2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析(全国一卷)

1、WORD 文档2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析一有一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只项是符合题目要求的。1.已知集合 Mx  4  x  2 ， N   xx2x 6  0，则 M  N =A.B.C.D. x 4  x

2、60;3           x 4  x   2         x 2  x 2           x 2  x 3【答案】 C【分析

3、】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题，【详解】由题意得Mx4x2 , Nx2x3 ，则MNx2x2 故选 C 总结：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者分2.设复数 z满足z i =1 ， z 在复平面内对应的点为 (x， y)，则y          

4、60;           y  11      B.  ( x   1)A. ( x+1)22 2      2C. x2(   1)2y1D. x2( y+1) 2  

5、;1【答案】 C【分析】据本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根点（离为 1，可选正确答案Cx， y）和点 (0 ， 1) 之间的距【详解】zxyi, z ix ( y 1)i, z i   x 2 ( y 1)2 1, 则x2(   1)2  1y    

6、;   故选 C 总结：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或何法，利用方程思想解题3.已知  a log  0.2, b 2,c 0.20.20.3，则运用中间量比较 a , c ，运用中间量 比较 b , c2B.   acbC.   cabD.A.abcbca【答案】 B【分析

7、】012    2               0.2   1,则 0  c  1,a  c  b 故选   B 1, 0  0.2【详解】 alog 0.2log 10,

8、0;b220.2      0                  0.3 04. 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底长度之比是           5   1（5&

9、#160;  1      0.61，2                                        

10、 105cm，头顶至脖子下端的长度为量转总结：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变法，利用化与化归思想解题8的22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1长若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿为26 cm，则其身高可能是专业资料WORD 文档1专业资料WORD 文档A. 165 cmB. 175 cm        

11、0;        C. 185 cm                 D. 190cm【答案】 B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则 26  26 xxy&#

12、160;1055 12，得x42.07 cm, y5.15cm又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为42 07+5 15+105+26=178  22，接近 175cm 故选 B 26cm ，所以其身高约为总结： 本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法， 利用转化思想解题cos x  x   为函数 f(x)=sin x  

13、x2在  ，的 图像大致A.B.C.D.【答案】 D【分析】先判断函数的奇偶性，得f (x) 是奇函数，排除  A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案sin( x)( x)sin xx，得 f (x) 是奇函数，其图象关于原点对称又【详解】由2                

14、60; 2f ( x)                                f (x)cos( x)( x)cos x x124 2f ( )0 故选

15、 D f()2( )21,1222总结：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题5.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“  ”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有率是3 个阳爻的概专业资料WORD 文档2专业资料WORD 文档32           

16、      C.    2116                 B.    1132                D.

17、0;   11A.516【答案】 A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算C  ，所以【详解】由题知，每一爻有2 中情况，一重卦的6 爻有2 6 情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有3该重卦恰有3 个阳爻的概率为  C  

18、; =   523616 ，故选 A 6总结：对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题63                   C.    

19、23D.    56.已知非零向量a， b 满足A.6B.a = 2 b ，且（ a b）  b， 则 a 与 b 的夹角为6【答案】 B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算 等数学素养先由(ab)角b 得出向量 a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量 夹|b&

20、#160;|2 |b |【详解】 因为 (ab)b ，所以 ( ab) ba bb2 =0，所以 a bb2 ，所以 cos= a ba b221 ，2所以 a 与B b 的夹角为，故选3总结：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 17.如图是求212  12的

21、程序框图，图中空白框中应填入专业资料WORD 文档3专业资料WORD 文档A. A=12  AB. A= 21A             C. A=11 2A            D. A=112A【答案】 A【分析】本题主要考查算法中的

22、程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择111A, k12 是，因为第一次应该计算21 = 2A221，【详解】执行第1 次，kk 1 =2 ，循环，执行第 2 次，k22 ，是，因为第二次应该计算2   12121，=       k  k 1 =3 ，循环，执行第 3&#

23、160;次，k 2 2 ，2  A1否，输出，故循环体为A2A，故选 A 1总结：秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为     A2A8.记 Sn 为等差数列  an  的前 n 项和已知 S40， a55 ，则2n  8nnA. an2n5B. an3n 10【答案】 AC. Sn2D

24、.Sn1222n【分析】4( 72)等差数列通项公式与前对C，n 项和公式 本题还可用排除， 对 B ， a5 5 ， S42 210  0 ，排除 B，S40, a5S5S42 5  8 5  0  10  5，   排   除    C

25、   对    D  ，专业资料WORD 文档12S0,aSS42 4 005 ，排除 D ，故选 A 【详解】由题知，   S  4a    4   3 0 ，解得d  2      a2455424

26、0;       1d                 a 3 ，1n2   5n   ，故选 A aa4d551总结：本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于

27、首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断4专业资料WORD 文档2B29. 已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ， F2(1,0 ) ，过 F 2 的直线与 C 交于 A ， B 两点.若 AF  F2 ，则 C 的方程为ABBF1xx   y1     &#

28、160;   C.   xyD.xyA.22y212      2 2      22B.  3                   4 3125241【答案】 B【分析】可以运用

29、下面方法求解：如图，由已知可设F Bn ，则 AF22n , BF1AB  3n ，由椭圆的定义有22aBFBF4n,  AF2a  AF2n在 AF1 F2 和  BF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 得12124n  ,4n24 2 2n 2 cos AF F2，

30、又  AF F ,  BF F 互补，  cos AF F2 1 2 1 2 1cos BF F2 10 ，21n3n   6  11n两224 2 n 2 cos BF F9n2  1式    消  

31、;  去    cos AF F , cos BF F2 1 2 1，得       2         2，解    得3 ,  b   a  c  

32、; 3   1  2 ,  所求椭圆方程为  xyn32 2a  4n  2 3 ,  a2      2 223221 ，故选 B 【 详 解 】 如 图 ， 由 已 知可 设F2 B&#

33、160; n， 则 AF22n, BF1AB  3n ， 由 椭 圆 的 定 义 有2aB F1B F 4 ,n2A F 21na  A F2  在  A 1F B中 ， 由 余 弦 定 理 推 论 得2cos 

34、;  F AB  4n  9n  9n122212 2n 3n1  AF F 中，由余弦定理得1 232       24    4   2 2  2     4n   n 

35、60;    n  n     ，解得     3n     323 ,  b   a  c   3   1  2 ,所求椭圆方程为x   y2a4n2 3 ,a2

36、60;     2     22      23   21 ，故选 B 总结：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养10. 关于函数 f (x)sin | x | | sin x |有下述四个结论： 

37、;f(x)是偶函数 f(x)在区间（ f(x)在 ,  有 4 个零点,  ）单调递增2 f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A. 专业资料B. C.                   D. WORD 文档【答案】 C【分析】画出函数f&

38、#160;xsin xsin x 的图象，由图象可得正确，故选C5专业资料WORD 文档【详解】fxsinxsinxsin x  sin x   f x ,  f x 为偶函数，故正确当2x时，f x  2sin x ，它在区间,2单调递减， 故错误当0  x时， f x  2sin x 

39、，它有两个零点： 0；当x  0时，f x  sin  x  sin x   2sin x ，它有一个零点：，故f x在,有 30个零点：            ，故错误当 x  2k , 2kk  N时， f 

40、;x  2sin x ；当kxk2, 22k  N时，f x  sin x sin x  0 ，又 f x为偶函数，   f x的最大值为2 ，故正确综上所述，正确，故选 C总结：化简函数f x  sin x  sin x ，研究它的性质从而得出正确答案11. 已知三棱

41、锥 P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上， PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA， PB 的中点， CEF =90°，则球 O 的体积为A. 8 6B. 4 6              

42、;C. 2 6              D.  6【答案】 D【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的适合空间想象能力略差学生PA设PBPC2x ，E ,F 分别为 PA, AB 中点，EF / /PB ，且 EF1PB  x ，ABC 为边长为 

43、2 等边三角形，21CF3又  CEF  90CE2,AE3  x             PA  x2x  ，作  PDAEC 中余弦定理cos EAC  x2432AC 于 D ，  PA PC ，2 2 

44、x431Q D 为 AC 中点，cosEACADPA12x ，2 2x         x      ，4x 2x22                   21 212x专业资料x

45、x             ，  PA PB  PC   2 ，又 AB=BC =AC =22 2，  PA , PB , PC 两两WORD 文档6专业资料WORD 文档垂直，2R2226 ，6446 6R， 

46、0;V3R6 ，故选 D.2338【详解】PA  PB  PC,   ABC 为边长为 2 的等边三角形，   P ABC 为正三棱锥，PBAC ，又 E ，F 分别PA、AB 中点，EFPB， EFAC ，又EFCE， CEACC,EF/ /平面PAC ， PB平面PAC，PABPAPBPC2 ，PABC&

47、#160;为正方体一部分， 2R2226446 63R,VR6，故选 D 23386 ，即总结：本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x  在点 (0,0)  处的切线方程为   _12. 曲线 yx2    &

48、#160;    x【详解】详解：   /  3(2  1)   x 3(所以，  k  y  |x  3y    x   x   在点 (0,0)  处的切线方程为 y 3x ，即 3x 

49、 y 0 3()e【答案】 3xy0 .【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程2)x3(231)x ,yxexx exxe/0所以，曲线2x3()e总结：准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求a    ， a   a   ，则  S =_313

50、. 记 Sn 为等比数列  an 的前 n 项和若121            4      65【答案】1213.【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S 题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查5专业资料WORD 文档2  

51、                          32a    , a   a  ，所以   (   q  )   q 

52、;, 又 q 0 ，3【详解】设等比数列的公比为q ，由已知1               1      13      31          4  

53、0;    61            5所以 q3,所以S55(1 3 )5a (1 q )  3        12111 q      1 3    &#

54、160;37专业资料WORD 文档计分总结：准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式式算，部考生易出现运算错误0.3，且各场比赛结果相互独立，则队以   4  1 获胜的概率是   _的的【详解】前五场中有一场客场输，甲队以     4:1  获胜的概率是0.5   0.5   2  0.108,前五场中有一场主场输，甲队

55、以4:1  获胜的概率是0.60.53  0.108,xy1(a   0,b   0) 左、右焦点分别）排次依14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安为“主主客客主客主 ”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为甲【答案】 0.216.【分析】式目本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公求解题有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分

56、类讨论思想的考查30.4220.4综上所述，甲队以4:1 获胜概率是 q00.1080.1080.216.的总结：由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二思维全面性是否具备，要考虑甲队以4:1 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算2215. 已知双曲线 C ：为F 1， F2 ，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别22ab交于 A ， B 两点若C_F AA

57、B， F1B F2 B0 ，则 的离心率为 _1【答案】 2.【分析】运养，本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学算素采取几何法，利用数形结合思想解题【详解】如图专业资料WORD 文档由OF , 得 OA 是三角形   F F B 的中位线，即   BF  / /OA, BFF AAB, 得&

58、#160;F AAB. 又 OF1112 1 2 2 22OA.1由 F B F 2B则0 ，得 F1 B  F2 B,OA  F1 A, OB OF1OF , 有2AOF 又  OA 与 OB 都是渐近线，得OBF2BF O  2 OBF2 12&

59、#160;OF B,  AOB11bBOF2则AOF ,BOF120 060 又渐近线 OB 的斜率为    tan60    3，所以该双曲线的离心率acb22为 e1 ( )1( 3)2aa离总结：此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其60  , 从而突破问题障60  , 即得形斜心率的关系，

60、 也不能顺利求解， 解题需要结合几何图，关键得到到渐近线的倾角为0碍BOF2AOF1BOA20  01第骤722三、解答题：共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。8专业资料WORD 文档（一）必考题：共60 分。sin   Asin B sin C 16.V ABC 的内角 A， B&

61、#160;， C 的对边分别为 a， b， c，设 (sin B sin C)（ 1）求 A ；（ 2）若  2a b  2c ，求 sinC22【答案】（ 1）A；（2） sin     6C2.3【分析】4（ 1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2c 2  a 2

62、60; bc ，从而可整理出 cosA ，根据 A0,  可求得结果；（ 2）利用正弦定理可得2 sin Asin B2sin C ，利用 sin B sin A C 、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cosC 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（ 1）       

63、60;      2sin B   sin C   sin  B2sin Bsin C   sin  C  sin  A   sin BsinCb  c  a   bccos A  b

64、60; c  a   1222即： sin2 Bsin 2 Csin2 Asin B sinC由正弦定理可得：2222222bc2A（ 2）0,A =32a  b   2c ，由正弦定理得：   2 sin A  sin B  2sin C又 sin Bsin

65、 A Csin AcosCcos Asin C ，A333       12cosC   sin C  2sin C22       2整理可得：3sinC6   3cosCsin  C  cos  C  1 

66、     3si nC6    3  1   siCn2222解得：  sin C   64所以  sin C  62或因为sin2sin2 sin因为BCsin2sin2 sin6A422sin2sinC6  06  04 ，故 sin C642.

67、2（ 2）法二：2ab2 c ，由正弦定理得：   2 sin A  sin B  2sin C又 sin Bsin A Csin AcosCcos Asin C ，A32整理可得：33       1cosC   sin C  2sin 

68、C22       23sinC  6   3cosC，即3sin   3cos2 3 sin66CC         C专业资料WORD 文档sin C622C   512或 1112A且 A C3C5129专业资料WORD 文档5sinCsins

69、insin  cos   cos sin6212646    4     6   44总结：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.17. 如图，直四棱柱ABCD A 1B1C1D 1 的底面是菱形， AA1=4 

70、， AB=2 ，BAD =60°， E， M ， N 分别是 BC，BB1， A1D 的中点（ 1）证明： MN平面 C 1DE；（ 2）求二面角 A-MA 1-N 的正弦值【答案】（ 1）见解析；（ 2 ）105.【分析】（ 1）利用三角形中位线和    A D/ /B C11可证得ME/ /ND，证得四边形 MNDE为平行四边形，进而证得MN / /DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（&#