《马尔可夫预测》PPT课件

1、马尔可夫预测方法是根据俄国数学家马尔马尔可夫预测方法是根据俄国数学家马尔可夫可夫 (Markov) (Markov) 的随机过程理论提出来的，它的随机过程理论提出来的，它主要是通过研究系统对象的状态转移概率来进主要是通过研究系统对象的状态转移概率来进行预测的。行预测的。7.7 7.7 马尔可夫预测马尔可夫预测一变量一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称的值有一定的概率，那么称x为随机变量。为随机变量。 假定随机变量的可能值假定随机变量的可能值xi发生

2、概率为发生概率为Pi 即即P(x = xi) = Pi 对于对于xi的所有的所有n个可能值，有离散型随机个可能值，有离散型随机变量分布列：变量分布列： Pi = 1 对于连续型随机变量，有对于连续型随机变量，有 P(x)dx = 1 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用常用Ei表示（表示（i=1，2，N）。）。2、状态变量、状态变量Xt=i：表示系统在时刻：表示系统在时刻t处于处于 Ei 。3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态。常用。常用Ei Ej表示。表示。状态举例：状态举例：例例1：人民生活水平可

3、分为三种水平状态：温：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。饱、小康、富裕。例例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。亏损。例例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。销。状态转移举例：状态转移举例：例例4：营业情况由盈利：营业情况由盈利亏损。亏损。例例5：商品由畅销：商品由畅销滞销。滞销。1、无后效性无后效性：如果系统在状态转移过程中，系统将来的状态：如果系统在状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种特性称为只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种特性称

4、为无后效性或马尔柯夫性。无后效性或马尔柯夫性。例：本月库存只与本月调入调出、损耗及上月底库存有关。例：本月库存只与本月调入调出、损耗及上月底库存有关。2、遍历性遍历性：又称稳定性，若转移概率矩阵不变，系统状态经：又称稳定性，若转移概率矩阵不变，系统状态经过许多步转移之后将逐渐达到稳定的状态，且与系统的初始过许多步转移之后将逐渐达到稳定的状态，且与系统的初始状态无关。状态无关。例：市场最终占有率。例：市场最终占有率。池塘里有三张荷叶，我们将它们编号为1，2，3，有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，假设在初始时刻t0，它在第一张荷叶上，在t1时刻，它有可能跳到第二张或者第三张荷叶上，也有可能在原地不

5、动。无后效性举例：无后效性举例： 如果一个系统具有如果一个系统具有 有限个状态，状态转移的时有限个状态，状态转移的时间是离散（如月、季、年），且这种转移具有无后效间是离散（如月、季、年），且这种转移具有无后效性，则称此系统构成一个马尔柯夫链。性，则称此系统构成一个马尔柯夫链。 设系统有设系统有N个状态个状态Ei（i=1，2，N），以状态变量），以状态变量xt=i表示在时刻表示在时刻t处于处于Ei（i=1，2，N），如果系统在时），如果系统在时刻刻t处于处于Ei而在时刻而在时刻t+1转移到转移到Ej的概率只与的概率只与Ei有关而与有关而与t以前以前处的状态无关，则此概率可表示为：处的状态无关，则

6、此概率可表示为： Pij=P（EiEj）=P（ xt+1 =j xt =i） 并称为一步转移概率。并称为一步转移概率。 111212122212NNijN NNNNNPPPPPPPPPPP0 Pij 1 Pij =1所有所有Pij构成的矩阵为：构成的矩阵为：称为一步转移概率矩阵。称为一步转移概率矩阵。 111212122212NNNNNNPkPkPkPkPkPkP kPkPkPk在多步转移中，在多步转移中，k步转移概率记为：步转移概率记为：Pij（k）=P（Ei k Ej）=P（ xn+k =j xn =i） （i，j=1，2，N）所有所有Pij（k）构成的矩阵）构成的矩阵称为称为k步转移概率

7、矩阵。步转移概率矩阵。P（k）与）与P的关系：的关系：可证明：可证明： P（k）=Pk P（k）= P（k-1）P=Pk-1P例：设一步转移矩阵为：20.50.5(2)0.60.40.50.5 (2)0.60.40.5 0.50.5 0.60.5 0.50.5 0.4 =0.6 0.50.4 0.60.6 0.50.4 0.40.550.45 =0.540.46PPP求解：n 设系统有设系统有N个状态个状态Ei（i=1，2，N），），用用Pi表示系统在表示系统在k时期处于状态时期处于状态Ei（i=1，2，N）的概率，所有概率）的概率，所有概率 所构成所构成的向量，称为状态概率向量的向量，称为状

8、态概率向量 。其中：。其中： 0Pi（k）1 （i=1，2，N）n Pi（k）=1n当当k=0时，时， 反映系统在初始时反映系统在初始时状态概率的分布情况，称为起始状态概率分布状态概率的分布情况，称为起始状态概率分布。 1,2,kiPiN 12,kkkKNSPPp 000012,NSPPpn由由S（k+1）=S（k）P 可得递推关系：可得递推关系：n这就是马尔柯夫链的预测模型。这就是马尔柯夫链的预测模型。 10210232030KKSSPSS PSPSSPSPSSPn马尔柯夫预测法的步骤：马尔柯夫预测法的步骤：n1、确定系统的状态、确定系统的状态Ei和和S（0）；n2、确定、确定P；n3、进行

9、预测：、进行预测：S（k）=S（0）Pk例例1：某地有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有：某地有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000个客户，假定无新用户加入也无老用户退出，只个客户，假定无新用户加入也无老用户退出，只有用户转移，转移表如下：试求其状态转移概率有用户转移，转移表如下：试求其状态转移概率从 转到甲乙丙合计甲4005050500乙2030080400丙101080100合计430360210100011121321222331323340050500.8 0.1 0.150050050020300800.05 0.75 0.24004004001010800.1 0.1 0

10、.8100100100PPPPPPPPP解：状态转移概率为解：状态转移概率为例例2 设味精市场的销售记录共有设味精市场的销售记录共有 6 年年 24 个季度个季度的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1用用“1”表示畅销表示畅销用用“2”表示滞销表示滞销季度季度123456789101112销

11、售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 共共24个季度数据，其中有个季度数据，其中有15个季度畅销，个季度畅销，9个季度滞销，现分别个季度滞销，现分别统计出统计出:连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。 以以 p11 表示表示连续畅销连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：的可能性，以频率代替概率，得： 分子分子 7 是表是表中连续出现畅销的次数，分母中

12、连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现是表中出现 畅销的畅销的 次数，次数，因为第因为第24季度是畅销，无后续记录，故减季度是畅销，无后续记录，故减1。11750%15 1p2个状态个状态: “1” 畅销畅销“2” 滞销滞销季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 以以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性：表示由畅销转入滞销的可能性：分子分子 7 是表中由畅销转入

13、滞销的次数。是表中由畅销转入滞销的次数。 以以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性：表示由滞销转入畅销的可能性：分子分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出是表中出 现滞销的次数。现滞销的次数。12750%15 1p21778%9p2个状态个状态:“1” 畅销畅销“2” 滞销滞销季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅

14、1 以以 p22 表示连续滞销的可能性：表示连续滞销的可能性：分子分子 2 是表中连续出现滞销的次数。是表中连续出现滞销的次数。综上所述，得销售状态转移概率矩阵为：综上所述，得销售状态转移概率矩阵为：22222%9p111221220.50.50.780.22ppPpp例：例：某经济系统有三种状态某经济系统有三种状态 （如畅销、一般、滞销（如畅销、一般、滞销），系），系统地转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。统地转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。解：首先是写出一步状态转移解：首先是写出一步状态转移123,E E E系统本步所处状态系统本步所处状态系统下步所处状态系统下

15、步所处状态E E1 1E E2 2E E3 3E E1 121217 71414E E2 216168 81212E E3 310108 82 2(1)0.5000.1670.3330.4440.2220.3340.5000.4000.100P二步转移概率矩阵可由二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵一步转移概率矩阵通过公式通过公式 计算求出计算求出: 由一步转移概率矩阵求出，由公式由一步转移概率矩阵求出，由公式 计算得：计算得：( )nnPP2(2)20.5000.1670.3330.4440.2220.3340.5000.4000.1000.4910.2540.2550.4880.2570.

16、2550.4780.2120.310PP例：某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下： 解：解：1 1、划分状态：按盈利状况为标准、划分状态：按盈利状况为标准（1 1） 销售量销售量6060千件千件 属于滞销属于滞销（2 2） 6060千件千件销售量销售量100100千件千件 属于一般属于一般（3 3） 销售量销售量100100千件千件 属于畅销属于畅销商品销售量统计表商品销售量统计表 单位：千件单位：千件 时间时间t1234567891011121314151617181920销售量销售量404045458080 120120 110110 38384040505062629090 11

17、0110 130130 140140 120120 5555707045458080 110110 120120试预测第试预测第 21 期商品销售状态。期商品销售状态。2 2、计算初始概率、计算初始概率 P Pi i 为使问题更为直观，绘制销售量散点图如下，并画出状态分界线。由图可算出处于：滞销状态的有： M1= 7一般状态的有： M2= 5畅销状态的有： M3= 802040608010012014016001 23 456 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22销售量3、计算初始转移概率矩阵计算初始转移概率矩阵 计算状态转移概率时，最后一个数

18、据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。M11= 3， M12= 4， M13= 0， M21= 1， M22= 1， M23= 3， M31= 2， M32= 0， M33= 5从而： P11= 3/7， P12= 4/7， P13= 0/7， P21= 1/5， P22= 1/5， P23= 3/5， P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/702040608010012014016001 23 456 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22销售量滞销状态： M1= 7一般状态： M2= 5畅销状态： M3= 8-1 4、

19、预测第预测第2121月的销售情况月的销售情况 由于第由于第2020月的销售情况属于畅销状态，而经由一次转移到达月的销售情况属于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率是：三种状态的概率是：P P3131= 2/7= 2/7， P P3232= 0/7= 0/7， P P3333= 5/7= 5/7 P P3333 P P3232 P P3131 因此，第因此，第2121月超过月超过100100千件的可能性最大。千件的可能性最大。 即预测第即预测第2121月的销售状态是月的销售状态是“畅销畅销”。34077711355525077P二、人力资源预测例：某高校教师状态分为例：某高校教师状态分为5

20、 5类：助教、讲师、副教授、教授、流失及类：助教、讲师、副教授、教授、流失及退休。目前状态退休。目前状态(550(550人人) )： 根据历史资料根据历史资料: : 试分析三年后教师结构以及试分析三年后教师结构以及 三年内为保持编制不变应进多少研究生充实教师队伍？三年内为保持编制不变应进多少研究生充实教师队伍？ ( 0 )(1 3 52 4 0 1 1 56 00 )P0 .60 .400000 .60 .2 500 .1 5000 .5 50 .2 10 .2 40000 .80 .200001P一年后人员分布：一年后人员分布：要保持要保持550人的总编制，流失人的总编制，流失76人，故第一

21、年应进人，故第一年应进 76 位位新教师。新教师。第二年：第二年：补充补充74人。人。第三年：第三年： 补充补充72人。人。 在第三年年底，人员结构为：在第三年年底，人员结构为：(1)(0 )(8 1 1 9 8 1 2 37 27 6 )PPP(1)(8 17 6 1 9 8 1 2 37 20 )P ( 2 )(1)(9 4 1 8 2 1 1 78 37 4 )PPP( 2 )(9 47 4 1 8 2 1 1 78 30 )P (3 )( 2 )(1 0 1 1 7 6 1 1 1 9 1 7 2 )PPP(3 )(1 7 3 1 7 6 1 1 1 9 1 0 )P 三、预测三、预测

22、:策略与市场占有率策略与市场占有率例： A、B、C三公司的产品市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司改善了销售与服务，销售额逐期稳定上升，而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题：按目前趋势发展，A公司产品销售或客户转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司产品的占有率将如何变化？周期周期 1 的供应公司的供应公司 公司公司 周期周期 0 的的顾客数顾客数 A B C A 5000 3500 500 1000 B 3000 300 2400 300 C 2000 100 100 1800 周期周期 2 的的顾客数顾客数 39

23、00 3000 3100 周期周期 1 的供应公司的供应公司 公司公司 周期周期 0 的的顾客数顾客数 A B C A 5000 3500 500 1000 B 3000 300 2400 300 C 2000 100 100 1800 周期周期 2 的的顾客数顾客数 3900 3000 3100 公司公司 A B C A 3500/5000=0.7 500/5000=0.1 1000/5000=0.2 B 300/3000=0.1 2400/3000=0.8 300/3000=0.1 C 100/2000=0.05 100/2000=0.05 1800/2000=0.95 周期周期 1 的供

24、应公司的供应公司 公司公司 周期周期 0 的的顾客数顾客数 A B C A 5000 3500 500 1000 B 3000 300 2400 300 C 2000 100 100 1800 周期周期 2 的的顾客数顾客数 3900 3000 3100 公司公司 A B C A 3500/5000=0.7 500/5000=0.1 1000/5000=0.2 B 300/3000=0.1 2400/3000=0.8 300/3000=0.1 C 100/2000=0.05 100/2000=0.05 1800/2000=0.95 ABCA0 .70 .10 .2B0 .10 .80 .1C0

25、 .0 50 .0 50 .9P(0)(0.5 0.3 0.2)P未来各期的市场占有率： 100.70.10.20.5,0.3,0.20.10.80.10.050.050.90.39,0.3,0.31PPPC促销政策：C的市场份额不断增大，是否可持续下去？(2)(1)(0.319 0.294 0.387)PPP(3)(2)(0.272 0.286 0.442)PPP稳态市场占有率问题： 稳态市场占有率即为平衡状态下的市场占有率，亦即马氏链的平稳分布。 1231231230.70.10.2,0.10.80.1,0.050.050.91x xxx xxxxx1230.1765,0.2353,0.5

26、882xxx可解得：最佳经营策略：(0)(0.5 0.3 0.2)P1230.1765,0.2353,0.5882xxx因于A厂不利，A厂随后制定两套方案：最佳经营策略(0)(0.5 0.3 0.2)P1230.1765,0.2353,0.5882xxxA厂制定的两套方案：甲方案甲方案 保留策略，拉住老顾客。0.100.800.100.050.050.80.950.100.050P甲ABCAB0.10.80.1C0.050.050.0.70.10.92P 新的平衡状态下、三公司的市场占有率分别新的平衡状态下、三公司的市场占有率分别为为31.631.6，26.326.3，42.142.1，公司的

27、市场占有率从，公司的市场占有率从17.6517.65提高到提高到31.631.6。 乙方乙方案案 争取策略，挖客户。乙方案：乙方案：在新的平衡状态下，、三家公司的市场占在新的平衡状态下，、三家公司的市场占有率分别为有率分别为33.333.3，22.222.2，44.544.5。 0.70.10.20.10.00.10.150.850.755P乙ABCA0.70.10.2B0.1C0.050.050.90.10.8P例：例：市场上有三种品牌的汽水，市场上有三种品牌的汽水，6月份市场占有率分别是月份市场占有率分别是30%、40%、30%。各品牌消费变化情况如下表：试求。各品牌消费变化情况如下表：试

28、求（1）8月份的市场占有率；（月份的市场占有率；（2）预测长期占有率）预测长期占有率本月 下月甲乙丙甲0.20.60.2乙0.10.50.4丙0.20.30.56月份各品牌汽水消费变化表月份各品牌汽水消费变化表0.20.60.20.10.50.4 0.20.30.5P解：初始市场占有率为：解：初始市场占有率为：S(0)=(0.3 0.4 0.3)状态转移概率矩阵为状态转移概率矩阵为(1)7月份市场占有率为月份市场占有率为(1)(0)0.20.60.2(0.3 0.4 0.3) 0.10.50.4 0.20.30.5 (0.16 0.47 0.37) SSP8月份市场占有率为月份市场占有率为(2

29、)(1)0.20.60.2(0.16 0.47 0.37) 0.10.50.4 0.20.30.5 (0.153 0.442 0.405) SSP(2) 顾客的流动经过一段时间后会达到稳定的平衡状态，设顾客的流动经过一段时间后会达到稳定的平衡状态，设稳态矩阵为稳态矩阵为U,则则U*P=U如果如果31231123112321233123123( , , ),10.20.10.20.60.50.30.20.40.510.1560.4340.410iiUxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx且有解得、 即经过长时期流动后，甲、乙、丙三品牌的市场占有率即经过长时期流动后，甲、乙、丙三品牌的市场

30、占有率 分别是分别是 15.6%、43.4%、41.0% 例例3 企业中的机器设备，粗略地划分，可以分为良好和损坏两种状态，在运转和使用过程中，良好的可能会转变为损坏，而损坏的也可能经过维修转变为良好。一般可用下图表示这种状态转移。状态转移概率矩阵可写为11122122ppPppP11P22P21P12S良好状态F故障状态机器状态转移机器状态转移SF式中 P11为某时刻机器处于良好，到下一时刻仍转变为良好状态的概率；P12为某时刻机器处于良好，到下一时刻转变为故障状态的概率；P21为某时刻处于故障到下一时刻转为良好概率；P22为某时刻处于故障到下一时刻仍为故障状态的概率；设某车间里的机器出故障

31、的概率为0.2，机器能修复良好的概率为0.85，试求稳定状态下，机器处于良好状态和故障状态的概率各为多少？由题意可知，机器不出故障的概率为 10.2= 0.8；机器修不好的概率为10.85=0.15。故得状态转移概率矩阵为0.800.200.850.15P( )( )( )( )120.800.200.850.151nnnnSSSS于是有解此联立方程组得：( )( )120.81,0.19nnSS，即在稳定状态下机器不出故障的概率为0.81，而出故障的概率为0.19。43大涝涝正常旱大旱状态大涝状态涝状态正常状态旱状态大旱 54 32 12501502501502002502002002001

32、500801203002003000500601003904000400601603800.36.P44马尔可夫预测法马尔可夫预测法 )()()()()()( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 054321SSSSSS.)()( 040 060 160 380 360 2501502501502002502002002001500801203002003000500601003904000400601603800.36 0 0 0 0 1 01PSS0400 0600 1600 3800 360054321.)(.)(.)(.)(.)(SSSSS45马尔可夫预测法马尔可夫预测法7403803600 021.)()( SS1000400600 0 54.)()( SS25015025015020025