随机变量的函数的分布学习教案

1、会计学1随机变量的函数随机变量的函数(hnsh)的分布的分布第一页，共42页。 当 X 为离散(lsn)随机变量时， Y = g(X) 为离散(lsn)随机变量. 将g(xi) 一一列出, 再将相等(xingdng)的值合并即可. 2.6.1 离散随机变量离散随机变量(su j bin lin)函数的分布函数的分布第1页/共42页第二页，共42页。2.6.2 连续随机变量函数(hnsh)的分布定理定理(dngl) 设设 X pX(x)，取值范围为，取值范围为c, d; y = g(x) 是是 x 的严格的严格 单调函数，记单调函数，记 x = h(y) 为为 y = g(x) 的反函数的反函数

2、, 且且h(y)连续可导，则连续可导，则Y = g(X)的密度函数为的密度函数为:( ( )| ( )|,( )0,XYp h yh yaybp y其它1. 公式(gngsh)法min ( ), ( ),max ( ), ( ).ag c g dbg c g d其中第2页/共42页第三页，共42页。例 设 X 21( ),(1)Xpxx求 Y =eX 的分布(fnb).y = ex 单调(dndio)可导,反函数 x = h(y) = lny,所以(suy)当 y 0 时,| )(|)()(yhyhpypXY,1)(yyhyypX1ln)ln1 (12yy由此得21,0(1ln)( )0,Yy

3、yypy其它解：第3页/共42页第四页，共42页。正态变量的线性不变性定理(dngl) 设 X N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 则 Y = (X )/ N(0, 1).第4页/共42页第五页，共42页。例 (1) 设 X N (10, 22)，求 Y = 3X+5 的分布(fnb);(2) 设 X N (0, 22)，求 Y = -X 的分布(fnb).第5页/共42页第六页，共42页。对数(du sh)正态分布定理(dngl) 设 X N (, 2)，则 Y = e X 的服从22(ln)1( )exp,0.

4、22yp xyy 第6页/共42页第七页，共42页。伽玛分布的有用(yu yn)结论定理(dngl) 设 X Ga (, )，则当k 0 时， Y = kX Ga (, /k).第7页/共42页第八页，共42页。2. 分布分布(fnb)函数法函数法步骤：步骤：1、由、由X的取值范围确定的取值范围确定Y =g(X)的取值范围；的取值范围；2、由分布函数的定义求、由分布函数的定义求Y=g(X)的分布函数：的分布函数： FY(y)=PYy=Pg(X) y； 3、由分布函数与密度、由分布函数与密度(md)函数的关系求得函数的关系求得Y=g(X)的概率密度的概率密度(md)。 第8页/共42页第九页，共

5、42页。均匀分布的有用均匀分布的有用(yu yn)结论结论 定理(dngl) 设 X FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).第9页/共42页第十页，共42页。例例 设随机变量设随机变量(su j bin lin)XN(0,1) ,求随机变量求随机变量(su j bin lin)Y=X2的概率密度函数。的概率密度函数。例例 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为22,0;( )0,.xxf x其他sin( ).YYXpy求的密度函数第10页/共42页第十一页，共42页。第11页/共42页第十二页，共42页。 k 阶原点矩：k = E(Xk)

6、， k = 1, 2, . 注意(zh y): 1 = E(X). k 阶中心矩：k = EXE(X)k ， k = 1, 2, . 注意(zh y): 2 = Var(X). 定义(dngy)第12页/共42页第十三页，共42页。方差（或标准差）反映了随机变量取值的方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但在比较两个随机变量大小时波动程度，但在比较两个随机变量大小时(xiosh)会产生不合理的现象。会产生不合理的现象。原因原因(yunyn)有二：有二：（1）方差(fn ch)（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量的方差（或标准差）也允许大一些。 第13页/

7、共42页第十四页，共42页。定义定义(dngy) 为为 X 的变异系数的变异系数.Var() ()VXCE X作用作用(zuyng)：称称CV 是无量纲的量是无量纲的量, 用于比较量纲不同用于比较量纲不同(b tn)的两个随机变量的波动大小的两个随机变量的波动大小.第14页/共42页第十五页，共42页。P( X xp ) = F(xp) = p定义定义(dngy) 设设 0 p 1，若若 xp 满足满足(mnz)则称则称 xp 为此为此(wi c)分布分布 p - 分位数，分位数，亦称亦称 xp 为为下侧下侧 p - - 分位数分位数.第15页/共42页第十六页，共42页。(1) 因为因为 X

8、 小于等于小于等于(dngy) xp 的可能性为的可能性为 p ， 所以所以 X 大于大于 xp 的可能性为的可能性为 1 p .(2) 对离散分布不一定对离散分布不一定(ydng)存在存在 p - 分位数分位数.(3) ()()( )xpppP XxF xp x dx第16页/共42页第十七页，共42页。若记若记 x p 为为上侧上侧 p - - 分位数，即分位数，即则则P(X x p ) = p 11 , ppppxxxx第17页/共42页第十八页，共42页。定义定义(dngy) 称称 p = 0.5 时的时的p 分位数分位数 x0.5 为为中位数中位数.中位数是反映随机变量位置的特征中位

9、数是反映随机变量位置的特征(tzhng)数，即随机变量取值的中心数，即随机变量取值的中心. 第18页/共42页第十九页，共42页。 相同点：都是反映随机变量的位置(wi zhi)特征. 不同点：含义含义(hny)不同不同.有时有时中位数中位数比比均值均值更能说明问题更能说明问题. 若分布是对称的，则中位数若分布是对称的，则中位数=均值均值.第19页/共42页第二十页，共42页。 (1) N(0, 1)： Z , U (2) 2(n)： 2( ) n(3) t (n)： ( )nt(4) F (n, m)： ( , )n mF第20页/共42页第二十一页，共42页。定义定义(dngy) 设设 随

10、机变量随机变量(su j bin lin)X的三阶矩存在，则称的三阶矩存在，则称为为X的分布的的分布的 偏度系数偏度系数，简称简称偏度偏度.正态分布正态分布N（ ， 2）的）的偏度偏度 1=0. 3313/23/222()()E XE XE XEX第21页/共42页第二十二页，共42页。定义定义(dngy) 设设 随机变量随机变量(su j bin lin)X的四阶矩存在，则称的四阶矩存在，则称为为X的分布的的分布的 峰度系数峰度系数，简称简称峰度峰度.正态分布正态分布N（ ， 2）的）的峰度峰度 2=0. 4422222()33()E XE XE XEX 第22页/共42页第二十三页，共42

11、页。 相同点：都是反映分布(fnb)的形态特征. 不同点：含义含义(hny)不同不同.第23页/共42页第二十四页，共42页。第24页/共42页第二十五页，共42页。例例1 1 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立(dl),(dl),并且遇到红灯的概率都是并且遇到红灯的概率都是1/31/3。(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X X的分布律；的分布律；(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率。次红灯的概率。

12、解解 (1) (1)由题意由题意(t y)(t y)，XB(6,1/3)XB(6,1/3)，故，故X X的分布律为：的分布律为：6,.,1 , 03231)(66kCkXPkkk)6()5()5()2(XPXPXP729133132316556C第25页/共42页第二十六页，共42页。例例2 2 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过(chogu)1(chogu)1个孩子的概率为个孩子的概率为3e-23e-2。求任选一对夫妇。求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。23)

13、 1() 0(1),(eXPXPXPpX且且)2() 1()0(1) 3(XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解 由题意由题意(t y)(t y)232eee第26页/共42页第二十七页，共42页。例例3 3 设随机变量设随机变量(su j bin lin)XU1, 6 (su j bin lin)XU1, 6 ，求一元两次方程，求一元两次方程t2+Xt+1=0t2+Xt+1=0有实根的概率。有实根的概率。 解解 当当=X2-40=X2-40时，方程时，方程(fngchng)(fngchng)有实根。所求概率为有实根。所求概率为)2()2()22()04(2

14、XPXPXXPXP或或而而X X的密度的密度(md)(md)函数为函数为其其它它. ., 0, 61,51)(xxf62625451)()2(dxdxxfXP0)2(XP54)04(2XP另解另解)04(1)0)4(22XPXP)22(1XP54511511)(12221dxdxxf第27页/共42页第二十八页，共42页。例例4 4 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、2525分、分、5555分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车(hu ch)(hu ch)时间超过

15、时间超过1010分钟的概率。分钟的概率。)6055()4525()1510()(XPXPXPAP解解 设设AA乘客候车时间超过乘客候车时间超过1010分钟，分钟，XX乘客于某时乘客于某时(mu sh)X(mu sh)X分钟到达，则分钟到达，则X XU(0,60)U(0,60)21605205第28页/共42页第二十九页，共42页。例例5 5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包(chngbo)(chngbo)。甲公司要求投资亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用。甲公司要求投资亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用XN2)XN2)。乙公司要求投资。乙公司要求

16、投资3 3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用YN2)YN2)。现假定工程资方掌握资金。现假定工程资方掌握资金(1)3(1)3亿元，亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包亿元，亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包(chngbo)(chngbo)较为合理？较为合理？解解 （1）工程）工程(gngchng)资方掌握资金资方掌握资金3亿元。亿元。若委托甲公司若委托甲公司(n s)承包承包)4 . 0(5 . 08 . 23)3()3(FXP若委托乙公司承包若委托乙公司承包50. 0)0(2 . 033)3()3

17、( FYP标准正态分布表标准正态分布表(2)请自己完成。请自己完成。委托甲公司承包较为合理。委托甲公司承包较为合理。第29页/共42页第三十页，共42页。例例6 6一种电子元件一种电子元件(yunjin)(yunjin)的使用寿命（小时）服从正态分布的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),(100,152),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件个这种元件(yunjin)(yunjin)，三个元件，三个元件(yunjin)(yunjin)损坏与否是相互独立的。求：使用的最初损坏与否是相互独立的。求：使用的最初9090小时内无一元件小时内无一元件(yunjin)(yunjin)损坏的

18、概率损坏的概率. . 其中其中(qzhng)2514. 0)67. 0(1510090)90(XPp故故4195. 0)1 ()0(3pYP解解 设设Y为使用的最初为使用的最初(zuch)90小时内损坏的元件数，则小时内损坏的元件数，则 Yb(3, p)第30页/共42页第三十一页，共42页。例例7 7 设设X XU(-1,1),U(-1,1),求求Y=X2Y=X2的分布的分布(fnb)(fnb)函数与概率密度。函数与概率密度。 其其它它01121xxfXX因为ydxFyyY21其它其它01021)( )(yyyFyfYY当当y0时，时，0)(yFY当当0y1时时当当y1时时1)(yFYyy解解 dxxfyXPyYPyFyxXY2)()(2所以第31页/共42页第三十二页，共42页。例例8 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单单位吨位吨)，它服从，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出这种商品上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可吨，可赚赚3万元，但若销售不出去万元，但若销售不出去(ch q)，则每吨需付仓储费，则每吨需付仓储费1万元，问该万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？商品应出口多少吨才可使平均收益最大？解解 由题意可知由题意可知X的密度的密度(md)函数为函数为其