随机过程-第二章一

1、1.1.平稳过程的概念平稳过程的概念 一一. . 引例与概念引例与概念 ( (一一) ) 例例 1 1、飞机控制在高为、飞机控制在高为 h h 的水平面上飞的水平面上飞行，由于大气湍流的影响而产生随机上、行，由于大气湍流的影响而产生随机上、下波动。下波动。 )(1tH 是个随机过程，其特点是：是个随机过程，其特点是： 第二章第二章 平稳过程平稳过程 1 1、有后效性。由于飞机飞行时有很大惯性，在、有后效性。由于飞机飞行时有很大惯性，在 1t点点波动情况对波动情况对2t点波动影响大，且点波动影响大，且2t与与 1t越近，影越近，影响越大。响越大。 2 2、 过程的统计特征不随时间的平移而变化。

2、（即不随、 过程的统计特征不随时间的平移而变化。 （即不随时间原点的选择变化， 如原点左移时间原点的选择变化， 如原点左移 5 5 单位， 仅曲线在单位， 仅曲线在新坐标下向左移新坐标下向左移 5 5，而过程的统计特性不变。 ），而过程的统计特性不变。 ） 例例 1 1、过程、过程 )(tX 满足条件满足条件 1 1，2 2。该类随机过程其统。该类随机过程其统计特征是产生随机现象的主要因素不随时间而变化， 称计特征是产生随机现象的主要因素不随时间而变化， 称为平稳过程。为平稳过程。 例例 2 2飞机升、降飞行时，由于飞机惯性，这个过程同飞机升、降飞行时，由于飞机惯性，这个过程同样有后效性，但它

3、的统计特征随时间的平移而变化样有后效性，但它的统计特征随时间的平移而变化。 例例 3 3、过程、过程 )(tX 统计特征与统计特征与 t t 有关，称为非平稳有关，称为非平稳过程。过程。 （二二）定定义义：设设 X X（t t） ，t tT T 如如果果对对任任意意和和实实数数 1t，2t，ntT T 及及 1t+ +，2t+ +，nt+ +T T， 对对任任意意 n n 有有 ),;,(),;,(21212121 nnnnnntttxxxFtttxxxF 则则称称 X X（t t） ，t tT T 是是严严（格格）平平稳稳过过程程。 （1 1） 如果如果XX（t t） ，） ，t tTT的概

4、率密度函数存在，则严的概率密度函数存在，则严平稳过程条件等价于平稳过程条件等价于 ),;,(),;,(21212121 nnnnnntttxxxftttxxxf （2）当当 T T 是离散集是离散集，如如, 2, 1, 0 T 随机序列随机序列),(TttX ，对任意对任意 m和整数整数Tkkkn ,21及Tmkmkmkn ,21， 对对任任 n有有 )(,)()(,)()(,)()(,)(33,221133,2211mkXxmkXxmkXxmkXPxkXxkXxkXxkXPnnn 则则称称 X X( (t t) )，t t= =0 0，1 1 平平稳稳（随随机机）序序列列。 （1 1）平稳性

5、反映在观测记录（即样本曲线方面的平稳性反映在观测记录（即样本曲线方面的特点是：随机过程所有样本曲线都在某一水平直线上特点是：随机过程所有样本曲线都在某一水平直线上下随机地波动）下随机地波动）。一般来说：任何动力学系统的随机过程，开始是不一般来说：任何动力学系统的随机过程，开始是不平稳的，过一段时间后看作平稳过程。平稳的，过一段时间后看作平稳过程。 二、严平稳过程的数字特征。二、严平稳过程的数字特征。 假设严平稳过程假设严平稳过程XX（t t）,t,tTT，一阶矩，二阶矩是，一阶矩，二阶矩是存在的，若该过程的密度函数存在。存在的，若该过程的密度函数存在。 对一维分布有对一维分布有: :f(x;t

6、)=f(x;t+f(x;t)=f(x;t+) ) t, t+t, t+T T 1 1 均均值值函函数数是是常常数数 XXmtm )( )();();()( tmdxtxxfdxtxxftmXX 若若令令：- -t t= =，则则 XXmdxxxftm)0 ;()(常常数数 2 2、 均方值函数均方值函数XXt )(常数常数。 dxtxfxdxtxfxtXEtX);();()()(222 为为常常数数Xdxxfx )0 ,(2 3 3、 方方差差函函数数 D DX X（t t）= =常常数数 常常数数 22)()()(XXXXmtmttDX 对对严严平平稳稳过过程程有有 );(),;,(2121

7、2121 ttXXfttXXf ), 0;,(), 0;,(2112211 XXfttXXft 即即 知知二二维维概概率率密密度度函函数数仅仅与与时时间间间间隔隔 t t2 2- -t t1 1= =有有关关。 4 4、自相关函数自相关函数 212121212121),;()(),(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX = = 212121), 0 ;,(dxdxxxfxx = =)( XR 其其中中= = 12tt 5 5、协方差函数、协方差函数 ),(),(1121 ttCttCXX )()(),(1111 tmtmttRXXX= =2)(XXmR 与与 t t 无无关关与与有有

8、关关 说说明明相相关关函函数数仅仅与与= = 12tt 时时间间间间隔隔长长度度有有关关 二二宽宽（弱弱）平平稳稳过过程程 1 1定定义义：设设随随机机过过程程 X X（t t）, , t tT T 的的一一、二二阶阶矩矩存存在在， 若若有有)()(常常数数XXmtm 和和)(),( XXRttR 与与 t t无无关关，则则称称 X X（t t）, , t tT T 是是弱弱（广广义义、宽宽）平平稳稳过过程程。 2 2一一般般 强强平平稳稳过过程程 ?弱弱平平稳稳过过程程 强强平平稳稳过过程程?弱弱平平稳稳过过程程 加条件一、二阶矩存在加条件一、二阶矩存在 定理（定理（P46P46）：正态过程

9、是强平稳过程的充要条件是它）：正态过程是强平稳过程的充要条件是它是弱平稳过程。即正态过程的强平稳性和弱平稳性是是弱平稳过程。即正态过程的强平稳性和弱平稳性是等价的。等价的。3 3、 举举例例 例例1 1 P P1 18 8 例例2 2 书书 P P4 49 9 例例 4 4 例例 3 3 书书 P P5 50 0 例例 5 5 公公式式AEDAEA22 例例 4 4、设设随随机机序序列列 X X（n n）, ,n n= =0 0，1 1，2 2， 其其中中 X X（n n）是是两两两两不不相相关关的的随随机机娈娈量量，E EX X（n n）= =0 0, ,D D( (X Xn n) )= =

10、2 2 由由)(nX的的两两两两不不相相关关性性，可可知知 时时，时时00, 0),(2mmmnnCX )(),(cov),(mnXnXmnnC )()(),(mnEXnEXmnnRX = = 0),( mnnRX X X（n n）是是平平稳稳随随机机序序列列，称称为为离离散散白白噪噪声声 故故)()(),(mnXnXEmnnRX 0,0, 0),(2mmmnnCX 如如果果 X X（n n）又又服服从从正正态态分分布布 N N（0 0, ,2 2） ，那那么么称称 X X（n n）为为正正态态白白噪噪声声。 例例 5 5. . 设设 X X（n n）, ,n n= =0 0，1 1，2 2，

11、 是是离离散散白白噪噪声声（平平稳稳）序序列列 作作 NkkknXanY0)()( n=0 n=0，1 1， 其中其中 N N 是自然数，而是自然数，而naaa,21是常数。是常数。 称称 Y Y（n n）是离散白噪声）是离散白噪声 X X（n n）的滑动和）的滑动和， 试问试问 Y Y（n n）是否是平稳序列）是否是平稳序列 )()(),(mnYnYEmnnRY = = )()(00 nkNjjkjmnXaknXaE 0)()(0 nkkknEXanEY = = NkNjjkjmnXknXEaa00)()( = = NNkmkkmkaa002 由由于于 E EY Y（n n）是是常常数数，)

12、(mnRY 与与 n n 无无关关，故故 Y Y（n n）是是平平稳稳序序列列。 2 2. . 相相关关函函数数性性质质 一一自自相相关关函函数数的的基基本本性性质质 X X（t t）, ,t tT T 是是平平稳稳过过程程 )(),(XXRttR 1 1 0)()0(2 XXtXER ，所所以以)0(XR表表示示平平稳稳过过程程的的“平平均均功功率率” 2 2 )0()(XXRR 由柯西由柯西许瓦兹不等式许瓦兹不等式)()()(22YEXEXYE 可可证证)()(),()(tXtXEttRRXX )0()0()0()()(22XXXRRRtXEtXE 上上述述两两个个不不等等式式说说明明自自

13、相相关关函函数数和和自自协协方方差差函函数数都都在在= =0 0 处处取取得得最最大大值值。 同同理理可可证证知知自自协协方方差差 )0()(XXCC 3 3)(XR是是偶偶函函数数，即即 )()(XXRR 证证明明：)()(),()(tXtXEttRRXX = =)(),()()(XXRttRtXtXE 4 4)(XR是是非非负负定定的的 同同 理理 ，可可 证证 协协 方方 差差 函函 数数 也也 有有 以以 上上 四四 条条 性性 质质 ，只只 是是 第第一一 条条 改改 为为)()0(XDCX 例例 5 5 下下图图是是一一个个随随机机过过程程的的一一个个样样本本函函数数，它它在在 n

14、tt 0时时刻刻具具有有宽宽度度为为 b b 的的矩矩形形脉脉冲冲波波，脉脉冲冲幅幅度度 A A以以等等概概率率取取a a， tb ，0t是是在在（0 0， t）上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量，而而且且脉脉冲冲幅幅度度 A A 与与 t相相互互独独立立，写写出出该该过过程程 X X （t t） 的的表表达达式式并并判判断断 X X （t t） 是是否否是是平平稳稳过过程程。 解解：因因为为脉脉冲冲以以t t为为周周期期且且0t在在（0 0， t）上上均均匀匀分分布布，所所以以只只需需要要写写出出一一个个周周期期的的情情况况即即可可。 0000,0,)(tttbtbtttAtX

15、 因因为为 02121)(0 aattXE 对对任任意意的的 t t，有有 t t，t t+ +， 0 0 当当 t时时，X X（t t）与与 X X( (t t+ +) )的的脉脉冲冲处处于于不不同同的的周周期期，由由独独立立性性知知道道 0)()()()(tXEtXEtXtXE 所以所以0)| )()(0 ttXEtEX 当当t时：时： 且且 X X（t t）与）与 X X（t+t+）的脉冲处于不同的周期）的脉冲处于不同的周期时，仍有时，仍有0)()(tXtXE 当当 X X（t t）与与 X X（t t+ +）的的脉脉冲冲处处于于同同一一个个周周期期时时，由由分分析析知知道道，当当0t

16、t t0t+ +b b 而而 0t+ +b b t t+ + t+ +0t 时时，仍仍有有 E E X X（t t）X X( (t t+ +) ) = =0 0 仅仅当当0t t t+ +b b+ +0t时时有有 tbatbtttPatXtXERX202)()()( 结 合结 合 00 0 有有0lim XXPnn 3、 依依分分布布收收敛敛设设)(xFn与与 F（x）分分别别表表示示 Xn 与与 X 的的分分布布函函数数，若若对对 F 的的每每个个连连续续点点 x 都都有有)()(limxFxFnn ，则则称称 X Xn n 依依分分布布趋趋于于 X X，记记XXdnn 就是说就是说 XnX

17、n 依概率收敛于依概率收敛于 X X。记为。记为XXpnn 4 4、均均方方收收敛敛 若若0lim2 XXEnn 以上收敛最简单形式是均方收敛，它仅涉及单独一个以上收敛最简单形式是均方收敛，它仅涉及单独一个数列， 而对数列， 而对sa 或或p p收敛是要每一个都有一个序列，收敛是要每一个都有一个序列，故讨论的是一族序列，现在我们用的是均方收敛。故讨论的是一族序列，现在我们用的是均方收敛。 则则称称 nX 在在均均方方意意义义下下趋趋于于 X X 记为：记为：XXmilnn 或或XXsmnn lim 注注意意符符号号意意义义： nmil是是对对随随机机序序列列而而言言，nlim是是对对数数列列而

18、而言言 均方极限的性质：均方极限的性质： 1 1 、 若、 若XXmilnn 则则)()(limXEnXEn 即即)(limnnnnXmilEXE 说明极限与数学期望可以互说明极限与数学期望可以互交换次序。交换次序。 2 2、若若XXmilnn 又又YYmilnn 则则)()(limXYEYXEnknk 特特殊殊地地，若若XXmilnn 则则 )()(lim2XEXXEnknk 3 3、若若数数列列 na，n n= =1 1，2 2， 有有极极限限，0lim nna， 又又 X X 是是随随机机变变理理，则则0 Xamilnn 证证明明：2XaEn 0)(22 nnXEa其它性质，自己看其它性

19、质，自己看（二）均方连续性（二）均方连续性（三）均方导数（三）均方导数（四）均方积分（四）均方积分 1 1定义：定义：P34P34，设，设X(t)X(t)，t taa，bb是随机过程且是随机过程且f(t)f(t)，t taa，bb是函数是函数 将将aa，bb分成分成 n n 个子区间，个子区间， 分点为分点为 btttan 10 作和式作和式 nkkkkkttuXuf11)()(，),1kkkttu ，k=1k=1，2 2，n n 取极限（均方极限）取极限（均方极限） nkkkkknttuXufmil110)()(（其中（其中)(max11 kknktt） 存在， 且与子区间的分法和） 存在，

20、 且与子区间的分法和 ku的的取法无关，取法无关， 则则称称此此极极限限为为 f f( (t t) )对对 X X（t t）在在 a a，b b 的的均均方方积积分分。记记为为 badttXtf)()(此此时时称称 f f( (t t) )X X( (t t) )在在区区间间 a a, ,b b 上上是是均均方方可可积积的的。 说说明明：为为方方便便令令 f f（t t）= =1 1，即即 baYdttX)(),( （1 1）X X（t t，） ，是是定定义义在在 a at tb b 的的随随机机过过程程。 对对给给定定的的0 ，X X（0 ，t t）是是一一普普通通的的时时间间 t t 函函

21、数数。 积积分分 baYdttX)(),(00 其其实实际际意意义义完完全全可可以以确确定定一一般般定定积积分分。 0 任任意意性性，)(0 Y不不同同， 故故此此积积分分是是在在上上随随机机变变量量。 （2 2）又）又0 不同，上式积分并不是对每个不同，上式积分并不是对每个0 都存在。都存在。 上式积分可理解为上式积分可理解为 Y Y 定义定义为和式的均方为和式的均方极极限。限。 0)(lim210 niiitttXYE，即即：YttXmilniiin 1)( badttX)(理解为“均方意义”下的积分理解为“均方意义”下的积分， Y Y是随机娈量，是随机娈量，故可求均值。故可求均值。 推推

22、广广至至一一般般：YdttXtfba )()(是是 r r. .v v. .故故可可求求均均值值 性性质质：1 babadttEXdttXEYE)()()(一一般般可可交交换换 2 babaxbadttmtfdttEXtfdttXtfE)()()()()()( 3 若若 X X 是随机变量，则是随机变量，则 babadttfXXdttf)()( 4 若若、是是常常数数，则则 bababadttYdttXdttYtX)()()()( 5 babaXbadsdttsRtfsfdttXtfE),()()()()(2 bbaadttXtfdttXtfmil)()()()(存存在在， 类似可定义类似可定

23、义 dttXtf)()( 推广：若推广：若 baabdttXtfdttXtfmil)()()()(存存在在 3. 3. 各态历各态历经经性性 一、概念一、概念 1 1引言：平稳过程重要的二个数字特征：期望和相关引言：平稳过程重要的二个数字特征：期望和相关函数怎样通过实验测试来近似地确定呢？函数怎样通过实验测试来近似地确定呢？ 一一种种想想法法：进进行行 n n 次次实实验验，观观察察得得到到 n n 条条样样本本曲曲线线)(1tx，)(txn用用点点估估计计方方法法， 对固定对固定1t niiXtxntEXm111)(1)( nkkkXtxtxntXtXER11111)()(1)()()( 各

24、态历经性定理就是研究平稳过程只要满足一些较各态历经性定理就是研究平稳过程只要满足一些较宽的条件实用上可用一个样本（曲线）函数在整个宽的条件实用上可用一个样本（曲线）函数在整个时间轴上的平均去估计时间轴上的平均去估计)(tEX、)( XR等， 这可大大减等， 这可大大减少工作量。少工作量。 2 2什么是平稳过程的各态历经性？什么是平稳过程的各态历经性？ 设设, 0),( ttX是平稳过程是平稳过程。 （1 1）)(tXEmX 是是)(tX的均值，在数据处理上的均值，在数据处理上叫集合平均值或空间平均值。它是平稳过程所有可叫集合平均值或空间平均值。它是平稳过程所有可能出现的样本函数集的平均值。能出

25、现的样本函数集的平均值。（2 2）)(tX中中一一条条样样本本曲曲线线)(tx，称称 TdttxT0)(1为为)(tx在在区区间间 0 0， T T 上上的的对对时时间间 t t 的的平平均均值值称称为为时时间间平平均均值值， 记记为为Tm。 （3 3）平平稳稳过过程程),(),( ttX 如如果果均均方方极极限限 TTTtXdttXTmil)()(21存存在在记记称称为为)(tX在在),( 上上的的时时间间平平均均或或时时间间均均值值。 对对固固定定的的，若若均均方方极极限限 TTTtXtXdttXtXTmil)()()()(21 存存在在记记 称称之之为为过过程程在在),( 上上的的时时间

26、间相相关关函函数数。 注注意意： )(tX， )()( tXtX仍仍是是随随机机变变量量 图图 a a 平平稳稳过过程程)(tX的的每每一一样样本本曲曲线线绕绕同同一一Xm上上下下波波动动，且且这这些些波波动动的的平平均均振振幅幅是是相相等等的的。 图图 b b 虽然每一条样本曲线绕同一虽然每一条样本曲线绕同一Xm上下波动，但每上下波动，但每条曲线都有条曲线都有它自己的平均值，且不相等。它自己的平均值，且不相等。 用用数数学学语语言言来来说说，关关于于（充充分分长长的的）时时间间的的平平均均近近似似地地等等于于观观察察总总体体的的集集合合平平均均。 定义定义：平稳过程：平稳过程),(TttX

27、，若，若XsamtX )(， 则称平稳过程则称平稳过程)(tX具有数学期望的各态历经性。具有数学期望的各态历经性。 若若)()()( XsaRtXtX ，则则称称平平稳稳过过程程)(tX具具有有相相关关函函数数的的各各态态历历经经性性。 数学期望的各态历经性和相关系数的各态历数学期望的各态历经性和相关系数的各态历经性统称为平稳过程的各态历经性经性统称为平稳过程的各态历经性所以图所以图 a a 那类的平稳过程是有各态历经性，可以理解为那类的平稳过程是有各态历经性，可以理解为随机过程的各个样本曲线都同样经历了随机过程的各随机过程的各个样本曲线都同样经历了随机过程的各 种可能状态。因此，从它任何一个

28、样本函数就可种可能状态。因此，从它任何一个样本函数就可以得到以得到它的全部统计特征。它的全部统计特征。 P57 P57 例例1 1，例，例2 2 二、各态历经性定理。二、各态历经性定理。 定理一定理一（数学期望各态历经性定理）（数学期望各态历经性定理） 设设),( ttX是平稳过程，则是平稳过程，则XsamtX )(的充分的充分必要条件是必要条件是 TXXTdmRTT2020)()21(1lim 分析分析：利用利用0)( XDCXvrsa 从讨论从讨论0)( tXD是否成立入手是否成立入手 又又 )()()(22tXEtXEtXD 故先求故先求?)( tXE，再求再求?)(2 tXE )(21

29、)( TTTdttXTmiLEtXE证明：证明：)(21lim TTTdttXET TTXTmdttEXT)(21lim)(21)(22 TTTdttXTmilEtXE2)(21lim TTTdttXTE)()(41lim22112 TTTTTdttXdttXET TTTTTdtdttXtXET)()(41lim21212 TTTTTdtdttXtEXT21212)()(41lim TTTTXTdtdtttRT21122)(41lim作作积积分分变变换换：令令121tt ，122tt ，2111111 T TTTTXTdtdtttRT21122)(41lim= = HXTddRT212221)

30、(41lim DXTddRT212221)(441lim 220112022)(21lim TXTTdRdT= = 222022)2( )(21lim dTRTTXT = = dRTTTXT 202)()2(21lim dRTTTXT 20)()21(1lim又又 TdTT201)21(1 22)()(XmtXEtXD = = TXXTmdRTT202)()21(1lim = = dmRTTTXXT 202)()(21(1lim 下面证明定理，注意下面证明定理，注意 XmtXE是常数是常数 )( 若若 0)()()( tXDtXEtXsa 即是定理结论即是定理结论推论推论：若平稳过程：若平稳过

31、程)(tX满足条件满足条件2)(limXXmR 即即0)(limXC 则则 XsamtX)( 例例 书书P62P62例例3 3 定理：定理： 书书P62 P62 四四、各各态态历历经经定定理理的的应应用用 可可以以证证明明：若若XXmilnn 是是均均方方收收敛敛，有有定定理理均均方方收收敛敛一一定定依依概概率率收收敛敛，即即有有nX依依概概率率收收敛敛到到X X。 即即对对任任 0 0，有有1lim XXPnn 各态历经定理的重要性是从理论上给了如下保证：各态历经定理的重要性是从理论上给了如下保证： 一个平稳过程一个平稳过程)(tX只要它满足了定理的条件， 可以以只要它满足了定理的条件， 可

32、以以“依概率成立”的一些结论。“依概率成立”的一些结论。 历历经经性性的的含含义义是是从从一一次次试试验验所所得得到到的的样样本本函函数数)(tx来来确确定定出出)(tX的的均均值值和和自自相相关关函函数数， 实实际际情情况况如如何何估估计计呢呢？ 当一个具有各态历当一个具有各态历经经性的平稳过程它的任一样本函性的平稳过程它的任一样本函数经历了足够长的时间，即认为它经历了各种可能数经历了足够长的时间，即认为它经历了各种可能的状态，所以可以从中任取一个样本函数来观察分的状态，所以可以从中任取一个样本函数来观察分析平稳过程的概率特性。析平稳过程的概率特性。 为了获得数据， 必须对所取的样本函数进行

33、采样。 所为了获得数据， 必须对所取的样本函数进行采样。 所谓谓采采样就是每隔单位时间对所取的样本函数样就是每隔单位时间对所取的样本函数)(tx进进行一次读数（测量）行一次读数（测量） 可可将将 0 0，T T 区区间间按按等等分分方方式式进进行行，NTt 称称为为采采样样间间隔隔分分点点 Tttttn 2100，其其中中)(1 kkkttkNTktkt，k k= =1 1，2 2，N N 称称)()(NTkxtxk 为为)(tx在在采采样样点点NTktk （1 1k kN N）是是点点上上函函数数值值叫叫采采样样值值。 若若), 0(),( ttX是均方连续是均方连续的平稳过程，它满足定理的

34、平稳过程，它满足定理条件，它的一个样本曲线为条件，它的一个样本曲线为)(tx，在，在00，TT区间内获区间内获得了采样值得了采样值)()(ktxNTkx ，k k=0=0，1 1，2 2，N N 由由均均值值各各态态经经历历性性有有：XTTmdttxTmil 0)(1 即即对对任任 0 0 有有1|)(1|lim0 XTTmdttxT 当当 T T 很很大大 TXdttxTm0)(1 )()()(1)(1)1(200 TNTNNTNTNTTdttxdttxdttxTdttxT )()()(121NtxNTtxNTtxNTT = = NkktxNTT1)(1= = NkNkTxN1 )(1 当当

35、 T T 和和 N N 都很大且都很大且NT很小很小，)(11NkTxNmNkX 2 2相关函数相关函数)( XR的估计值的估计值 令令NT ，其中，其中固定，固定，= =0 0，1 1，2 2，m m（可可以取任意小于以取任意小于 N N 的正整数）的正整数）近似值要求近似值要求 T T 很大很大，N N也很大也很大，且且NT很小很小，通常取通常取25NN 由由 TTXdttXtXTmilR0)()(1)( a a. .s s 知知 1| )()()(1|lim0 TXTRdttXtXTP T T 很很大大 TXdttXtXTR0)()(1)( NTTNTTNTNTNTdtxtxdtxtxd

36、txtxT )1(20)()()()()()(1 )()1()()(1NTNTNxNTNxNTNTxNTxNTT N N1 1k k) )N NT TN Nk kT T( () )N Nk kT T( (N N1 1xx N N1 1k k) )N NT T) )( ( (k k) )N Nk kT T( (N N1 1xx采样定理：西北工大出版采样定理：西北工大出版P266P266一一般般计计算算时时间间相相关关函函数数近近似似值值，可可用用计计算算机机进进行行计计算算， 在在实实际际处处理理同同时时也也用用仪仪器器相相关关分分析析仪仪获获得得时时间间相相关关函函数数。 习习题题：P P1

37、10 03 3 1 1、2 2、4 4、6 6、7 7、9 9、1 10 0、1 13 3、1 15 5 复复变变函函数数复复习习 一一、基基本本概概念念 1 1奇奇点点：使使f f( (z z) )不不解解析析的的点点叫叫奇奇点点。 孤孤立立奇奇点点：)(zf在在0z不不解解析析，但但在在 0z的的某某一一邻邻域域 |00zz内内处处处处解解析析。 2 2极点：极点： （1 1） 定义： 如果） 定义： 如果)(zf罗纶级数中只有有限个罗纶级数中只有有限个0zz 的的负幂项，且其中负幂最高项负幂项，且其中负幂最高项mzz )(0则则0z是是)(zf的的 m m级极点级极点。 如如： 2001

38、02030)(3)()(3)(2)()(zzzzzzzzzzzf （2 2）如果）如果 )(lim0zfzz，则，则 0z是是)(zf的极点。这时的极点。这时)()(1)(0zgzzzfm 形形如如 其其中中g g( (z z) )在在0z处处解解析析，且且0)(0 zg，m m为为正正整整数数。如如果果)(zf满满足足上上式式或或满满足足 )(lim)()(lim000zgzfzzzzmzz（ 为为非非零零常常数数） 。则则称称0z是是)(zf的的m m阶阶极极点点 3零点、极点与零点的关系零点、极点与零点的关系（1 1） 零零点点： 如如果果)(z 在在0z处处有有)(z = =0 0，

39、则则称称0z为为)(z 的的零零点点，此此时时)()()(0zhzzzm ，其其中中0)(0 zh，m m 为为正正整整数数，称称0z是是)(z 的的 m m 阶阶零零点点。 （2 2）设设)(z 在在0z解解析析，如如果果0 0z z是是( (z z) )的的 m m 阶阶零零点点，那那么么0 0z z必必是是( (z z) )1 1f f( (z z) ) 的的 m m 级级极极点点，反反之之成成立立。 （ 3 3 ） 设设( (z z) )在在0 0z z解解 析析 ， 且且 在在0 0z z满满 足足0 0) )(z(z) )(z(z) )(z(z0 01)1)(m(m0 0 0 0

40、， 且且0 0) )(z(z0 0m m ， 则则0 0z z是是( (z z) )的的 m m 阶阶极极点点。 如如：xxxfsin)(2 0)0( f，0)0( f，0)0( f，0)0( f x x=0=0，是，是)(xf的三级零点的三级零点 通通过过零零点点可可以以判判别别极极点点（4）极极点点与与零零点点互互为为倒倒数数关关系系 如如：上上例例x x= =0 0是是xx sin12的的三三级级极极点点， 如：如：32)1)(1(3)( zzzzf， z z=1=1是三级极点，是三级极点， iz 是是一一级级极极点点 二二、留留数数 1 1定定义义：设设0z是是)(zf的的孤孤立立奇奇

41、点点，c c 是是)(zf在在0z的的解解析析邻邻域域Rzz |00内内包包围围0z的的简简单单闭闭曲曲线线，积积分分 cdzzfi)(21 是是与与路路径径 c c 无无关关的的定定值值， 称称为为)(zf在在0z的的留留数数或或残残数数（R Re es si id du ue e）记记为为),(Re0zzfs或或)(Re0zfszz ， 即即 cdtzfizzfs)(21),(Re0 ，其其中中 c c 是是正正向向闭闭曲曲线线。 2 2留留数数计计算算公公式式 （ 1 1 ） 设设0z是是)(zf的的 一一 级级 极极 点点 ， 则则)()(lim),(Re000zfzzzzfszz （

42、2 2）Q Q( (z z) )P P( (z z) )f f( (z z) ) ，0 0z z是是 Q Q( (z z) )的的一一阶阶零零点点， 而而0)(0 zP，则则)()(),(Re000zQzPzzfs （3 3）设设0z是是) (zf的的 m m 级级极极点点，则则 )()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 例例1 1、2) 1()( zzezfz， z z= =0 0是是 一一 级级 极极 点点 ， z z= =1 1是是 二二 级级 极极 点点 ccdzzzzgidzzfizfs0)(21)(210),(Re 公公式式法法一一定定义义)(

43、2210zigi czczdzzeziidzzzeii22)1(1221)1(221 本本例例1)10(22120 eii 1)1(lim)1(lim2020 zezzezzzzz法法二二1|)1(102 zzzez法三法三)1()1()!12(1lim 1),(Re221 zzezdzdzfszz)(lim1zedzdzz 0lim21 zezezzz例例 2 2 zzzezfzcossin1)( ，z z= =0 0 是是)(zf的的一一级级极极点点，)(zf是是分分式式形形式式 1|)sincos21|)cos(sin10),(Re00 zzzzzzzezzzezfs3 3 留数定理留数

44、定理： 设： 设)(zf在简单闭曲线在简单闭曲线 c c 的每一点都解析，的每一点都解析，而在而在 c c 内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点0z，1z，nz外也处外也处处解析，处解析， 则则 nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 其其中中 c c 是是正正向向闭闭曲曲线线。 例例 3 3 c c2 2z zd dz z1 1z zz ze e，c c 是是正正向向圆圆周周，c c 内内有有1 1 二二个个一一级级极极点点。 )1),(Re)1),(Re2 zfszfsi 上上式式1)1(lim1)1(lim22121 zzezzzezizzzz 122221chieei 三、留数在

45、定积分计算上的应用三、留数在定积分计算上的应用 1 1形如形如 dxxR)( 满足：满足：若若 R(R(x x) )是是x x的有的有理函数，而分母理函数，而分母x x的次数的次数 m m 至少比分子至少比分子x x的次数的次数 n n 高二次高二次 R(R(z z) )在实轴上没有奇点在实轴上没有奇点 则则此此积积分分存存在在且且为为 nkkzzRsi1),(Re2 ，其其中中 kz是是)(zf在在上上半半平平面面的的极极点点（或或仅仅取取下下半半平平面面） 2 2形形如如： dxexRaix)(（注注意意条条件件 a a 0 0） 满满足足：若若 R R( (x x) )是是x x的的有有

46、理理函函数数，m mn n1 1 R R( (z z) )在在实实轴轴上上没没有有奇奇点点 则则此此积积分分存存在在且且为为 nkkiazzezRsi1,)(Re2 ，其其中中kz是是上上半半平平面面的的)(zR的的极极点点（或或下下半半平平面面） 特别特别：)(Recos)(dxexRaxdxxRiax ，a0a0 )(Imsin)(dxexRaxdxxRiax ，a0a0 例例 1 1 dxbxaxxI)(22222， （a a 0 0，b b 0 0） m m= =4 4，n n= =2 2 m mn n2 2，)(ZR的的极极点点a ai i，b bi i不不在在实实轴轴上上， 取取上

47、上半半平平面面极极点点，a ai iz z1 1 ，b bi iz z2 2 ，均均是是一一级级极极点点。 I I = = ),(Re),(Re2bizRsaizRsi )()(lim)()(lim22222222222bzazzbizbzazzaizibizaiz )(2)(22222222bababibabaiai 例例： dxaxxI22cos ( (a a 0 0) ) 满满足足条条件件： )(xR m m= =2 2 n n= =0 0 )(zR极极点点 z z= =a ai i不不在在实实轴轴上上 取取上上半半平平面面极极点点 z z= =a ai i 先先求求 a ai i ,

48、,) )e e2 2i iR Re es s R R( (z zd dx xa ax xe ei iz z2 22 2i ix x aeazeaiziaizaiz )(lim222 aedxaxeIaix Re22 （a a 0 0） 傅氏变换复习傅氏变换复习 一、定义：设时间函数一、定义：设时间函数 x(t)x(t)， （， （- -t+t+）满足狄）满足狄氏氏条件（连续或只有有限个第一类间断点，有有限个极条件（连续或只有有限个第一类间断点，有有限个极值点）且绝对可积值点）且绝对可积，即，即dttx | )(|+ 0 0 ） ， 求求dtetxFti )()( 解：解：)( F= =dtee

49、tit | dteedteetittit 00 dtedtetiti 0)(0)( 0)(0)(|1|1titieiei ii 11222 例例 2 2、已已知知22) 1(1)( XF且且原原象象（函函数数）)(tx是是偶偶函函数数，求求)(tx（原原函函数数）= = deFtiX)(21 当当 t0t0 时，时，)(tx= = deti 22)1(121= =,)1(1Re2222iezsiizt ( (iz 时时二二级级极极点点，取取上上半半平平面面极极点点 iz ） 上上式式= =222)()()(lim22izizeizdzdiiztiz = =)(1)(2(lim23iztizti

50、ziteizeizi = =)482(tteiteii = =)(41tttee = =)1(41tet )(tx是是偶偶函函数数 )(tx= =|)|1(41|tet ，t 二二、傅傅氏氏变变换换的的性性质质 1 1线线性性性性质质 )()()()(22112211tfFctfFctfctfcF 逆逆变变换换线线性性性性质质 )()()()(21211122111tfFctfFctfctfcF 2 2平平移移性性质质 )()(00tfFettfFti 3 3卷卷积积性性质质 )()()()()(*)(tgFtfFduutgufFtgtfF )(*)()()(1tgtftgFtfFF 查表用性

51、质查表用性质P78P78 例例 2 2已已知知9104)(242 ，求求)(1 F )( = =9122 BA= =98518322 91851183)(21211 . 2781 FFFP表表9326851122832121 FF= =| 3|485163ttee = =)59(481| 3|ttee 拉拉氏氏变变换换复复习习 一一、由由傅傅氏氏变变换换到到拉拉氏氏变变换换概概念念 傅傅氏氏变变换换条条件件： )(tf满满足足狄狄氏氏条条件件， 在在),( 上上有有意意义义，绝绝对对可可积积， 其其中中绝绝对对可可积积的的条条件件是是要要求求是是比比较较强强的的，许许多多函函数数如如：正正弦弦

52、、余余弦弦等等也也不不满满足足。另外在应用中， 有的函数在另外在应用中， 有的函数在t0t 0 0）使使此此函函数数的的傅傅氏氏变变换换存存在在。 对对)0()()( tetut进进行行傅傅氏氏变变换换，就就成成了了拉拉氏氏变变换换。 dteetuttit )()(= = 0)()(dtetfti = = 0)(dtetfpt 二、计算二、计算 1 1用定义用定义 例例 1 1：求单位阶跃函数：求单位阶跃函数 0, 00, 1)(tttu的的拉氏变换拉氏变换 )(tuL = =dtept 0= = 0|1ptep= =p1（R Re eP P 0 0） 当当 R Re eP P 0 0 时时收

53、收敛敛 tpte 例例 2 2 求求ktetf )(的的拉拉氏氏变变换换（k k 为为实实数数） )(tfL = =dteeptkt 0= =dtetkp 0)(= =kp 1 （Re(PRe(P- -k)0k)0 或或 Re(P)k Re(P)k ） 2.2.查表法，利用性质查表法，利用性质 三三、拉拉氏氏变变换换性性质质。1 线线性性性性质质2 2、 延延迟迟性性质质 若若)(Lf(t)pF ，又又 t t 0 0） ptuL1)( 3 3、位移性质、位移性质 若若)()(pFtfL ， 则有则有)()(apFtfeLat （Re(PRe(P- -a)0a)0） 例例如如：求求matteL

54、 1)1( mmpmtL 1)()1( mmatapmteL (Re(P (Re(P- -a)0)a)0) 4 4、 微微分分性性质质 设设)()(pFtfL 则则有有 )0()()(fppFtfL ( (0 0) )f fp pf f( (0 0) )F F( (p p) )p p( (t t) ) L L f f 2 2 ( (0 0) )f f( (0 0) )f fp pf f( (0 0) )p pF F( (p p) )p p( (t t) ) L L f f1 1) )( (n n 2 2) )( (n n1 1) )( (n n( (n n) )( (n n) ) 特特别别当当

55、初初始始条条件件为为0)0()0()0()0()1( nffff 有有 )()(ppFtfL )()(2 pFptfL )()()(pFptfLnn 用用处处之之一一：可可将将)(tf的的微微分分方方程程化化为为象象函函数数F F( (p p) )的的代代数数方方程程。 例例：求解方程求解方程 0)0()0()0(133yyyyyyy 1 1、取取拉拉氏氏变变换换，把把微微分分方方程程化化为为象象函函数数的的代代数数方方程程 设设)()(pYtyL ，则，则)0()()(yppYtyL 原方程变为原方程变为 ppYppYpYppYp1)()(3)(3)(23 即即ppYppp1)()133(2

56、3 2 2、解解关关于于)(pY的的代代数数方方程程，求求得得3)1(1)( pppY 3 3、取取)(pY的的变变换换，得得到到原原方方程程的的解解)()(1pYLty 四、拉氏变换四、拉氏变换 )()(21)()(0pFdpepFidtetftfiiptpt 求法求法1 1、用定义、用定义 2 2、部分分式法用性质用公式、部分分式法用性质用公式例例 1 1 )3)(2)(1(1)( pPppF 求求)(1pFL 31012151161)( ppppF（1)1(1 pL延延迟迟性性质质 ） 1111 tepL ttteeepFL32110115161)( 例例 2 2 已知已知22222)(

57、)(apappF ，求，求)(1pFL 表表 )cos(sin21)(22221tattaappL )cos(sin21)(22221tattaapaL )()()(2222122221222221apaLappLapapL cost 3.3.用留数定理用留数定理 定理：若定理：若 p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n是是)(pF的所有奇点，适当选的所有奇点，适当选取取 使这些奇点全在使这些奇点全在 Re(p)Re(p)0t0 条件条件 例例 3 3求求1)(2 pppF的逆变换的逆变换 分分母母12 p有有二二个个单单零零点点，ip 1, ,ip 2即即是是)(pF的的两两个个单单极

58、极点点 tpkkptppkkepBpAepBpAs)()()()(Re 1)(21 ppLtf= =iptppep |)1(2+ +ipptppe |)1(2 = =)(21ititee = =tcos ( (t t 0 0) ) )0(cos121 ttppL（可可作作为为一一个个公公式式） 4 4用用卷卷积积定定理理 )()()(*)(2121pFpFtftfL 为为)(*)()()(21211tftfpFpFL 例例：222)1()( pppF，求求)()(1tfpFL 注意注意：例例 3 3 知知tppLcos)1(21 11)(22 pppppF tttfcos*cos)( = =

59、tdt0)cos(cos = = tdtt0)2cos(cos21 = =)sincos(21ttt 4. 4. 平稳过程的（功率）谱密度平稳过程的（功率）谱密度 一、预备知识一、预备知识 1 1 傅立叶变换的定义傅立叶变换的定义 设时间函数设时间函数)(tx, ,)( t满足狄氏条件（连续或满足狄氏条件（连续或只有有限个第一类间断点，有限个极值点）绝对可只有有限个第一类间断点，有限个极值点）绝对可积，即积，即 dttx| )(|，则，则 )(tx t象原函数象原函数 dtetxFtiX )()()( XF 象函数象函数 deFtxiX)(21)(一一般般)(xF是是复复函函数数，如如果果)(

60、tX是是实实函函数数，则则有有)()()(xtiXFdtetxF 2 2、巴巴赛伐公式赛伐公式 称等式称等式dFdttxX22| )(|21)(为巴赛伐等式为巴赛伐等式 证证明明： )(2tx= = 交交换换积积分分次次序序dtdeFtxtiX)(21)( ddtetxFtiX)()(21 dFFXX)()(21 dFX 2| )(|21称称左左式式 dttx)(2是是函函数数)(tx在在),( 是是的的总总能能量量， 右右边边积积分分中中被被积积函函数数2| )(| XF相相应应地地称称为为谱谱密密度度， 该公式可以称理解为总能量的谱表达式该公式可以称理解为总能量的谱表达式。 二二、概概念念