虑倾覆的可能。律不一定适用；同时还要考虑倾覆的可能。FBSFBNFASFANFAS = fs FAN ，FBS = fs FBN 0 xF， Fcos q = fs(FAN + FBN) 0)(FMA12Fcos q+ 25Fsin q + 20FBN - 12FBS - 10P = 0木材重力的大小木材重力的大小P

10、 = 100 kN， 与滑道与滑道A，B处的摩擦因数均为处的摩擦因数均为fs = ，尺寸如图所示。试求能拉出木材的最小力，尺寸如图所示。试求能拉出木材的最小力 的大小和方向。的大小和方向。F312021/8/616 0)(FMB，5Fsin q + 20FAN + 12FAS - 30P = 0 24sin53000NqFFA16)sin25cos12(1000NqqFFB当分母取极大值时有Fmin，故令：0d)sin85cos180d(qqq则18085tan 即 = 25.28时 最小，Fmin = 45.212 kN F48)sin85cos36(9000NNqqFFFBA由Fsin85

11、cos1809000得2021/8/617设杆转动中心O离A距离x0 0)(FMO 0yFLfsLfs F - P(L - x0) + P x0= 0 F(L - x0) - - =0 00dxLSxxfLP00d xSxxfLPFFF 如图所示一均质杆如图所示一均质杆AB重力的大小为重力的大小为100 kN，长，长L = 1 m，平放在水平面上，杆与平面间摩擦因数平放在水平面上，杆与平面间摩擦因数fs = 0.5，今在杆一端，今在杆一端B处作用一垂直于处作用一垂直于AB的水平推力的水平推力 ，在力，在力 作用下杆作用下杆AB将在将在平面上转动。试求：平面上转动。试求： （1）杆）杆AB刚要开

12、始转动的瞬时，其转动中心刚要开始转动的瞬时，其转动中心O距杆端距杆端A的距离的距离x0； （2）能使杆）能使杆AB发生运动的力发生运动的力 的最小值应为多少。的最小值应为多少。2021/8/618LP21LP21F(L - x0) - fs(L - x0)2 - fs x02 = 0F = P fs(L 2x0)L1Fmin = 20.71 kN x0 = L21L ， 取 x0 = 0.292 9 m2021/8/619 如图所示匀质杆如图所示匀质杆AB长长L, , 重力为重力为P，A端与不计重力的滑端与不计重力的滑块铰接块铰接, , B端始终与半径为端始终与半径为L的圆弧面接触。若的圆弧面

13、接触。若A，B两处的静两处的静滑动摩擦因数相同，试求杆能在滑动摩擦因数相同，试求杆能在q q =60=60处静止所需的最小静处静止所需的最小静摩擦因数。摩擦因数。以杆和滑块为研究对象：0)(FMA060cos21SPLLFBFNAFSAPFSBFNB0 xF060sin30sinNSNBBAFFF 0yF060sin30sinNSBBASFFPFBBBFfFFNsmaxSSAAASFfFFNsmax补充：得228. 039. 42s1sff，93. 41sf解以上方程得： 不合理，舍去。 0138s2sff228. 02sf 即为所求最小摩擦因数值。 2021/8/620FNAPFSBFNB

14、0yF060sin30sinNSBBFFP0)(FMA060cos21SPLLFB补充：BBBFfFFNsmaxSS得：247. 0sf2021/8/621解：取杆为研究对象：解：取杆为研究对象： ABDFAxFBSF1FAyFBN 0)(FMA02N1LFLFB1N21FFB得：得：取轮为研究对象：取轮为研究对象：设设 处先滑处先滑 B 0)(FMC02SRFFRBFFB21S欲滑动，应有欲滑动，应有BBBBFfFFNSSS121sFfFB，即即kN FBCPOF1ADLLF 已知如图所示系统中：已知如图所示系统中：L L=25cm=25cm，F F1 1=20kN=20kN， P P =20kN=20kN，B、C处的静摩擦因数分别为处的静摩擦因数分别为f fBs s=0.6=0.6与与f fCs s=0.3=0.3。试求欲拉动滚子。试求欲拉动滚子的力的力 应为多大？应为多大？FBCPOFBSFBNFCSFCN2021/8/622 0yF0NNBCFPFBBFFNN21NFPFC欲滑动，应有欲滑动，应有CCCFfFNsS18)21(21sFPfF，即即kN 0)(FMB021SRFRFC21SFFC若若 kN，既可拉动滚子。既可拉动滚子。 12FCBFN设设 处先滑，对杆处先滑，对杆 不变不变 以上两个例子说明：对平衡问题平衡方程不会失效，以上