山西省太原四十八中2016年高考数学模拟试卷(3)(共24页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年山西省太原四十八中高考数学模拟试卷（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数为纯虚数，则实数a=（）A2BC2D2下列命题中的假命题是（）AxR，2x10BxR，tanx=2CxR，lgx1DxN*，（x1）203已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），nN*，则f2015（x）=（）Asinx+cosxBsinxcosxCsinxcosxDsinx+cosx4函数y=xcos

2、x+sinx的图象大致为（）ABCD5已知N（3，a2），若P（2）=0.2，则P（4）=（）A0.2B0.3C0.7D0.86在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30°B60°C120°D150°7阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则处应填（）An5Bn6Cn7Dn88ABC中，角A、B、C所对应的边分别a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A2BCD19已知f（x）是偶函数，它在0，+）上是减函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围是（）A（，1）B（

3、0，）（1，+）C（，10）D（0，1）（10，+）10某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种A24B48C96D11411设O是ABC的外接圆圆心，且，则AOC=（）ABCD12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有3f（x）+xf（x）0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0的解集（）A（2018，2015）B（，2016）C（2016，2015）D（，2012）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上）13展开式中的常数项为14

4、已知（3x2+k）dx=16，则k=15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且ABC的面积的最大值为，则此时ABC的形状为16设函数的图象为C，有下列四个命题：图象C关于直线对称：图象C的一个对称中心是；函数f（x）在区间上是增函数；图象C可由y=3sin2x的图象左平移得到其中真命题的序号是 三、解答题（17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知cos（x）=，x（，）（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值18为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得

5、的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12（）求该校报考飞行员的总人数；（）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望19在梯形ABCD中，ABCD，CD=2，ADC=120°，cos（）求AC的长；（）若AB=4，求梯形ABCD的面积20已知ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，（ba）（sinB+sinA）=（bc）sinC（）求sinB的值；（）求ABC的面积21设函数f（

6、x）=xmlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范围选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值选修4-4：坐标系与参数方程23（2016太原校级模拟）【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（

7、2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲24（2016太原校级模拟）设函数f（x）=|x+a2|+|xb2|，其中a，b为实数，（1）若a2+b22a+2b+2=0，解关于x的不等式f（x）3；（2）若a+b=4，证明：f（x）82016年山西省太原四十八中高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数为纯虚数，则实数a=（）A2BC2D【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=为纯虚数

8、，2a1=0，2+a0，解得a=故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题2下列命题中的假命题是（）AxR，2x10BxR，tanx=2CxR，lgx1DxN*，（x1）20【考点】全称命题；特称命题【专题】简易逻辑【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断命题的真假，全称命题要包含全称量词，特称命题要包含特称量词，我们逐一分析四个命题易得到答案【解答】解：对于A，根据指数函数的性质可知，选项A为真命题，对于B，根据正确函数的性质可知，选项B为真命题，对于C，根据对数函数的性质可知，选项C为真命题，对于D，当x=1时，（x1）2=0，故选项D为假命题，故选：D【点评】本题

9、考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，命题的真假判断与应用，要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个满足条件的例子即可，这是提高本题解答速度和准确度的重要方法3已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），nN*，则f2015（x）=（）Asinx+cosxBsinxcosxCsinxcosxDsinx+cosx【考点】导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】求函数的导数，确定函数fn（x）的周期性即可【解答】解：f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=f1（x）=cosxsinx，f

10、3（x）=f2（x）=sinxcosx，f4（x）=f3（x）=cosx+sinx，f5（x）=f4（x）=sinx+cosx，fn+4（x）=fn（x），即fn（x）是周期为4的周期函数，f2015（x）=f2014（x）=f2（x）=sinxcosx，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键4函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排

11、除选项B，由当x=时，当x=时，y=×cos+sin=0由此可排除选项A和选项C故正确的选项为D故选D【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题5已知N（3，a2），若P（2）=0.2，则P（4）=（）A0.2B0.3C0.7D0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】概率与统计【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，a2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，得到P（4）=1P（2），得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，a2），=3，得对称轴是x=3P（2）=0.2，P（4）=1P（2）=0.8

12、故选D【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=，并在x=时取最大值 从x=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的6在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30°B60°C120°D150°【考点】余弦定理的应用【专题】综合题【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A【解答】解：sinC=2sinB，c=2b，a2b2=bc，co

13、sA=A是三角形的内角A=30°故选A【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题7阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则处应填（）An5Bn6Cn7Dn8【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【解答】解：第一次循环，s=0+21=2，n=1+1=2，进入下一次循环；第二次循环，s=2+22=6，n=2+1=3，进入下一次循环；第三次循环，s=6+23=

14、14，n=3+1=4，进入下一次循环；第四次循环，s=14+24=30，n=4+1=5，进入下一次循环；第五次循环，s=30+25=62，n=5+1=6，进入下一次循环；第六次循环，s=62+26=126，n=6+1=7，循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n6，故选：B【点评】本题主要考查了含循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题8ABC中，角A、B、C所对应的边分别a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A2BCD1【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公

15、式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，sin（B+C）=sinA，sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=1故选：D【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题9已知f（x）是偶函数，它在0，+）上是减函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围是（）A（，1）B（0，）（1，+）C（，10）D（0，1）（10，+）【考点】函数单调性的性质；偶函数【专题】函数的性质及应用【分析

16、】利用偶函数的性质，f（1）=f（1），在0，+）上是减函数，在（，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围【解答】解：f（x）是偶函数，它在0，+）上是减函数，f（x）在（，0）上单调递增，由f（lgx）f（1），f（1）=f（1）得：1lgx1，x10，故答案选C【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用10某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种A24B48C96D114【考点】排列、组合的实际应用【专题】应用题；分类讨论；综合法；排列组合【分析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（

17、2，2，1）两种，计算出每一种的，再排除A、B住同一房间，问题得以解决【解答】解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，当为（3，1，1）时，有C53A33=60种，A、B住同一房间有C31A33=18种，故有6018=42种，当为（2，2，1）时，有A33=90种，A、B住同一房间有C31C32A22=18种，故有9018=72种，根据分类计数原理共有42+72=114种，故选：D【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于中档题11设O是ABC的外接圆圆心，且，则AOC=（）ABCD【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题；转化思想；向量法

18、；综合法；平面向量及应用【分析】可设外接圆的半径为r，而由便可得到，两边平方，进行数量积的运算便可求出cosAOC的值，根据向量夹角的范围便可得出AOC的值【解答】解：设圆O的半径为r，则：由得，；即r2+4r2+4r2cosAOC=3r2；故选：B【点评】考查三角形外接圆的概念，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有3f（x）+xf（x）0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0的解集（）A（2018，2015）B（，2016）C（2016，2015）D

19、（，2012）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】根据条件，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g（x）=x2（3f（x）+xf（x）；3f（x）+xf（x）0，x20；g（x）0；g（x）在（，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（3）=27f（3）；由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0得：（x+2

20、015）3f（x+2015）27f（3）；g（x+2015）g（3）；x+20153，且x+20150；2018x2015；原不等式的解集为（2018，2015）故选A【点评】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上）13展开式中的常数项为70【考点】二项式定理的应用【专题】二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【解答】解：二项式（x2+）4可化为=，分子

21、中含x4的项为，故常数项为=70，故答案为：70【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，配方是关键，属于中档题14已知（3x2+k）dx=16，则k=4【考点】定积分【专题】计算题；函数思想；综合法；转化法；导数的概念及应用【分析】将（3x2+k）dx利用定积分公式写出8+2k的形式即可求得k=8【解答】解；由（3x2+k）dx=（x3+kx）=8+2k，即8+2k=16，k=4，故答案为：4【点评】本题主要考察定积分的计算，属于基础题15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且AB

22、C的面积的最大值为，则此时ABC的形状为等腰三角形【考点】正弦定理【专题】解三角形；不等式的解法及应用【分析】由（acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，结合sinC0，化简可得sinC=，由a+b=4，利用基本不等式可得ab4，（当且仅当a=b=2成立），由ABC的面积的最大值SABC=，即可解得a=b=2，从而得解ABC的形状为等腰三角形【解答】解：（acosB+bcosA）=2csinC，（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，sinC=2sin2C，且sinC0，sinC=，a+b=4，可得：4，解得：ab

23、4，（当且仅当a=b=2成立）ABC的面积的最大值SABC=，a=b=2，则此时ABC的形状为等腰三角形故答案为：等腰三角形【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查16设函数的图象为C，有下列四个命题：图象C关于直线对称：图象C的一个对称中心是；函数f（x）在区间上是增函数；图象C可由y=3sin2x的图象左平移得到其中真命题的序号是 【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】综合题；压轴题【分析】对于，先根据诱导公式进行化简，将代入到函数f（x）中得到f（）的值为最小值，可判断直线是的一条对称轴，从而正确

24、；对于，将x=代入到函数f（x）得到f（）为函数f（x）的一个最大值，进而可知不是的对称中心，不正确；对于，根据f（）=0，f（）=3可判断函数f（x）在区间上不是增函数，可知不正确；对于根据左加右减的原则进行平移可知将y=3sin2x的图象左平移得到得图象不是函数f（x），故不正确【解答】解： =3sin（2x）将代入到函数f（x）中得到f（）=3sin（）=3sin（）=3直线是的一条对称轴，故正确；将x=代入到函数f（x）中得到f（）=3sin（）=3sin=3不是的对称中心，故不正确；f（）=3sin0=0，f（）=3sin（+）=3，故函数f（x）在区间上不是增函数故不正确；将y=3

25、sin2x的图象左平移得到y=3sin2（x+）=3sin（2x+）f（x）故不正确，故答案为：【点评】本题主要考查正弦函数的基本性质对称性、单调性的应用和三角函数的平移，三角函数的平移的原则是左加右减，上加下减三、解答题（17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知cos（x）=，x（，）（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】（1）利用x的范围确定x的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x）的值，进而根据sinx=sin（x）+利用两角和公式求得答案（2）利

26、用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案【解答】解：（1）因为x（，），所以x（），sin（x）=sinx=sin（x）+=sin（x）cos+cos（x）sin=×+×=（2）因为x（，），故cosx=sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x1=所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力18为了解今年某校高三毕业班

27、准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12（）求该校报考飞行员的总人数；（）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为x，2x，3x，由频率分布直方图的性质求出第2小组的频数为12，频率为2x=0.25，由此能

28、求出该校报考飞行员的总人数（）体重超过60公斤的学生的频率为0.625，X的可能取值为0，1，2，3，且XB（3，0.625），由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为x，2x，3x，则x+2x+3x+（0.037+0.013）×5=1，解得x=0.125，第2小组的频数为12，频率为2x=0.25，该校报考飞行员的总人数为： =48（人）（）体重超过60公斤的学生的频率为10.125×3=0.625，X的可能取值为0，1，2，3，且XB（3，0.625），P（X=0）=（0.375）3=0.，P（X=1）=0.，P（X=2）=0

29、.，P（X=3）=0.，X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0. 0. 0. 0.EX=3×0.625=1.875【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用19在梯形ABCD中，ABCD，CD=2，ADC=120°，cos（）求AC的长；（）若AB=4，求梯形ABCD的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）在ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（）在ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD22ADCDcos120°，解得AD，过点D作DEAB

30、于E，则DE为梯形ABCD的高在直角ADE中，可求DE=ADsin60°，即可由梯形面积得解【解答】解：（）在ACD中，cosCAD=，sinCAD=由正弦定理得：，即AC=2（）在ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD22ADCDcos120°，整理得AD2+2AD24=0，解得AD=4过点D作DEAB于E，则DE为梯形ABCD的高ABCD，ADC=120°，BAD=60°在直角ADE中，DE=ADsin60°=2=6即梯形ABCD的面积为6【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性

31、质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，（ba）（sinB+sinA）=（bc）sinC（）求sinB的值；（）求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2a2=bc，由余弦定理得cosA，结合范围0A，可求A的值，由，可求sinC，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值（）在ABC中，由正弦定理可求c，由三角形面积公式即可得解【解答】解：（）由正弦定理可得（ba）（b+a）=（bc）c，即b2+c2a2=bc，由余弦定理得，又0A，所以；因为，所以所以s

32、inB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=（）在ABC中，由正弦定理，得，解得，所以ABC的面积【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查21设函数f（x）=xmlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）f（x）=1+=，转化为x2mx+10，在x0时恒成立，根据对钩函数求解

33、即可（2）根据导数判断单调性得出f（x）的最大值=f（e）=em，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1，把问题转化为f（x）的最大值h（x）的最小值，求解即可【解答】解：函数f（x）=xmlnx（1）定义域上为（0，+），f（x）=1+=，函数f（x）在定义域上为增函数，x2mx+10，在x0时恒成立即xm在x0时恒成立，根据对钩函数得出m2，故m的范围为：m2（2）函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成，即f（x）的最大值h（x）的最小值，f（x）的最大值=f（e）=em，h（x）=10，x1，e，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1，可以

34、转化为em1，即me1，m的范围为：me1【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是求解导数，判断单调性，属于难题选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）先由角相等CPD=ABC，D=D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于ACD=APC，CAP=CAP，从而得出两个三角形相似：“APCACD”结合相似三角形的对应边成比例即得APAD的值【解答】解：（1）CPD=ABC，D=D，DPCDB