2019-2020学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理科)

1、2019-2020 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.洛阳市1（5 分）已知不等式 x2+ax+b0 的解集为2，3，则 a+b（）A1B1C2D22（5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a5+a7+a918，则 S13（）A39B78C117D1563（5 分）若 

2、;ba0，给出下列不等式：|a|+b0a b ；lna2lnb2其中正确的不等式是（）A.BCD4（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 45°（即BAC45°）的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在北偏东 15°（即ABC75°）的方向上，仰角DBC 为 30°，则此山的高度 CD（）A200m   &#

3、160;    B400  m        C600  m       D800  m5（5 分）设为非零向量，则“       ”是“存在正数 ，使得”的（   ）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条

4、件6 5 分）设 F1，F2 分别是椭圆                  的左右焦点，点 P 在椭圆 C 上，（线段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF1F245°，则椭圆的离心率为（）A1B+1CD第1页（共22页）7（5 分）若变量 x，y 满足约束条件

5、A0，1B ，1，则C1，2的取值范围是（   ）D ，28（5 分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线被圆 C：x2+y212x0 截得的弦长为 8，双曲线的右焦点为 C 的圆心，则该双曲线的方程为（）ABCD9（5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC120°，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的正弦值为（）ABCD10（5 分）已知 F

6、0;是椭圆的右焦点，A，B 是椭圆 M 上关于原点 O 对称的两点，若A5，则FAB 的内切圆的面积为（   ）B4             C2            D11 5 分）已知数列an满足 a11，anan+12（n

7、N*），Sn 是数列an的前 n 项和，则（   ）（nAa202022019CS2020210113Ba202022020DS20203（210101）135 分）若命题“x0R 使得 x02+mx0+2m+50”为假命题，则实数 m 的取值范围是     12（5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，平面 A1B1C1D1 内的一动点 P，满足到点

8、A1 的距离与到线段 C1D1 的距离相等，则线段 PA 长度的最小值为（）ABCD二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.（14（5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 a2+c2b2ac，则角 B 的值是15（5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五第2页（共22页）观的标记物，太极图无不跃居

9、其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或 x2+（y1）21 来表示，设（x，y）是阴影中任意一点，则 zx+y 的最大值为（16 5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 且倾斜角为 60o 的直线交抛物线于 A，B 两点，以 AF，BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，则|MN|.三、解答

10、题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知全集 UR，非空集合 Ax|（x2）x（3a+1）0，Bx|axa2+2，记 p：xA，q：xB，若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围18（12 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn已知 S36，S642（1）求 an，Sn；（2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2

11、0;是成等差数列19（12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，BC 边上的中线 ADm，满足 a2+2bc4m2（1）求BAC；（2）若 a，求ABC 的周长的取值范围20（12 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过点 E（2，0）的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为

12、0;D（1）证明：直线 BD 经过点 F；（2）设，求直线 AB 的方程21（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 2，底面 ABC侧面 AA1B1B，第3页（共22页）AA1B160°，P 为 CC1 的中点，AB1A1BO（1）证明：AB1A1P（2）若 M 是 AC 棱上一点，满足MOP45°，求二面角 MBB1A 的余弦值22（12 分）

13、已知 P（2，0）为椭圆 C：1（ab0）的右顶点，点 M 在椭圆 C的长轴上，过点 M 且不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，当点 M 与坐标原点 O重合时，直线 PA，PB 的斜率之积为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若2，求OAB 面积的最大值第4页（共22页）2019-2020 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择

14、题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.洛阳市1（5 分）已知不等式 x2+ax+b0 的解集为2，3，则 a+b（）A1B1C2D2【分析】由题意知 2 和 3 是方程 x2+ax+b0 的实数根，利用根与系数的关系求出 a、b 的值，再求 a+b【解答】解：不等式 x2+ax+b0 的解集为2，3，所以 2

15、 和 3 是方程 x2+ax+b0 的实数根，由，得 a5，b6；所以 a+b1故选：B【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程关系应用问题，是基础题2（5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a5+a7+a918，则 S13（）A39B78C117D156【分析】结合等差数列的性质及求和公式即可求解【解答】解：由等差数列的性质可得，a5+a7+a93a718，则 a76，则 S136×1378故选：B【点评】本题考查了等

16、差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题3（5 分）若 ba0，给出下列不等式：|a|+b0a b ；lna2lnb2其中正确的不等式是（）A.BCD【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：ba0，给出下列不等式：第5页（共22页）0，正确：|a|+b0，因此不正确由已知可得： ，  ，又 ab，a b，正确；由已知可得：a2b2，可得：lna2lnb2，因此不正确其中正确的不等式是故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（

17、5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 45°（即BAC45°）的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在北偏东 15°（即ABC75°）的方向上，仰角DBC 为 30°，则此山的高度 CD（）A200mB400mC600mD800m【分析】ABC 中由正弦定理求得 BC 的值，RtABC 中求出山高 CD

18、60;的值【解答】解：ABC 中，BAC45°，AB600ACB60°，由正弦定理得，BC1200，ABC 中，DBC30°，ABC75°，CDBCtanDBC1200×400  ，则山高 CD 为 400m故选：B【点评】本题考查了解三角形的应用问题，从实际问题中抽象出三角形是解题的关键，第6页（共22页）属基础题5（5 分）设为非零向量，则“”是“存在正数 ，使得”的（   ）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既

19、不充分也不必要条件【分析】利用向量共线定理、向量夹角、简易逻辑的判定方法即可判断出结论【解答】解：设为非零向量，存在正数 ，使得，反之不成立，的夹角可能为锐角”是“存在正数 ，使得      ”的必要不充分条件6 5 分）设 F1，F2 分别是椭圆                  的左右焦点，点&

20、#160;P 在椭圆 C 上，故选：B【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（线段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF1F245°，则椭圆的离心率为（）A1B+1CD【分析】由已知条件推导出 PF2x 轴，结合已知条件以及椭圆的定义，列出a，c 关系，由此能求出椭圆的离心率【解答】解：线段 PF1 的中点在 y 轴上设 P 的横坐标为 x，F1（c，0），c

21、+x0，xc；P 与 F2 的横坐标相等，PF2x 轴，PF1F245°，PF2PF1，PF1+PF22a，2+2c2a，e 1故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简第7页（共22页）单性质的灵活运用7（5 分）若变量 x，y 满足约束条件A0，1B ，1，则C1，2的取值范围是（   ）D ，2【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可【解答】解：由已知得到可行域如图：则的几何意义表示区域内的点

22、与 D（0，1）连接的直线斜率，所以与 A 连接的直线斜率最大，与 B 连接直线斜率最小，A（1，1），B（2，0），故的取值范围为 ，2；故选：D【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是前提，利用目标函数的几何意义求最值是关键，利用了数形结合的思想8（5 分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线被圆 C：x2+y212x0 截得的弦长为 8，双曲线的右焦点为 C 的圆心，则该双曲线的方程为（）ABCD第8页（共22页）【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和

23、半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得 a，b 的关系式，由题意可得 c6，再由 a，b，c 的关系可得 a，即可点到所求双曲线的方程【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为 bx±ay0，圆 C：x2+y212x0 的圆心 C（6，0），半径 r6，渐近线被圆 C：x2+y212x0 截得的弦长为 8，可得 822       ，解得&

24、#160;d2即有，2  ，双曲线的右焦点为 C 的圆心，即 c6，则 b2，a4，可得双曲线的方程为   1故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查直线和圆相交的弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题9（5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC120°，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的正弦值为（）ABCD【分析】可画出图形，可知ABC120°

25、，AB2，BCCC1BB11，B1BCB1BA90°，然后根据， 并 可 求 出进行数量积的运算即可求出， 然 后 即 可 求 出的值，进而得出异面直线 AB1 与 BC1 所成角的正弦值【解答】解：如图，ABC120°，AB2，BCCC1BB11，B1BCB1BA90°，第9页（共22页）2，又，异面直线 AB1 与 BC1 所成角的正弦值为故选：C【点评】本题考查了直三棱柱的定义，通

26、过向量求异面直线所成角的问题的方法，向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题10（5 分）已知 F 是椭圆的右焦点，A，B 是椭圆 M 上关于原点 O 对称的两点，若A5，则FAB 的内切圆的面积为（   ）B4             C2  

27、;          D【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及对称性求得 AFBF，再由等面积法求得FAB的内切圆的半径，则答案可求【解答】解：如图，由椭圆a4，c3，得 a216，b27，c29，第10页（共22页）则 AF+BF2a8，OFc3，AB2c6，则 AF2+BF236，得（AF+BF）22AFBF36，有 AFBF14设FAB 的内切圆半径为 r，则FAB 的内切圆的面积为 ×12

28、故选：D，即 r111 5 分）已知数列an满足 a11，anan+12（nN *），Sn 是数列an的前 n 项和，则（   ）（【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题nAa202022019CS2020210113Ba202022020DS20203（210101）【分析】由数列递推式可得数列an的奇数项构成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，偶数项构成以 2 为首项，以 2&

29、#160;为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式及前 n 项和求解【解答】解：由 a11，anan+12n，得 a22，且，两式作比可得：数列an的奇数项构成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，偶数项构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列则当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，第11页（共22页），3（210101）故选：D【点评】本题考查数列递推式，训练了数列的分组求和，考查等比数列的前 n 项和，是

30、中档题12（5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，平面 A1B1C1D1 内的一动点 P，满足到点A1 的距离与到线段 C1D1 的距离相等，则线段 PA 长度的最小值为（）ABCD【分析】P 点轨迹为抛物线，得出 A1P 的最小值即可求出 PA 的最小值【解答】解：点 P 到点 A1 的距离与到线段 C1D1 的距离相等，P 的轨迹是以&

31、#160;A1 为焦点，以直线 C1D1 为准线的抛物线，显然到 P 位于 A1D1 的中点时 A1P 取得最小值 ，AP                 13 5 分）若命题“x0R 使得 x02+mx0+2m+50”为假命题，则实数 m 的取值范围是 &#

32、160;（故选：C【点评】本题考查了空间距离的计算，抛物线的性质，属于基础题二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.（2，10）【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数 m 的取值范围【解答】解：命题“x0R，使得 x02+mx0+2m+50”的否定为：“x0R，都有 x02+mx0+2m+50”，由于命题“x0R，使得 x02+mx0+2m+50”为假命题，则其否

33、定为：“x0R，都有 x02+mx0+2m+50”，为真命题，24（2m+5）0，解得2m10则实数 m 的取值范围是（2，10），故答案为：（2，10）第12页（共22页）【点评】本题考查全程命题以及特称命题与二次不等式恒成立问题，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理14（5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 a2+c2b2则角 B 的值是【分析】直接利用余弦定理求出 B 的余弦值，推出 B 的值即可【解

34、答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 a2+c2b2ac，ac，由余弦定理可知 cosB   ，因为 B 是三角形内角，所以 B  故答案为：【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查15（5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴

35、阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或 x2+（y1）21 来表示，设（x，y）是阴影中任意一点，则 zx+y 的最大值为【分析】平移直线 zx+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值【解答】解：依题意，zx+y，所以 yx+z，z 表示直线 yx+z 在 y 轴上的截距，所以当直线 yx+z 与圆 x2+（y1）21 切于如图的点 A 时，z 最大（z1），因为直线 yx+z 与圆相切，所

36、以点（0，1）到直线 x+yz0 的距离为 1，第13页（共22页）即 1，因为 z1，所以1，解得 z1+故答案为：1+【点评】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力（16 5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 且倾斜角为 60o 的直线交抛物线于 A，B 两点，以 AF，BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，则|MN|【分析】先求

37、出直线方程，与抛物线联立，解得求出 A，B 两点的坐标，设 M（0，m），N（0，n），根据以 AF，BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M，N，可得 MFMA，NFNB，求出 m，n，然后求解即可【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0），则直线 AB 的方程为 y（x1），由，解得或，A（3，2），B（ ，），设 M（0，m），N（0，n），以 AF，BF 为直径的圆分别与

38、0;y 轴相切于点 M，N，MFMA，NFNB，0，0，（1，m）（3，2m）0，第14页（共22页）（1，n）（ ，n）0，即 m22m+30，3n22n+10，解得 m|MN|故答案为：，n，【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的有关性质，向量的运算等知识，考查了运算求解能力，函数与方程的思想，考查了转化与化归，分类与整合的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知全集 UR，非空集合

39、60;Ax|（x2）x（3a+1）0，Bx|axa2+2，记 p：xA，q：xB，若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围【分析】由 p：xA，q：xB，p 是 q 的充分条件，可得 AB（1）当 3a+12，即（2）当 3a+12，即（3）当 3a+12，即时，Ax|2x3a+1利用 AB 可得 a 范围时，A，判定是否满足题意时，Ax|3a+1x2由 AB 即可得出

40、0;a 的取值范围【解答】解：p：xA，q：xB，p 是 q 的充分条件，AB（1）当 3a+12，即时，Ax|2x3a+1第15页（共22页）由 AB 得，解得（2）当 3a+12，即（3）当 3a+12，即时，A，不符合题意，舍去时，Ax|3a+1x2由 AB 得，解得综上，实数 a 的取值范围是【点评】本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12 分）已知等比数列an的前 n&#

41、160;项和为 Sn已知 S36，S642（1）求 an，Sn；（2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2 是成等差数列（【分析】 1）设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 q1，由题意可得关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则 an，Sn 可求；（2）直接利用等差中项的概念证明 Sn+1，Sn，Sn+2 是成等差数列（【解答】 1）解：由题意设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 q1，则，从而 1+q

42、37，即 q38，q2，a12，；（2）证明：由（1）知，Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列【点评】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前 n 项和，考查计算能力，是中档题第16页（共22页）19（12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，BC 边上的中线 ADm，满足 a2+2bc4m2（1）求BAC；（2）若 a，求ABC 的周长的取值范围（【分析】 1）根据余弦定理建立方程关系进行求解即可（2）利用正

43、弦定理，结合辅助角公式进行化简求出 b+c 的范围即可【解答】解：（）在ABD 中，在ACD 中，ADB+ACB，cosADB+cosACB0，a2+2bc4m2，a2+2bc2b2+2c2a2，即 b2+c2a2bc，0BAC，（2）由 a4，及正弦定理得                       

44、60;         ，则 b+c（4，8，即 a+b+c（8，12，故ABC 的周长的取值范围是（8，12【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，正弦定理以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键考查学生的运算能力，难度中等20（12 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过点 E（2，0）的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，点 A&#

45、160;关于 x 轴的对称点为 D（1）证明：直线 BD 经过点 F；第17页（共22页）（2）设，求直线 AB 的方程（【分析】 1）由题意设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，设 A，B，D 的坐标，求出直线 BD 的方程，令 y0 求出横坐标，正好直线 BD 与 x 轴的交点为焦点 F，证出结果（2）由（1）得 AB 的两个坐标之和及之

46、积，由数量积求出参数，进而求出直线AB 的方程【解答】解（1）依题意，可设 l 的方程为 xmy2（m0）由得 y28my+160，则m2640，m1 或 m1设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 D（x1，y1），y1+y28m，y1y216，直线 BD 的方程为，即，令，所以直线 BD 经过点 F（2）由 知，          

47、0;     ，                ，故 3216m20，解得，所以 l 的方程为【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题21（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 2，底面 ABC侧面 AA1B1B，AA1B160°，P 为 C

48、C1 的中点，AB1A1BO（1）证明：AB1A1P（2）若 M 是 AC 棱上一点，满足MOP45°，求二面角 MBB1A 的余弦值第18页（共22页）【分析】 1）取 AB 中点 D，设 AB1 与 A1B 交于点 O，连接 OP，CD，依题意得 OPCD，（由平面 ABC平面 AA1B1B，可得 CD平面 AA1B1B，即 AB1OP，又四边形

49、0;AA1B1B 为菱形，得 AB1A1B，可得 AB1平面 A1OP，可证得 AB1A1P（2）以 O 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法求解【解答】证明：（1）取 AB 的中点 D，连接 OP，CD，OD，易证 OPCD 为平行四边形，从而 OPCD由底面 ABC侧面 AA1B1B，底面 ABC侧面 AA1B1BAB，CDAB，CD底面 ABC，所以 CD侧面 AA1B1B，即 OP侧面 AA1B1B又 AB1侧面 AA1B1B，所以 AB1OP又侧面 AA1B1B 为菱形，所以 AB1A1B，从而 AB1平面 A1OP因为 A1P平面 A1OP，所以 AB1A1P解：（2）由