【创新设计】2011届高三数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 北师大版

1、(能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题)8.9 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系1直线与椭圆的位置关系及判断方法直线与椭圆的位置关系及判断方法(1)直直线和椭圆有三种位置关系：相交、相切、相离；线和椭圆有三种位置关系：相交、相切、相离； (2)直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：yk kxm，椭圆方程：椭圆方程： 1(ab0)，两方程联立消去，两方程联立消去y可得：可得：Ax2BxC0，其判别式为其判别式为B24AC.当当0时，直线与椭圆时，直线与椭圆 ；

2、 当当0时，直线与椭圆时，直线与椭圆 ； 当当0时，直线与椭圆时，直线与椭圆 相交相交相切相切相离相离2直线与抛物线的位置关系及判断方法直线与抛物线的位置关系及判断方法(1)直线和抛物线有三种位置关系：直线和抛物线有三种位置关系：相交相交(两个公共点或一个公共点两个公共点或一个公共点)；相离；相离(无公共点无公共点)；相切；相切(一个公共点一个公共点)(2)直线和抛物线的位置关系的判断：设直线方程：直线和抛物线的位置关系的判断：设直线方程：yk kxm，抛物线方程：抛物线方程：y22px，两方程联立消去，两方程联立消去y可得方程：可得方程：Ax2BxC0，若若A0，则直线与抛物线的对称轴平行或

3、重合；，则直线与抛物线的对称轴平行或重合；若若A0，其判别式为，其判别式为b24ac.当当0时，直线与抛物线相交；时，直线与抛物线相交；当当0时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线相切；当0时，直线与抛物线相离时，直线与抛物线相离1P(4,2)是直线是直线l被椭圆被椭圆 1截得的线段的中点，则截得的线段的中点，则l的方程是的方程是() Ax2y0 Bx2y40 C2x3y40 Dx2y80 解析：解析：设线段两端点坐标分别为设线段两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，则有 1， 1，得，得 (x1x2)(x1x2) (y1y2)(x1y2)0.，又又(4,2)是是 AB

4、的中点，的中点， 2.即即x1x28，y1y24.代入代入式，式，得得 8(x1x2) 4(y1y2)0，整理得，整理得k k ， 则则l的方程为的方程为y2 (x4)x2y8 0.答案：答案：D2过过椭圆椭圆3x24y248的左焦点引斜率为的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于的直线交椭圆于AB两点，则两点，则|AB|等于等于()解析：解析：由由3x24y248得得 1，a216，b212，则，则c 2.过左焦点过左焦点F(2,0)斜率为斜率为1的直线方程为的直线方程为yx2，代入代入3x24y248整理得：整理得：7x216x320，设，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|(aex1)

5、(aex2)2ae(x1x2)8答案：答案：C3顶点在原点，焦点在顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点轴上的抛物线经过点(3，2 )，过焦点且倾斜角为，过焦点且倾斜角为45的直线与抛物线交于的直线与抛物线交于M、N两点，则两点，则|MN|等于等于()A. B8 C16 D8解析：解析：设所求抛物线方程为设所求抛物线方程为y22px(p0)，根据已知条件，根据已知条件126p，2p4，则所求抛物线方程为则所求抛物线方程为y24x，|MN| 8.答案：答案：B4若抛物线若抛物线y22px(p0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和和6，则该点的横坐标

6、是则该点的横坐标是_解析：解析：设所求点的坐标为设所求点的坐标为(x0,6)，则，则622p(10 )，解得，解得p2或或p18.当当p2时，可求得时，可求得x09，当，当p18时，可求得时，可求得x01.答案：答案： 1或或9以椭圆为例，将椭圆方程以椭圆为例，将椭圆方程 1与与yk kxm联立可得到一元二次方程联立可得到一元二次方程Ax2BxC0(1)若直线若直线yk kxm过椭圆的右焦点，与椭圆相交于过椭圆的右焦点，与椭圆相交于M，N两点，两点，则则|MN|FM|FN|2ae(x1x2)【例【例1】 P、Q、M、N四四点都在椭圆点都在椭圆 1上，上，F为椭圆在为椭圆在y轴正半轴上的轴正半轴

7、上的焦点已知焦点已知 共线，共线， 共线，且共线，且 0.求四边形求四边形MQN的面积的最小值和最大值的面积的最小值和最大值解答：解答：如如图，由条件知图，由条件知MN和和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且，且PQMN，直线，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为的斜率为k k.又又PQ过点过点F(0,1)，故，故PQ方程为方程为yk kx1. 将此式代入椭圆方程得将此式代入椭圆方程得(2k k2)x22k kx10. 设设P、Q两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则则x1 ， x2

8、 从而从而|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2 即即|PQ| ， (1)当当k k0时，时，MN的斜率为的斜率为 ，同上可推得，同上可推得|MN|.故四边形面积故四边形面积S|PQ|MN|令令uk k2 ，得，得S 因为因为uk k2 2，当且仅当，当且仅当k k1时，时，u2，S ，且，且S是以是以u为自变量的增函数，所以为自变量的增函数，所以 Sb0)由已知得由已知得所求椭圆方程为所求椭圆方程为 y21.(2)由由题意知直线题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线l的方程为的方程为yk kx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由由 ，消去，消去y得关于得关于x的方程：的方程：

9、(12k k2)x28k kx60，由直线由直线l与椭圆相交于与椭圆相交于A、B两点，两点，064k k224(12k k2)0，解得，解得k k2 .又由韦达定理得又由韦达定理得|AB|原点原点O到直线到直线l的距离的距离d .SAOB ，令令m (m0)，则，则2k k2m23.S当且仅当当且仅当m ，即，即m2时，时，Smax ，此时，此时k k 所求直线方程为所求直线方程为 x2y40.解决弦中点问题有两种方法：一是利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐解决弦中点问题有两种方法：一是利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造关系；二是利用弦端点在曲线上，坐标满足曲线方程，用点差

10、法标公式来构造关系；二是利用弦端点在曲线上，坐标满足曲线方程，用点差法构造出中点坐标和斜率的关系构造出中点坐标和斜率的关系 (1)求求过点过点O、F，并且与椭圆的左准线，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；相切的圆的方程；(2)设过点设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，两点，线段线段AB的垂直平分线与的垂直平分线与x轴交于点轴交于点G，求点，求点G横坐标的取值范围横坐标的取值范围解答：解答：(1)a22，b21，c1，F(1,0)，l：x2.圆圆过点过点O、F，圆心圆心M在直线在直线x 上上设设M( ，t)，则圆半径，则圆半径r|( )(2)| .由

11、由|OM|r，得，得 ，解得，解得t ，所求圆的方程为所求圆的方程为(x)2(y)2 【例【例2】 如如图，已知椭圆图，已知椭圆 y21的左焦点为的左焦点为F，O为坐标原点为坐标原点(2)设直线设直线AB的方程为的方程为yk k(x1)(k k0)，代入，代入 y21，整理得整理得(12k k2)x24k k2x2k k220.直线直线AB过椭圆的左焦点过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点中点N(x0，y0)(如图所示如图所示)，则，则x1x2 y0k k(x01) AB的垂直平分线的垂直平分线NG的方程为的方程为yy0 令

12、令y0，得，得xGx0k ky0 k k0，xG0时，恒有时，恒有|OA|OB|.解答：解答：(1)设设P(x，y)，由椭圆定义可知，点，由椭圆定义可知，点P的轨迹的轨迹C是以是以 (0， )，(0， )为焦为焦点，长半轴为点，长半轴为2的椭圆它的短半轴的椭圆它的短半轴b 1，故曲线，故曲线C的方程为的方程为x21. (2)设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足，其坐标满足 消去消去y并整理得并整理得(k k24)x22k kx30，故，故x1x2 x1x2 若若OAOB，即，即x1x2y1y20.而而y1y2k k2x1x2k k(x1x2)1，于是，于是x1x2y1y2 10，

13、化简得，化简得4k k210，所以所以k k (3)|OA|2|OB|2 3(x1x2)(x1x2) 因为因为A在第一象限，故在第一象限，故x10.由由x1x2 知知x20.又又k k0，故，故|OA|2|OB|20，即在题设条件下，即在题设条件下，恒有恒有|OA|OB|. 变式变式3.(原创题原创题)已知椭圆方程为已知椭圆方程为 1(ab0)，过椭圆焦点过椭圆焦点F(c，0)的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于P、Q两点，两点，R点为点为P点关于点关于x轴的对称点，且轴的对称点，且A( ，0)，试证试证R、Q、A三点共线三点共线证明：证明：如图，设直线如图，设直线PQ的方程为的方程为yk(x

14、c)，代入代入 1整理得整理得(a2k k2b2)x22a2ck k2xa2c2k k2a2b20.4a4k k4c24(a2k k2b2)(a2c2k k2a2b2)4a2b4(k k21)0.设设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则则 1解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，若根若根 据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻底有效的方法；据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻底有效的方法；若两交点若两交点 的坐标不好表示，可将直线方程的坐标不好表示，可将直线方程yk kxc代入椭圆方程代入椭圆方程 1

15、整理出整理出 关于关于x(或或y)的一元二次方程的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC0，可利用根与系，可利用根与系数之间的关系求弦长数之间的关系求弦长(弦长为弦长为 )； 【方法规律方法规律】2弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题求弦长可注意弦是否求弦长可注意弦是否 过椭圆焦点；过椭圆焦点；弦的中点问题还可利用弦的中点问题还可利用“点差法点差法”和对称法；和对称法；解决解决AOBO，可以利用向量，可以利用向量AOBO的充要条件是的充要条件是AOBO0. (2009辽宁辽宁)(本小题满分本小题满分12分分)已已知椭圆知椭圆C经过点经过点A

16、，两个焦点为两个焦点为(1，0)、(1,0)(1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2)E、F是椭圆是椭圆C上的两个动点，如果直线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线的斜率与直线AF的斜率互为相反的斜率互为相反数，证明：直线数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值的斜率为定值，并求出这个定值【考卷实录考卷实录】(1)由由已知条件已知条件c1,2a 4，即，即a2，则，则b2a2c23.因此所求椭圆方程为因此所求椭圆方程为 1.(2)设设AE直线方程为直线方程为y k k(x1)，即，即yk kx k k代入代入 整理得：整理得：(4k k23)x24k k(32k k)x(32k k)2120.设设E(x1，y1)，F(x2，y2) 则则x1 将将k k换为换为k k可得可得x2 【答题模板答题模板】y1y2k k(x1x2)2k k，点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册2009年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题：直线年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题：直线EF的斜率应该等于椭圆的斜率应该等于椭圆 在在A处切线斜率的相反数，解决问题的处切线斜率的相反数，解决问题