随机过程课件学习教案

1、会计学1随机随机(su j)过程课件过程课件第一页，共78页。2第2页/共78页第二页，共78页。3222225.1 ,0, 1XE XD XP XE XP XE X 定理契比雪夫不等式 ：设随机变量 具有数学期望方差 则对于任意都有：定理的为：等价形式 ,f x证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为 xP Xf x dx则 22xxf x dx 221xf x dx222D X( )f x第3页/共78页第三页，共78页。4nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.76

2、0.750.01XPP Xnnn(2)20.187510.01nn 187510.90n 18750n(1)7500,0.740.760.750.01XnPP Xnnn20.187510.01nn 187510.757500 第4页/共78页第四页，共78页。5 1235.1,0,0,nnnY Y Yalim P YaYaPYan 。定义：设随机变量序列若存在某常数 ， 使得均有： 则称随机变量序列依概率收敛于常数 ， 记为：aaa第5页/共78页第五页，共78页。61221115.2,1,01limlim1.1.nnnkknnknnknPkkXXXnYXnP YPXnXn 定理契比雪夫定理的

3、特殊情形 ： 设随机变量序列相互独立，且具有相同的数学期望 和相同的方差，作前 个随机变量的算术平均： 则，有： 即，111,nnkkE YEXnnn证明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn第6页/共78页第六页，共78页。712115.3,101limlim1.nnnkknnknnkXXXnYXnP YPXn 定理辛钦定理 ： 设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且存在数学期望 ，作前 个随机变量的算术平均： 则，有： 契比雪夫大数定律表明，当n很大时，的算术平均 接近于数学(shxu)期

4、望 。这种接近是在概率意义下的接近。11nkkXn12,nXXX此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布(fnb)时，就不需要这一要求。第7页/共78页第七页，共78页。8112111,( 1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn设随机变量相互独立同分布，则（），（ ），（ ）分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？1111222112111,(),(),()111nnnnnnkkkkkkXXE XXXE XXXE XXXXnnn解：由辛钦大数定律，相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,故，均依概率收敛。1()0,

5、E X因为，11nkkXn P故，0，111(),E Xxdx11同理，2212211(),E Xxdx112311nkkXn P1，2211nkkXn P1。3第8页/共78页第八页，共78页。95.4 ,0,1AAnApnnnAlim Ppn 定理贝努里大数定理 设事件 在每次试验中发生的概率为 ，记为 次独立重复试验 中 发生的次数 则有：,Anb n p证明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEE nnppnnn20,1AnpqPpnn 于是，有2211AAnpqDD nnpqnnnn1Annlim Ppn即得：第9页/共78页第九页，共78页。10第10页/共78页第十页，共78

6、页。115.5 定理独立同分布的中心极限定理210,1 .(,),nniinYNXN nn此定理表明，当 充分大时，近似服从即：（近似）11niiXXn思考题：的近似分布是什么？2( ,)Nn答案：2122112,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXE XD XiXnnYnXnxRlim P Yxlim Pxedtn 设随机变量X相互独立同分布，则前 个变量的和的标准化变量为：有： 证明略。1()()().niibnanP aXbnn 从而，第11页/共78页第十一页，共78页。125.6 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.4,(1)2tbAnannplim P abedtnpp由

7、定理1 0 iiAXiA第 次试验时 发生证明：令第 次试验时 未发生 2201 ,1,lim,(1)2AtbAnannAP Appnnpa bP abedtnpp设为 次贝努里试验中 发生的次数，则对任何区间，有：12, (1, ).niXXXXbp则相互独立同分布,12,AnnXXX由于() (,(1).AnN np npp即:近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 第12页/共78页第十二页，共78页。13121616,XXX解：记只电器元件的寿命分别为16116iiXX则只电器元件的寿命总和为,2100,100iiE XD X由题设16116 10016000,1

8、4 100400iiXXYN根据独立同分布的中心极限定理: 近似服从 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 第13页/共78页第十三页，共78页。14200P X,10000,0.017b n pnp解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案： 0.937第14页/共78页第十四页，共78页。15400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP X

9、P Xnpq ,400,0.02 b解：设机器出故障的台数为X 则X，分别用三种方法计算：1. 用二项分布计算40039921011 0.98400 0.02 0.980.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似计算400 0.028 21011 0.0003350.0026840.9969npP XP XP X 查表得3. 用正态分布近似计算第15页/共78页第十五页，共78页。1612012020202111,( 1,1)111123202020kkkkkkXXXUXXX设随机变量相互独立同分布，。分别求（），（ ），（ ）的近似分布。2020202111111202020kkkk

10、kkXXX解：由中心极限定理，均近似服从正态分布。1()0,E X因为，1(),E X1221(),E X1314(),12D X132011(0,),20kkXN近似16022111()() (),D XE XE X1122011( ,)20kkXN近似11，2 2402422111()() (),D XE XE X1145945211( ,)nkkXNn近似11。3 225第16页/共78页第十六页，共78页。17nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn0.760.750.740.750.740.76

11、()()0.18750.1875nnnnXPnnn (2)18750n 契比雪夫不等式估计。(1)7500,0.740.76XnPn0.760.750.740.75()()0.18750.1875nnnnnn 0.042 () 12 (2) 10.95443n 0.042 () 10.9,3n 0.04()0.95,3n 20.041.645,(25 1.645)350743nn 第17页/共78页第十七页，共78页。18第18页/共78页第十八页，共78页。19互相(h xing)关函数互协方差函数正态过程独立增量过程泊松过程维纳过程第19页/共78页第十九页，共78页。20( ), ( )

12、,eX e Y e12( ),( ),( ),neX e XeXe12( ),( ),),eX e Xe( ),eX e( , ) (,),eX e tt X一维即随机变量(, )X Y即二维随机变量12(,)XX 即随机序列12(,)nXXXn维即随机变量( ),(,)X t t 即随机过程第20页/共78页第二十页，共78页。21,( , )Tet X e t为参数集，对固过程定的 和称为的状态；( , )X e t 所有可能的值状的全体称为态空间；( , )( )X e tX t今后将简记为( , ),tX e t eS tTe对于随机过程进行一次试验，即 给定，它是 的函数，称为随机过

13、程的样本函数。( , ),( , ),TX e t eS tTetSTtT X e tX e t eS tT定义：设 是一无限实数集，是对应于 和 的实数， 即为定义在 和 上的二元函数。 若此函数对任意固定的是一个随机变量， 则称是随机过程；第21页/共78页第二十一页，共78页。22 1( ) ,()( )2 ( ),cos tHX ttP HP TtTX t t 当出现，其中当出现则是一随机过程。,( )t X tcos tt解：对任意固定的是随机变量，取值为和1234( )X t1( )X t2( )Xtt1( )( )2P X tcos tP X tt12( ),( )X tcos

14、t Xtt此随机过程的样本函数只有两个，即第22页/共78页第二十二页，共78页。232 ( )(),(0,2 )X tcostt 例 ：考虑式中 和 是 正常数, 是在上服从均匀分布的随机变量, 这是一个随机过程。 ,( )(),t X tcost 对每一固定的时刻是随机变量 的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是-.(0,2 ),( )(),x tcost在内随机取一数相应的就得到一个样本函数这族样本函数的差异在于它们相位 的不同,故这一随机相位过程称为正弦波。第23页/共78页第二十三页，共78页。243( ) , 0,1( )X tVcos ttVX t 例 ：设其中 是常数；在上服

15、从均匀分布,则是一个随机过程。 ( )0,1( ).tX tVcos tVcos tvx tvcos t对每一固定的 ，是随机变量 乘以常数，故也是随机变量,对上随机变量取一 值,就得到相应的一个样本函数第24页/共78页第二十四页，共78页。254120( )0,0( )( ),00,1,2,.X tttX tX t t例 ：设某城市的急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。 以表示时间间隔内接到的呼叫次数， 它是一个随机变量，且对于不同的，是不同 的随机变量，于是是一随机过程，且它的 状态空间是1t2t3t4t1t2t4t3t14231( )x t2( )x t( )x tt 第25页/共78

16、页第二十五页，共78页。16(1)(1)1,2, (),1,.,6,1nnnnXnnnXP XiiXn 设是第 次抛掷的点数，对于的不同值，是随机变量，服从相同的分布， 因而构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,它的状态空间为 1,2,3,4,5,6 。(2) ,11,2,3,4,5,6nnYnY n设 是前 次抛掷中出现的最大点数,也是 一随机过程，它的状态空间仍是。 下面分别给出它们的一条样本函数：n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny第26页/共78页第二十六页，共78页。2712,2,( ),()nnTttn tX tXXXX

17、X n t 对于随机相位正弦波，若只在时间集上观察，就得到随机序列是连续型随机变量。第27页/共78页第二十七页，共78页。28分布函数两种描述特征数() 一随机过程的分布函数族1212121211221212(2,3,), ,( ),( ),( ),1,2,( , ,)( ),( ),( )( ),( ,; , ,) ( ),nniXnnnnXnnin nt ttTnX tX tX txR inFx xxt ttP X tx X txX txX t tTFx xx t tttTX t tnnT一般地，对任意个不同的时刻，维随机变量的分布函数：；，称为随机变量的称为的维分布函数维分布函数族12

18、12( ,; , ,),1,2, ( ),XnniFx xx t ttntTX t tT有限维分布一般地，称为随机过程的它完全确定了随机过程函数族的统计特性( ),( , )( )( ),( , ),XXX t tTtTFx tP X txxRX t tTFx t tT一 设随机过程对每一固定的，称为随机过程的维分布函数一称为维分布函数族第28页/共78页第二十八页，共78页。2912cos 1( ) ,()( ),2 ( )(1)( ;0)( ;1); (2) ( ,;0,1)tHX ttP HP TtTX tF xF xF x x 出现，设出现试确定的： 一维分布函数 ，二维分布函数 。1

19、 (0)0 HXT出现解：（1）出现 0 01( ;0) 012 1 1xF xxx故1 (1)1 HXT出现出现 0 11( ;1) 112 1 1xF xxx 故第29页/共78页第二十九页，共78页。30cos 1( ) ,()( )2 tHX ttP HP TtT 出现，。出现1, 1 2(0),(1)0, 1 HXXT出现（ ）出现121211212212120 11, 01( ,;0,1) 01,1111 11xxxxF x xxxxxxx 且或或故或，1 且1234( )X t1( )X t2( )Xtt1x2x第30页/共78页第三十页，共78页。312( ),0,130,(

20、)442X tVcos t tVtX t 例 ：设随机过程， 在上均匀分布 求在时的密度函数。 ,0,tcos tacos t解：对给定的 若记，( )X taV则的密度函数为： 1 011 ;0 XVxxaafx tfaa其他01acos1 01;00 Xxfx于是 其他2,42acos22 0;240 Xxfx其他23,42acos 22 03;240 Xxfx其他1,acos 1 10;0 Xxfx 其他0,2acos012P X第31页/共78页第三十一页，共78页。32 3.( )cos()(, )0,( )2X tataUtX t 例 随机相位正弦波，其中 ，是常数，。求在时的概率

21、密度。1,( )20,f解： 的概率密度其它aa,( ,0)(0)(arccos)(arccos)axaF xP XxxxPPaa 当时2(arccos)2xax22(0)1,( )0,Xaxafxax 所以，其它第32页/共78页第三十二页，共78页。33aax0,( ,)()22(arccos)(arccos)22xaF xP XxxxPPaa 当时2(arccos)2xa22()21,( )0,Xaxafxax 所以，其它22( )1,( )0,X taxatfxax 事实上，对于一切的 ，其它0,( ,)23(arccosarccos)22axF xxxPaa 当时第33页/共78页第

22、三十三页，共78页。34 4.01,2,3,.,xtotx例随机游动。设有一质点在 轴上作随机游动，在时位于原点 ，在时质点可在 轴上正向或反向移动一个单位距离，作正向移动一个单位距离的概率为p，作反向移动一个单位距离的概率为q=1-p。求经过n次移动，质点处于位置k的概率。11(1)(1)1iiiiiXXP XpP Xqp 解：设质点第 次移动的距离为，可取，也可取，。0 x010nnnniitnYYYXY设质点在时处于位置 ，则是随机变量，而。.第34页/共78页第三十四页，共78页。35.:111111111(1)(1)(1)(1)1nYYP YP XpP YP Xqp 当时，质点的位置

23、为或，而，第35页/共78页第三十五页，共78页。36222121222, 0,2,(2)(1,1)(1) (1)nYP YP XXP XP Xp当时，质点的位置为而，212121212(0)(1,1)(1,1)(1) (1)(1) (1)2P YP XXP XXP XP XP XP Xpq ，221212(2)(1,1)(1) (1)P YP XXP XP Xq，,2,4,.(4), (2),nnYn nnnnn依次类推，当移动 次时，质点的位置为。第36页/共78页第三十六页，共78页。3711iinmmXnmnmX 若在 次移动中有次质点正向移动，即有次，则有次质点作反向移动，即有次。1

24、( 1)()( 1)2,2nniiYXmnmmnknkm此时，于是，。222()n kn kn kmmn mnnnP YkC p qCpqmnknkn因此，。由于 是一整数，故 与 同为奇数或偶数，且。第37页/共78页第三十七页，共78页。38 0005.( )( 2, 1, 1, 2)( )2( )11( )1( )240(0,)TTX tP X tP X tP X tP X ttuT 例设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为 的脉冲信号，每隔送出一个脉冲。脉冲幅度是一个随机变量，它可取四个值，且取这四个值的概率是相等的，即，不同周期内脉冲幅度是相互独立的，脉冲的起始时间相对于原点（

25、）的时间差 为均匀分布在内的随机变量。试1212( )( ),( )ttX tX tX t求在两个时刻 ， ，该过程所取值的联合分布律。第38页/共78页第三十八页，共78页。39u0T0T0T0T0T12Att解：设事件 表示 ， 处于同一脉冲周期内。121212( ),( )( ),( ) ( )( ),( ) ( )P X ti X tjP X ti X tj A P AP X ti X tj A P A样本(yngbn)函数x(t)第39页/共78页第三十九页，共78页。40120( )0ttTP A当时，1201101101(, )ttTttTtuU tT t当时，设 为 所在脉冲的

26、起始时刻，则，且由于 是服从均匀分布，从而， 也是服从均匀分布 0T1t2t0T1t2t1212( ),( )( ) ( )111,1, 2.4416P X ti X tjP X ti P X tji j 第40页/共78页第四十页，共78页。41120121212( ),( )( ),( ) ( )( ),( ) ( )ttTP X ti X tjP X ti X tj A P AP X ti X tj A P A于是，当时，12201202120100( )()()1ttP AP tTttTttP tTtTT 当时，1222101210200( )()()1ttP AP tttTttP t

27、TtTT 当时，121200( )1( )ttttP AP ATT 合起来，。121211200( ) ()(1( ) ( )ttttP X tiijP X ti P X tjTT)1212001,11()(1(,1, 2; ().0,416ijttttiji jijijTT ),第41页/共78页第四十一页，共78页。4222222( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) XXXXXXXX t tTtE X ttE XttDtEX tttt均值函数,均方值函给定随机过程-数,方差函数,标准差函数.各数字特征之间的关系如下：(二二) 随机过程随机过程(guchng)

28、的数字特征的数字特征12121212121122,( , )( )( )( , )( ),( ) ( )( )( )( )( )XXXXXXt tTRt tE X t X tCt tCov X tX tEX ttX tt自相关函数,自协方又设任意差函数. 2,XXXtRt t 121212,XXXXXXCt tRt ttt 22,XXXXXXtCt tRt tt12121212( , )( , )( , )( , )XXXXXXRt tCt tRt tCt t注：、也简记为、。第42页/共78页第四十二页，共78页。432( ), ( )( )X t tTtT E XtX t定义： 随机过程，

29、若对每一都存在， 则称是， 二阶矩过程的均值函数和相关函数总二阶矩过程 是存在的。1212( ),1, , ( ),( ),( )( ),nnX t tTnt ttTX tX tX tnX t tT定义： 是一随机过程，若它的每一个有限维分布 都是正态分布，即对任意整数及任意服从 维正态分布， 则称是正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数正态过程所确定。第43页/共78页第四十三页，共78页。44, ( )3 , ,1,4 ,0,2 ,( )A BX tAtB tTA BANBUX t 例6：设是两个随机变量，试求随机过程:的均值函数和自相关函数。如果相互独立，且问的均值函数和

30、自相关函数又是怎样的？ ( )( )XtE X t解： ( )3 ( )tE AE B1212( , )( )( )XRt tE X t X t221 21212()3() ()9 () ,t t E AttE ABE Bt tT1,4 ,0,2ANBU当时，224( )1,()5,( )1,()3E AE AE BE B,A B又因为独立，()( ) ( )1E ABE A E B故121 21212( )3,( ,)53()12 ,XXttRt tt tttt tT 第44页/共78页第四十四页，共78页。45( )() , (0, 2 )X tacosttU 例7：求随机相位正弦波的均值

31、函数、方差函数和自相关函数。 1 022 0 f解：由假设 的概率密度为：其他1212( , )( )( )XRt tE X t X t( )( )XtE X t于是E acost20102acostd212()()E a costcost221()2acostt221201()()2acostcostd2122ttacos22( )( , )( )XXXtRt tt2( , )2XaRt t第45页/共78页第四十五页，共78页。46211sin()sin()sin()sin ,24242Etttt12( )sin(),11(1)(2)()242( )( )( , )XXX tVttVP V

32、P VPX ttRt t 例8：设随机过程，是相互独立的随机变量，,求的均值函数与自相关函数。12121212121211sin()sin()sin()sin()sin()sin()244244111cos()cos()sin()sin()cos()2442442Etttttttttttt 235111112,14,222222EVEV 解：3 2( )( )sin()sin4XtEX tEVEtt2121212125( , )( )( )sin()sin()cos()4XRt tE X t X tEV Etttt第46页/共78页第四十六页，共78页。4722( ), ,(0,)( )X t

33、ABtCttA B CNX t 例9：设其中是相互独立,且都服从正态分布的随机变量， 试证明是正态过程,并求它的均值函数和自相关函数。 ( )X t解：是正态过程111,( )( )nnnuuu X tu X t对任意一组数 服从一维正态分布.21122111( )( )( )nnnnnii ii iiiiu X tu X tu X tAuButCut而, ,( , ,)A B CA B C因为是相互独立的正态变量，故是三维正态变量，( )X t所以是正态过程.11,( ),( )nnttTX tX tn对任意一组实数服从 维正态分布,2111, ,nnnii ii iiiiAuBututA

34、B CC是的线性组合，因此它服从一维正态分布，续续第47页/共78页第四十七页，共78页。48下面计算均值函数和自相关函数:( )( )( )()()()0,E AE BE CE ABE ACE BC因为2222()()()E AE BE C2( )XtE ABtCt故2( )( )( )0E AE B tE C t1212( , )( , )XXCt tRt t221122()()E ABtCtABtCt2221 212(1)t tt t第48页/共78页第四十八页，共78页。49 1.01,2,3,.,(1)(1)1iiinniinxtotxiXP XpP XqpYXY 例10 随机游动。

35、设有一质点在 轴上作随机游动，在时位于原点 ，在时质点可在 轴上正向或反向移动一个单位距离，设质点第 次移动的距离为，。经过n次移动，质点所处位置。求 的均值函数和自相关函数。11( )(),nnYniiiinEYEXEXn pq解：11112( ,)()1 (1)() ,nmnmYnmijijijijRn mEY YEXXEX Xnmpqnm第49页/共78页第四十九页，共78页。50( ), ( ),( ), ( )( ), ( ) X t Y ttTtT X t Y tX t Y ttT 设是依赖于同一参数的随机过程，对于不同的()是不同的二维随二机变量，称为维随机过程(三三) 二维随机

36、二维随机(su j)过程的分布函数和数字特征过程的分布函数和数字特征1212121212121212( ), ( ) , ,; , ,( ),( ),( ); ( ), ( ),()( ,; , ,;,; , ,)nmnmnnmmX t Y ttTt tt t ttTnmX tX tX tY tY tY tF x xxt tty yyt ttnm 给定二维随机过程，是 中任意两组实数，则维随机变量的分布函数：称为二维维分随机过程的布函数.12121212( ), ( ) , ,; , ,( ),( ),( )( ), ( ),()( )( )nmnmX t Y ttTn mt ttT t tt

37、TnX tX tX tmY tY tY tX tY t 给定二维随机过程，对任意的正整数，任意的数组维随机变量与 维随机变量相互独立，称随机过程和是相互独立的.第50页/共78页第五十页，共78页。51( ), ( )X t Y t关于数字特征，除了各自的均值函数和自相关函数，还有如下两个数字特征:1212( ), ( ),( , )0,( )( )XYX t Y tt tTCt tX tY t如果二维随机过程对任意的恒有称和是不相关的。121212121212( , )( ) ( ) ,( , ) ( )( ) ,XYYXRt tE X t Y tt tTRt tE Y t X tt tT互

38、相关函数12112212121212121212( , )( )( ) ( )( ) ( , )( )( ) ,( , )( , )( )( ) ,XYXYXYXYYXYXYXCt tEX ttY ttRt tttt tTCt tRt tttt tT互协方差函数第51页/共78页第五十一页，共78页。5212121212121212( )( ), ( ),( )( ),( ),( ),( , ),( , ),( , ), ( , ),( , ),( , )( ),( , ).XYZXYZXYYZZXWWW tX t Y t Z ttttRt tR t tRt tRt tRt tRt ttRt

39、t例11：随机过程是三个随机过程之和， 已知，求 ( )( )( )( )W tX tY tZ t解：( )( )( )( )WXYZtttt12121212( , )( , )( , )( , )WXYZRt tRt tR t tRt t121212( , )( , )( , )XYYXXZRt tRt tRt t121212( , )( , )( , )ZXYZZYRt tRt tRt t12121212( , )( , )( , )( , )WXYZRt tRt tR t tRt t则( )( )( )0XYZttt若特，别的， ( ), ( ),( )X t Y t Z t 两两不相关

40、1212( , )( )( )0,XYXYRt ttt即1212( , )0,( , )0XZYZRt tRt t第52页/共78页第五十二页，共78页。53( ),0,0( )( )X t ts tstX tX ss t给定二阶矩过程，对，若称随机变量为随机上过程在区间的增量；01102110,( )( ),( )( ),( )()( ),0nnnntttnX tX tX tX tX tX tX t t对任意选定的正整数 和任意选定的个增量相互独立，称为独立的增量过程；0,()()( )( )( )( )(0)(0)hshthX thX shX tX stsstX tX sX tsX 若对任

41、意的实数，与同分布，称；称相应的独立增量过程是这时，增量与同相同增量具有平稳性齐次的。，只依赖于。它具有“在互不重叠的区间上，状态的增量是相互独立”的这直观地说，一特征；第53页/共78页第五十三页，共78页。54( ),0(0)0,X t tX若是独立增量过程，且则： ( )( )( ) (01. ) X tX tX sst的有限维分布函数族可以由增量的分布所确定；121212121111121211, , ( ),( ),( )( )(0),( )( )( )(0),.,( )()( ),( ),( )( )(0),( )( ),( )() nnnniiinnnnt tttttX tX t

42、X tX tXX tX tX tXX tX tX tX tX tX tXX tX tX tX t事实上，对任意的 及任意的，不妨设,则：即的分布函数可由：的分布函数确定第54页/共78页第五十四页，共78页。55 ( )( , )( ,2.)XXXDtCs tDmin s t设已知，则( )(0),( )( ) ( )(0)CovX sXX tX sX sX,( , )( ),( )XstCs tCov X sX t证明：设则 0( )( )XD X sDs,( , )( )XXtsCs tDt同理当时 可证得( )(0),( )( )( )(0)CovX sXX tX sD X sX第55页

43、/共78页第五十五页，共78页。56( ) 00,( ),0N tttN t t以表示在时间间隔内出现得质点数，是一状态取非负整数、时间连续的随机过程，称为计数过程。000000( , )( )( ) 0,( , )( , ) 0,1,2kN t tN tN tttt tP t tP N t tkk记，它表示时间间隔内出现的质点数，其概率记为：5t4t3t2t1t( )N t等间隔的不等间隔的第56页/共78页第五十六页，共78页。57( )N t定义：计数过程满足如下条件强度为 的，称作泊松过程。1. 在不相重叠的区间上的增量具有独立性；1,( ,)( ,)1() 2. ,( ) t P t

44、 ttP N t tttotN t 对于充分小的其中常数称为的强度；22 (3. ,),()jjjtP t ttP N t ttjot对于充分小的，；(04.0 )N 。第57页/共78页第五十七页，共78页。58000,0P t ttP N t tt证明：0()00000( )()( , ), 0,1,2,!,()kt tkN ttteP t tP N t tkkkN t ttt 若是强度为 的泊松过程，则：即000,P t t P t tt条件10,0P N t tN t tt000000,P t ttP t tP t ttot 即0,0,0P N t tN t tt2 300,1P t

45、ttot 条件 ，0000,dP t tP t tdt 00000( , )0( , )1,N t tP t t由即为初始条件0()000( , ) t tP t tett解得：0tt 等式两边除以，令，得：续续第58页/共78页第五十八页，共78页。590( , ) 1kP t tk 再来计算00( ,),kP t ttP N t tN t ttk00,kjP N t ttj P N t tkj00010( ,)( , ),kkkkP t ttP t tP t tPt ttot 0011002,kkkjkjjP t tt P t tP t tt Pt tP t tt Pt t0101,kkt

46、otP t ttotPt tot 0tt 两边除以，令，得：00100, kkkdP t tP t tPt tttdt 续续第59页/共78页第五十九页，共78页。6000100, kkkdP t tP t tPt tttdt 01001000,0,.t tP t tP t tttett初始条件，可得，0010100,1, ttt tde P t tkedtP t ttc ett令，于是00100, kttkkdP t teP t te Pt tttdt等价地，010,tktkde P t te Pt tdt续续第60页/共78页第六十页，共78页。61证毕证毕0100101(),(1)!kt

47、tktkkttde P t te Pt tedtk利用数学归纳法，设时命题成立，则000(),!kttktte P t tc ek从而，010,tktkde P t te Pt tdt00,0,1, kP t tk初始条件就可求得：00()000(), , !0,1,2kt tkttP t tP N t tkettkk第61页/共78页第六十一页，共78页。62000( , )N t ttttt ，增量的概率分布是参数为 ()的泊松分布由，且只与时间差有关，所以强度为 的泊松过程是一齐次的独立此可见增量过程。000( ),0 2. 0,( )( ) 3. (0)0( ),0N t tttN t

48、N tttNN t t 泊松过程也可用另一形式定义： 若计数过程满足下列三个条件：1. 它是独立增量过程对任强度为意的增量则称是一的泊松过程第62页/共78页第六十二页，共78页。63强度为 的泊松过程的数字特征： 0001. ,E N t tE N tN ttt； 00002. ,000 ,NND N t tD N tN ttttNtE N tt DtD N tt， 特别地，由假设，可得：；3. , ,0NNCs tDmin s tmin s ts t，； 24. , ,0NNNNRs tCs tstmin s tsts t，。第63页/共78页第六十三页，共78页。64( ),0(5)4;

49、(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5)4(12)9;(5)(5),(5),(5),(12).N t tP NP NNNP NNP NNE ND NCov NN例12：设服从强度为 的泊松过程，求(1) (2) (3) 45(1) P54(5 )4!Ne解： (2) 54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3P NNNP NNNNN4522.534.5(5 )4!(2.5 )2!(4.5 )3!eee第64页/共78页第六十四页，共78页。65 (5) EN(5)=5 ,55 ,D N(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4

50、P NNP NNN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9P NNP NNP N57(12)(5)5(7 )5!P NNe (5)4(12)(5)5(12)9P NP NNP N 455749 449912(5 )4!(7 )5!551.1212(12 )9!eeCe (5),(12)55 .Cov NND N第65页/共78页第六十五页，共78页。66 ,0N tt有关强度为 的泊松过程的几个问题 1 nnnWWnWft等待时间的分布设是第 个质点出现的等待时间，下面给出的概率密度 ： 0,nnWnWFtP WtP N tnnttn 的分布函数 即第 个质点出现的时间内至少 个

51、质点出现 0!0 0nktWk nk ntP N tketFtkt于是 111 0!1 !0 0nnnWnk kkkWtttk nk nWftdFttktteeetdtkknt 因此，的概率密度为：,nWn从即服分布。第66页/共78页第六十六页，共78页。67 102 1,2, 01iiiTWWiWii各质点间时间间隔分布记， 称为相继出现的第个质点和第 个质点的点间间距。 11 00 0tWWetftt特别地，质点首次出现地等待时间服从指数分布： 11iiTit下面来求的分布，设第个质点出现的时刻为，,1,2,iT i 即点间间距序列服从同一个指数分布。111iiiP TtP N ttN t 00 0itiTetTftt于是的概率密度为： 1 exp() t 0 0 0iiTP TttFtt则第