【创新设计】2011届高三数学一轮复习 5-5数列的综合应用随堂训练 理 苏教版

1、第第 5 5 课时课时 数列的综合应用数列的综合应用 一、填空题一、填空题 1 1一套共一套共 7 7 册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为 14 03514 035， 则出齐这套书的年份是则出齐这套书的年份是_ 解析：设出齐这套书的年份是解析：设出齐这套书的年份是x x，则，则( (x x12)12)( (x x10)10)( (x x8)8)x x14 03514 035，x x2 2 011.011. 答案：答案：2 0112 011 2 2数列数列 a an n 前前n n项和项和S Sn n与通项与通项a a

2、n n满足满足S Sn nnanan n2 2n n2 22 2n n( (n nNN* *) )，则，则a a1010a a100100的值为的值为 _ 解析：解析：S Sn nnanan n2 2n n2 22 2n n， 当当n n22 时，时，S Sn n1 1( (n n1)1)a an n1 12(2(n n1)1)2 22(2(n n1)1) 得得a an nnanan n( (n n1)1)a an n1 12(22(2n n1)1)2 2， 整理得整理得a an na an n1 14 4， 即， 即 a an n 为公差为为公差为4 4 的等差数列，的等差数列， a a10

3、10a a100100(100(10010)410)4360.360. 答案：答案：360360 3 3数列数列 x xn n 满足满足x x1 11 1，x x2 22 23 3，且，且1 1x xn n1 11 1x xn n1 12 2x xn n( (n n2)2)，则，则x xn n等于等于_ 解析：由解析：由x x1 11 1，x x2 22 23 3，1 1x xn n1 11 1x xn n1 12 2x xn n( (n n2)2)得：得：1 1x xn n1 1x xn n1 11 1x xn n1 11 1x xn n， 1 1x xn n1 1x xn n1 1 组成组

4、成 常数列，首项常数列，首项1 1x x2 21 1x x1 11 12 2，1 1x xn n1 1x xn n1 11 12 2，1 1x xn n1 1x x1 1n n1 12 21 1n n1 12 2n n1 12 2，x xn n2 2n n1 1. . 答案：答案：2 2n n1 1 4 4设设 a an n 是首项为是首项为 1 1 的正项数列，且的正项数列，且( (n n1)1) nana2 2n na an n1 1a an n0(0(n n1,2,31,2,3，)，则它的，则它的 通项公式是通项公式是a an n_._. 解析：解析：( (n n1)1) nana2 2

5、n na an n1 1a an n0 0，即为，即为( (a an n1 1a an n)()(n n1)1)a an n1 1nanan n 0 0， 而而a an n0 0，a an n1 10 0，a an n1 1a an n00，(n n1)1)a an n1 1nanan n0 0，即，即a an n1 1a an nn nn n1 1， a an na a1 1a a2 2a a1 1a a3 3a a2 2a a4 4a a3 3a an na an n1 1111 12 22 23 33 34 4n n1 1n n1 1n n. . 答案：答案： 1 1n n 5 5( (

6、苏州市高三教学调研测试苏州市高三教学调研测试) )命题命题P P：“在等比数列在等比数列 a an n 中，若中，若a a4 42 2a a1010a a( ( ) )6464，则数列，则数列 a an n 的前的前 1111 项的积项的积T T1111为定值为定值”由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题P P是真命是真命 题，则可推得括号处的数为题，则可推得括号处的数为_ 解析：由等比数列性质有解析：由等比数列性质有a a1 1a a1111a a2 2a a1010a a2 26 6，所以，所以T T1111a a1 1a a2 2a a111

7、1a a11116 6，若命题，若命题P P为为 真命题，则真命题，则有有| |a a6 6| |为定值，为定值，a a4 42 2a a1010a an n( (a a6 6q q4 4) )4 4a a6 6q q4 4a a6 6q qn n6 6a a6 66 6q qn n18186464，所以当，所以当n n1818 时，时， | |a a6 6| |2 2 为定值为定值 答案：答案：1818 6 6( (江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷) )若数列若数列 a an n(n nNN* *) )的递推关系式为如下的伪代码所的递推关系式为如下的伪代码所 示，则示

8、，则a a2 0102 010_._. 解析：由题意，得数列解析：由题意，得数列 a an n 的递推关系式为的递推关系式为a a1 16 67 7，a an n1 1 2 2a an n ( (00a an n11) )，a a1 1n n ( (a an n11) ). . 所以所以a a2 212127 7，a a3 35 57 7，a a4 410107 7，a a5 53 37 7，a a6 66 67 7. .由此，数列由此，数列 a an n 的项的大小具有周期性，且的项的大小具有周期性，且 周期为周期为 5.5.又又 2 0102 01040254025，所以，所以a a2 0

9、102 010a a5 53 37 7. . 答案：答案：3 37 7 7 7( (江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷) )将给定的将给定的 2525 个数排成如图所示的数表，若每行个数排成如图所示的数表，若每行 5 5 个个数按从左至右的顺序构成等比数列， 每列的数按从左至右的顺序构成等比数列， 每列的 5 5 个数按从上到下的顺序也构成等比数列，个数按从上到下的顺序也构成等比数列， 且表正中间一个数且表正中间一个数a a33331 1，则表中所有数之积为，则表中所有数之积为_ 解析：特值法处理，不妨令表中各数均为解析：特值法处理，不妨令表中各数均为 1 1，显然是符合

10、题设要求的一个数表，这时，显然是符合题设要求的一个数表，这时， 表中各数之积为表中各数之积为 1 1，所以所求的答案为，所以所求的答案为 1.1. 答案：答案：1 1 二、解答题二、解答题 8 8一个球从一个球从 100 m100 m 高处自由落下，每次着地后跳回到原高度的一半再落下，当它第高处自由落下，每次着地后跳回到原高度的一半再落下，当它第 1010 次着地时，共经过的路程是多少？次着地时，共经过的路程是多少？( (精确到精确到 1 m)1 m) 解：由题意知，球第一次着地时经过的路程是解：由题意知，球第一次着地时经过的路程是 100 m100 m，从这时到球第二次着地时共经过，从这时到

11、球第二次着地时共经过 了了 221001002 2 m m，从这时到球第三次着地时共经过，从这时到球第三次着地时共经过 221001002 22 2 m m，到第到第 1010 次时应为次时应为 221001002 29 9 m.m. S S1010100100221001002 2221001002 22 2221001002 29 9100100100100 1 11 12 21 12 28 8 100100100100 1 11 12 29 91 11 12 2300(m)300(m)即共经过的路程为即共经过的路程为 300 m.300 m. 9 9假设某市假设某市 20082008 年

12、新建住房年新建住房 400400 万平方米，其中有万平方米，其中有 250250 万平方米是中低价房预计在万平方米是中低价房预计在 今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.8%.另外，每年新建住房中，另外，每年新建住房中， 中低价房的面积均比上一年增加中低价房的面积均比上一年增加 5050 万平方米那么，到万平方米那么，到哪一年年底哪一年年底 (1)(1)该市历年所建中低价房的累计面积该市历年所建中低价房的累计面积( (以以 20082008 年为累计的第一年年为累计的第一年) )将首次不少于将首次不少于 4 7504 7

13、50万万 平方米？平方米？ (2)(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.(1.0885%.(1.085 51.47)1.47) 解：解：(1)(1)设中低价房面积构成数列设中低价房面积构成数列 a an n ，由题意可知，由题意可知 a an n 是等差数列是等差数列 其中其中a a1 1250250，d d5050，则，则S Sn n250250n nn n( (n n1 1) )2 250502525n n2 2225225n n. . 令令 2525n n2 2225225n n4 7504 750

14、，即，即n n2 29 9n n19001900，而，而n n是正整数，是正整数，n n10.10. 到到 20172017 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 7504 750 万平方米万平方米 (2)(2)设新建住房面积构成数列设新建住房面积构成数列 b bn n ，由题意可知，由题意可知 b bn n 是等比数列其中是等比数列其中b b1 1400400，q q1.081.08， 则则b bn n4001.084001.08n n1 1. .由题意可知由题意可知a an n0.850.85b bn n， 有， 有 25

15、0250( (n n1)501)504001.084001.08n n1 10.85.0.85. 由由 1.081.085 51.471.47 解得满足上述不等式的最小正整数解得满足上述不等式的最小正整数n n6 6， 到到 20132013 年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.85%. 1010( (江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷) )已知数列已知数列 a an n 中，中，a a1 11 12 2，点，点( (n,n,2 2a an n1 1a an n) )在直

16、线在直线 y yx x上，其中上，其中n n1,2,31,2,3，. (1)(1)令令b bn na an n1 1a an n1 1，求证：数列，求证：数列 b bn n 是等比数列；是等比数列； (2)(2)求数列求数列 a an n 的通项；的通项； (3)(3)设设S Sn n、T Tn n分别为数列分别为数列 a an n 、 b bn n 的前的前n n项和，是否存在实数项和，是否存在实数，使得数列，使得数列 S Sn nTTn nn n为为 等差数列？若存在，求出等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 (1)(1)证明：由已知得：证明：由已知得

17、：a a1 11 12 2，2 2a an n1 1a an nn n，a a2 23 34 4，a a2 2a a1 11 13 34 41 12 21 13 34 4， 又又b bn na an n1 1a an n1 1，b bn n1 1a an n2 2a an n1 11 1， b bn n1 1b bn na an n2 2a an n1 11 1a an n1 1a an n1 1a an n1 1n n1 12 2a an nn n2 21 1a an n1 1a an n1 1a an n1 1a an n1 12 2a an n1 1a an n1 11 12 2， b

18、bn n 是以是以3 34 4为首项，以为首项，以1 12 2为公比的等比数列为公比的等比数列 (2)(2)解：由解：由(1)(1)知，知，b bn n3 34 4 1 12 2n n1 13 32 21 12 2n n，a an n1 1a an n1 13 32 21 12 2n n， a an na an n1 11 13 32 21 12 2n n1 1，a an n1 1a an n2 21 13 32 21 12 2n n2 2， a a3 3a a2 21 13 32 21 12 22 2，a a2 2a a1 11 13 32 21 12 2， 将以上各式相加得：将以上各式相加

19、得：a an na a1 1( (n n1)1)3 32 2 1 12 21 12 22 21 12 2n n1 1， a an na a1 1n n1 13 32 21 12 2 1 11 12 2n n1 11 11 12 21 12 2( (n n1)1)3 32 2 1 11 12 2n n1 13 32 2n nn n2 2， a an n3 32 2n nn n2.2. (3)(3)存在存在2 2，使数列，使数列 S Sn nTTn nn n是等差数列是等差数列 由由(1)(2)(1)(2)知，知，S Sn nTTn nn nn n( (n n1 1) )2 22 2n n2 2T

20、 Tn nTTn nn nn n3 32 22 2n nT Tn n， 又又T Tn nb b1 1b b2 2b bn n3 34 4 1 11 12 2n n1 11 12 23 32 2 1 11 12 2n n3 32 23 32 2n n1 1， S Sn nTTn nn nn n3 32 22 2n n 3 32 23 32 2n n1 1， 所以当且仅当， 所以当且仅当2 2 时， 数列时， 数列 S Sn nTTn nn n是等差数列是等差数列 1 1已知正数组成的等差数列已知正数组成的等差数列 a an n 的前的前 2020 项的和为项的和为 100100，那么，那么a a

21、7 7a a1414的最大值为的最大值为_ 解析：由解析：由S S2020100100 得得a a1 1a a20201010，a a7 7a a141410.10.又又a a7 70 0，a a14140 0， a a7 7a a1414 a a7 7a a14142 22 225.25. 答案：答案：2525 2 2用分期付款的方式购买一批总价为用分期付款的方式购买一批总价为 2 3002 300 万元的住房，购买当天首付万元的住房，购买当天首付 300300 万元，以后万元，以后 每月的这一天都交每月的这一天都交 100100 万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为 1%.1%.若从首付若从首付 300300 万万 元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月， 问分期付款的第元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月， 问分期付款的第 1010 个月应付多少万元？个月应付多少万元？ 全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解：购买时付款解：购买时付款 300300 万元，则欠款万元，则欠款 2 0002 000 万元，依题意分万元，依题意分 2020 次付清，则每次交付欠