电动力学典型试题分析

1、典型试题分析1、证明题：1、试由毕奥沙伐尔定律证明B 0证明：由式：B0J x'r dv'0J x'1 dv '又 知 ：4r 34r' 11B40J x'dv 'A 式中J x'， 因 此r由J xx' dv'rrA0J4rBA0 所以原式得证。2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式 EA.t证：在一般的变化情况中，电场 E 的特性与静电场不同。电场E 一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发， 后者所激发的电场是有旋的。 因此在一般情况下， 电场是有源和有旋的场， 它不可能单独用一个标势来描述。

2、 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。BA式代入EB得：EA0 ，该式表示矢量 EA 是无旋ttt场，因此它可以用标势A。因此，在一般情况下电场的表描述， Et示式为： EA . 。即得证。t3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式ll 01v 2c 2。答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿 x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过P1 点（第一事件）与前端经过P2 点（第二事件）相对于同时，则P1P2 定义为上测得的物体长度。物体两端在 上的坐标设为x1'和 x2' 。在上 P1 点的坐

3、标为x1 ， P2 点的坐标为x2 ，两端分别经过P1 和 P2 的时刻为t1t2。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得x1'x1vt1 , x2'x2vt2 ， 两 式 相 减 ， 计 及 t1 t2， 有1v21v2c2c2x2'x1'x2x1* .式中 x2x1 为上测得的物体长度 l（因为坐标 x1和 x2是在1v2c2上同时测得的）， x2'x1'为 上测得的物体静止长度 l 0 。由于物体对 静止，所以对测量时刻''v2。t1和 t2没有任何限制。由 * 式得 l l 0 12c4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系

4、E.答：由于静电场的无旋性，得：Edl0设 C1 和C2 为由 P1点到 P2点的两条不同路径。 C1与 C2 合成闭合回路，因此EdlEdl0C1C2即EdlEdl因此，电荷由C1C2P1点移至 P2点时电场对它所作的功 与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电P2荷由 P1点移至 P2 , 电场 E 对它所作的功为：Edl , 这功定义为 P1点和 P2 点的电P1P2势差。若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，P2P1Edl 由P1这定义，只有两点的电势差才有物理意义， 一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为dl的两点的电势差为dEdl .由于ddxdydzdl ， 因此，电场

5、强度E 等于电势的负梯度xyzE.5、试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程2 Aj 。答：已知恒定磁场方程B0J（1）（在均匀线性介质内），把BA(2)代入（1）得矢势 A 的微分方程AJ. 由矢量分析公式AA2 A.若取 A 满足规范条件A0 ，得矢势 A 的微分方2AJ.程A06、试由电场的边值关系证明势的边值关系21.211n证：电场的边值关系为：nE2E10, $， * 式可写为D 2nD1n nD 2D1. *式中 n 为由介质 1指向介质2的法线。利用D及,可用标势将 E E表为：21.21n1势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程2。答：已知静电场方程为：E0, (

6、1) 并知道 ED.(2)性介质中， DE ，将（ 3）式代入（ 2）得2于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。E( x)( x)0答：麦克斯韦方程组E(x)B xtB x0B x0 j xE x0 0t.(3) 在均匀各向同性线，为自由电荷密度。表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场， 因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。 这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到， 在真空的无源区域， 电荷密度和电流密度均为零， 在这样的情形下， 对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到2 E( x)B x ，再把第四个

7、方程对时间求t导，得到B x002 E x，从上面两个方程消去B x，得到tt 2t2 E x0 02 E x0。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是t 21c.009、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件nE2E10; nD2D1; nB2B10.DdsdVSV解： 即： SnD 2SnD1S.nD 2D1fD 2 nD1n对于磁场 B，把B ds0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上S推导可得： B2nB1n即： nB2B1 0作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ，短边边长为l ' 。因为 E dl0 ，作沿狭长矩

8、形的 E的路径积分。由于l ' 比 l小得多，当l '0 时， E 沿 l ' 积分为二级小量，忽略 沿 l '的路 径 积 分 ， 沿 界 面 切 线 方 向 积 分 为 ： E2 t l E1tl 0 即：E2 tE1t0, * 。 * 可以用矢量形式表示为：E2E1 t0 式中 t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线方向单位矢量为 t ' ，它与界面相切，显然有t n t '#将#式代入 式，则E2E1n t '0, $，利用混合积公式AB CCAB ，改写 # 式为： t 'E2 E1n0 此式对任意 t

9、' 都成立，因此E2E1n0 ，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程2 Ek 2 E0答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有D E, BH ，把时谐电磁波的电场和磁场方程：EB,t方程组HD , 消去共同因子 e iwt 后得Dt0,B0.E x,tE x eiwt ,B x, t代入麦氏B x e iwt .Eiw H ,H iw E, 在此注意一点。E 0,H0.在 w0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于E 0 ，因而 H 0 ，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频

10、率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。取第一式旋度并用第二式得E w2E由EE2 E2 E ，上式变为2 Ek 2 E0, 此为亥姆霍兹方kw.程。11、试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下， 导体内的电场线总是平行于导体表面。证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内 E10，而：n ( E2E1 )0, nE20, 故E0垂直于导体表面。（ 2）导体中通过恒定的电流时，导体表面f0.导体外 E20,即：D20 。而： n( D2D1 )f 0,即： n D1n0 E10，n E10 。

11、 导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。12、设 A和是满足洛伦兹规范的矢势和标势， 现引入一矢量函数 Z x, t （赫兹矢量），若令Z,证明 A1Z .c 2t证明： A和满足洛伦兹规范，故有1Ac2t0.Z代入洛伦兹规范，有：1Z 0,即A1ZA2c2tctA1Z .c 2t2、计算题：1、真空中有一半径为R0 接地导体球，距球心为a aR0处有一点电荷Q，求空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷Q ' 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性， Q' 应在 OQ 连线上。关键是能否选择 Q' 的大小和位置使得球面上0 的条件使得满足？考虑到

12、球面上任一点。边界条件要求QQ '0.式中 r 为 Q 到 P 的距离，Prr 'r '为 Q '到 P的距离。因此对球面上任一点，应有r 'Q '常数。（1）由图可看rQ出，只要选 Q'的位置使OQ'P OPQ,则r 'R0常数。（ 2）设 Q'距球心为b ， 两 三 角 形 相 似 的 条 件 为arbR0, 或bR02Q'R0Q.(4) （3）和（ 4）式确R0a. 3 由（ 1）和（ 2）式求出aa定假想电荷 Q'的位置和大小。由 Q 和镜象电荷 Q' 激发的总电场能够满足在导体面上

13、 0 的边界条件，因此是 空 间 中 电 场 的 正 确 解 答 。 球 外 任 一 点 p 的 电 势 是 ： 1 QR0 Q1QR0Q式中 ra4 0 rar '40R2a 22Ra cosR2b 22Rbcos为由 Q 到 P 点的距离， r '为由 Q'到 P 点的距离， R 为由球心 O 到 P 点的距离，为OP与OQ的夹角。2、两金属小球分别带电荷 和 ，它们之间的距离为 l ，求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。B1P eikRsine ,解：可知赫兹振子激发的电磁场：40 c3 R（取球坐标原

14、点在1EP eikRsine .40 c 2 R电荷分布区内，并以 P 方向为极轴，则可知 B 沿纬线上振荡， E 沿径线上振荡。）。赫 兹振子辐射的平均能流密度为：1*c*c2p22S2 Re E H2 0Re B n B2 0B n32 20 c3 R 2 si n. n因子 sin 2表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。 在900 的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向0和没有辐射。3、已知海水的r 1,1s m 1试计算频率 v 为 50、 106和10 9 Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度 12r 10 r0410 71v5

15、0Hz时： 1222504102v106 Hz时： 22106210243v109 Hz时： 321092102477772m10.5m116mm14、电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为 r 的球（与电荷球体同心） 。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值 E，并沿径向。当ra时，球面所围的总电荷为 Q，由高斯定理得E ds 4 r 2 EQ ,0因而EQ2 , 写成矢量式得EQr. ra40 r40 r3若 r a, 则球面所围电荷为：4r 34r 3QQr 3.3343a3a3应用高斯定理得：Eds4r 2 EQr 3.

16、0 a3由此得EQr. ra*40 a3现在计算电场的散度。当 ra时 E 应取 式，在这区域 r0 ，由直接计算可得r0, r0r 3因而EQr0. ra4r 30当 r a时 E 应取 * 式，由直接计算得EQr3Q. r a0a 30 a34405、一半径为 R 的均匀带电球体， 电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，其半径为 R1 ，偏心距离为a，（ aR1R ）求腔内的电场。解：这个带电系统可视为带正电的 R 球与带负电的的 R1 球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点 M 之电场强度为：Er3 0r '3 0rr '3 0a3 06、无穷大的平行板电容

17、器内有两层介质，极板上面电荷密度为f求电场和束缚电荷分布。nE2E10,nH 2H 1,解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把D 2D1* 应用于下n,nB2B10.板与介质 1 界面上，因导体内场强为零，故得D1f .同样把 * 式应用到上板与介质 2 界面上得 D2f . 由这两式得ffE1,E2. 束缚电荷分布于12介 质 表 面 上 。 在 两 介 质 界 面 处 ， f0 ， 由 0 E2nE1nfp 得p0 E2E100f .21在介质 1与 下 板 分 界 处 ， 由 0 E2n E1nfp得'0 E1f 10,pf1在介质 2 与上板分界处，''0

18、E2f 10.pf2容易验证，'''0, 介质整体是电中性的。ppp7、截面为 S ，长为 l的细介质棍，沿 X 轴放置，近端到原点的距离为b ，若极化强度为 kx，沿X轴 Pkxi。求：（ 1） 求每端的束缚电荷面密度；（ 2）求棒内的束缚电荷体密度。（3）总束缚电荷。解：（ 1）求 在棍端 P2nP1n' P2P2 n 0， P1n'，P kx'P1nP / xbkbAA'P1nP / x b 1 k (b l )BB'，kxi（2）求 'P P由'dpkdx（3） 求q'q'''

19、;'Slk b lkb S ksl0BA S8、两块接地的导体板间的夹角为，当板间放一点电荷q 时，试用镜像法就90 0 、600 的情形分别求其电势。解：设点电荷 q 处于两导体面间R，0一点，两导体面间夹角为，各象电荷处在以 R 为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量R 表示，设 q 及其各个象电荷的位置矢为R0、，R1则有R0 Rei ，R1R0ei 2Rei 2， R2R0 e i 2Re i ，R3R1e i 2 2Re i 2，R4R2 ei 2Rei 2，R5R3 ei 2 2Rei 4，R6R4 e i 2 2Re i 2，R7R5 e i 2 4Re i 4，R8R6

20、 ei 2 2Rei 4.，R1Rei，R2Re i ，21）R3Re i， R4Rei，2，eie i，R4R3，象电荷只有 3 个，各象电荷所处在的直角坐标为：x1Rcos ， x2R cos ，x3Rcos ，y1R sin ， y2R sin ，y3Rsin .q11114 0rr1r2r3式中 rx2y22，R cosR sinz空间任意一点的电势 r1xR cosr2xR cosr3xR cos222y R sin y R sin y R sin2 z2 ，2 z2 ，2 z2 .i2 ，R1Re 3，R2Re i .3i2i2R3Re3，R4Re3，42ii2) R 5 Re 3

21、，R6Re3.2424ii2， e3e 3，33R6R5，象电荷只有5 个。各象电荷所在处的直角坐标为：x1R cos2R cos，33x2R cos ，y1Rsin2Rsin3，y2Rsin ,3x3Rcos 2Rcos,33x4R cos2Rcos，33y3R sin2Rsin，33y4Rsin2Rsin3，3x5Rcos 4Rcos，33y5Rsin4Rsin.33q1111114 0 rr1r2r3r4r5各个 r 由相应的象电荷坐标确定。9、在一平行板电容器的两板上加Uv0 coswt 的电压，若平板为圆形，半径为a，板间距离为 d，试求（ 1）、两板间的位移电流 j D ；（ 2）

22、、电容器内离轴 r 处的磁场强度；（ 3）、电容器内的能流密度。j DDEEUUv0 wt, j Dtdd tSinwt解：（ 1）tdv0 wj Dj D ezSinwtezdHdlI D2 rHj Dr 2Hj Drv0 w2rSinwt2d（2）v0 wHrSinwte2dr a时，H av0 w aSinwte2d（3） EHua2 v02 wds 2 ad H a 2 au H aSinwtCoswts侧dd10、静止长度为 l 0 的车厢，以速度 v 相对于地面 S 运行，车厢的后壁以速度为 U 0 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解： S 系的观察者

23、看到长度为l012 的车厢以 v vvi 运动，又看到小球以u ui 追 赶 车 厢 。小 球 从 后 壁 到 前 壁 所 需 的 时 间 为 ：l 0 1 v2c2。 uu 0v，u vu0v v 1vu02u0 1v22tvvu0cc，u1vu01c 21vu0c2c 2l 0 1vu0c2或t 2't1'1t 2't1'v2 x2'x1'tl 0u0 ， t2t1u0 1 v 2 c 21 v2 c2cx2' x1' l01l0vl 0l 01vu0v 2u0c2u0 1 v2c2c21c211、求无限长理想的螺线管的矢势A

24、 （设螺线管的半径为a，线圈匝数为 n，通电电流为 I）解：分析： A0J x 'dV ' ，J x ' dV 'Id l 。4VrA dlB ds，又对于理想的无限长螺线管来说，它的B为：0 nIls（ 1）当 ra 时，可得： 2 rAr 2 BB0 nI2 rAr 20 nIA0 nI r ey2（ 2）当 ra 时，同理可得： 2rA a2B2 rAa2A0 nIa 210 nI2eyr12、在大气中沿 Z 轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式H J 210 5 cos 10 7tk0 zA4m（ 1） 求 k0。（ 2）写出 E 的瞬时值

25、表达式w10 72 EvH2410 4 cos 107 tk0 z解： 1 k0；4v3108301047k0 zE i 24cos 10 t413、内外半径分别为 a 和 b 的球形电容器，加上 vv0 coswt 的电压，且不大，故电场 分布 和静态情 形相同， 计算 介质 中位 移电 流密 度 j D 及 穿过 半径R aRb 的球面的总位移电流J D 。解：位移电流密度为：j D0E ,又Evv0 cos wttb ab aRR22j Dv0 wsin wt0baR2穿 过 半 径 R aR b 的 球 面 的 总 位 移 电 流 J D 为 ：J Dj D 4 R 24 R 2 v0

26、 w 0 sin wtbaR214 、证明均匀介质内部的体极化电荷密度p 总是等于体自由电荷密度的10倍。证：PP0 E0Ef100f即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度p 总是等于体自由电荷密度。15、一根长为 l 的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H ，方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下， 试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w 由下式给出1 Iw 2mg l式中为棒的质量， I 为棒绕端点的转动惯量 （ 1 ml 2 ），g 为重223力加速度，代入得1 ml 2 w 2m g l ，w3g3l棒接

27、触桌面时的感生电动势为：EdlvBdlwx0 Hdx w 0 Hxdx3g0 H l23gl 30 Hll00l22此时棒的 A 点电动势高。16、点电荷 q 放在无限大的导体板前，相距为a，若 q 所在的半空间充满均匀的电介质，介质常数为，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。解：设象电荷''1qq 'q位于a ,0,0 , 尝试解为：4rr ', x 01）求 q '与a '设在导体板上，1qq 'c4RR'当R,R',0,c0.qqq 'qRR'0,.R 'RRa2y 2z2 , R

28、 'a ' 2y 2z22 a 2y 2z2 q' 2a' 2y 2z2 q 2此式对任何 y、z 都成立，故等式两边y、z 的对应项系数应相等，即：2q' 22,q'qq,2' 2q22又2a2q'2,2a2a'2,aqqa 'a.故q114rr 'r 2x a 2y 2z2 ,r 'x a 2y 2z2 .（2）求 EE xq1r1r 'x4r rxx' r 'xqxaxa4r 3r 3（ 3）求D 2nD1n, D1n0.D x/ x0Ex / x 0qa2 R317、

29、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为l 0 ，它们以相同速率 v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解： S' 系观察到 S'' 的速度v''vv2vS'测得 S'' 的尺子长度是1vv c21 v2c 2l l 014v 2l 0c2v 2运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值v 2c 2v21c 2有关，S'' 测得 S' 的尺子长度也是l 0 c2v 2 。c 2v218、两束电子作迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度v0.9c ，试求：（ 1）实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度；（ 2） 相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速