【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第2单元 2.3 函数的奇偶性与周期性随堂训练 理 新人教A版

1、2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则() Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)解析：由已知条件函数f(x)在(，0)上递增，在0，)上递减，因此f(1)f(2)f(3)，又f(x)为偶函数，即f(1)f(2)f(3)答案：A2f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A2 B3 C4 D7解析：f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，f(5)f(2)0；f(1)f(2)0；则f(1

2、)0，即f(1)0；f(4)f(1)0；又f(0)0，f(3)f(0)0，f(1.5)f(1.5)f(1.5)，f(1.5)0，则f(4.5)f(1.5)0，因此在区间(0,6)上，f(1)f(1.5)f(2)f(3)f(4)f(4.5)f(5)0.解的个数的最小值为7.答案：D3若函数f(x)x2(aR)，则下列结论正确的是()A任意aR，f(x)在(0，)上是增函数 B任意aR，f(x)在(0，)上是减函数C存在aR，f(x)是偶函数 D存在aR，f(x)是奇函数解析：当a0时，f(x)x2是偶函数，故选C.答案：C4对于定义在R上的任一奇函数f(x)，均有()Af(x)f(x)0 Bf(

3、x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0解析：f(x)f(x)，f(x)·f(x)f2(x)0.答案：A二、填空题5若函数f(x)loga(x)是奇函数，则a_.解析：f(x)是奇函数，f(0)0，即loga(|a|)0，则|a|1，且a>0，a1，因此a.答案：6已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)af(x)bg(x)2，且F(2)5，则F(2)_.解析：f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数f(x)f(x)，g(x)g(x)，F(2)F(2)af(2)bg(2)2af(2)bg(2)2af(2)bg(2)2af(2)+bg(2)24，又

4、F(2)5，F(2)4F(2)451.答案：17设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：根据已知条件f(1x)f(x)，且f(x)f(x)，f(x)f(1x)，即f(1x)f(x)则f(0)f(0)，即f(0)0，f(1)f(0)0，f(2)f(1)0，f(3)f(2)0，f(4)f(3)0，f(5)f(4)0，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.答案：0三、解答题8已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(x)在1,1上的解析式；(2)证明f(x)在(0,1)上

5、是减函数解答：(1)只需求出f(x)在x(1,0)和x±1，x0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x(1,0)时，x(0,1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，由f(0)f(0)f(0)，且f(1)f(21)f(1)f(1)，得f(0)f(1)f(1)0.在区间1,1上有f(x)(2)证明：当x(0,1)时，f(x).设0<x1<x2<1，f(x1)f(x2).0<x1<x2<1，2x22x1>0,2x1x21>0.f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(0,1)上单调递减9已知函

6、数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解答：(1)证明：令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数(2)任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.10已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明

7、理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求实数a的取值范围解答：(1)函数f(x)的定义域为x|x0，当a0时，f(x)x2，(x0)显然为偶函数，当a0时，f(1)1a，f(1)1a因此f(1)f(1)，且f(1)f(1)所以函数f(x)x2既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(x)2x，当a0，f(x)0，则f(x)在(2，)上是增函数，当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)在2，)上是增函数，可知2.解得0a16综上可知实数a的取值范围是(，161函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则() Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) D

8、f(x3)是奇函数解析：由已知条件对xR都有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)因此f(x3)f(x2)1f(x2)1f(x1)f(x1)f(x21)f(x3)，因此函数f(x3)是奇函数答案：D2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求f(0)的值；(2)证明：函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)x(0x1)，求xR时，函数f(x)的解析式解答：(1)由f(x)是定义在R上的奇函数知f(0)f(0)，即f(0)0.(2)证明：由已知条件对于任意xR，都有f(x)f(x)，且f(2x)f(x)f(4x)f(2x)f(2x)f(x)f(x)，因此函数f(x)为周期函