04183概率论与数理统计

1、4183概率论与数理统计第一章随机事件与概率Au B, B A/A=B包含与相等A= B, B匚AWJA = BA发生必须导致B发生AU B/ A+B和事件A=B,则AUB = BA,B中至少有一个发生，A B/ AB积事件A=B,则AB = AB=AA,B同时发生A-B差事件A= B,则AB=6;A发生而B不发生AB =*互不相容AB =eA与B不能同时发生A对立事件A-B=AB=A-ABA = 1 AA的逆事件二.概率P(A) 1.P(A)概率特征2.古典概型3.概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)当A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)事件的独立性：定义:P

2、(AB)=P(A)P(B)性质:.P(A)0,贝U P(B)=P(B/A); P(B)0贝U P(A)=P(A/B)P(BA)=P(B)-P(AB)P (A-B ) =P (ABT =P (A-AB) =P (A) -P (ABP(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(AUB)=I-P(AUB)=I-(P(A)+P(B)P(A)=1-P(A4.条件概率公式P(B)5.概率的乘法公式P(AB) P(B|A)=P(A) P(BQP(A|Bk)k=1.随机事件关系与运算排列A：=n!，茶=川，组合：C：=An(n -r)!Annn!r!(n - r)!，cn

3、=cn=o!=11)0翌(A) 12)P( ) =0, PC1) =13)事件互不相容时，P (史P(AK)K =1K 4P(A)=A所包含的基本事件数基本事件总数P(AB) =P(B)P(A| B)= P(A)P(B | A)P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)6.全概率公式：从原因计算结果7.Bayes公式：从结果找原因nP(A)八P(Bk)P(A|Bk)k WP(Bk|A广P(Bi)P(A|Bi)n第二章随机变量及其概率分布定义/分布性质/公式/概率密度分布函数期望E(x)方差D(x)离散型随机变量px=x=PkQQ 0壬PkepkEPk分布函数F(x)=px壬x=Z p

4、k, x肴(一o,+=c)(1) 0 4 F (x)1(2)F (x)是不 减函数，x1x2贝F(x1) F (x2(3) F (-oo) =0,F (kc) =1(4)F (x)右连连续，(x + 0) = F (x)已知F (x),求重要事件概率：1. PXM b= F (b)2. Pa X壬b= F (b) F (a),其中a b3.PXb=1 F (b).X服从参数为P的0-1分布XP(0,1)PX=0 = q,PX =1= p 0p1, q=1 pppq二项分布XB(n,p)HX=k)=pk(1-p)吐(k=0i.n)npnpq泊松分布XP(入)-kP(X =k)= 一七(k =0,

5、1,.), 0 k!入入连续型随机变量XF(x)= Jf(t)dt皿概率密度函数：(1)0冒f (x)冒,(2)亡f (x)dx目1b(3) P t B X b=F(b)F(a) = jf(x)dx,a壬ba(4) F、(x)W f (x)怎样计算概率bP(a X壬b)=f (x)dxa均匀分布XU(a,b)求概率Pxd)nLb af(x) =b-aSQ其他jF(x0,xa、x a .,a主x0*JX2Z2正态分布XN( H,s )1、x_-2f(x) q 2b2,qxE寸2兀beF(x) =2x1(i!2J 牝疗e容2 a标准正态分布XN (0, 1)中(x) =1 (x)，(0) =0.5

6、,2m1X中(x)_e2,EXPX Aa=PX芝a = 1 -aMJ,PaX玄a=PX奖 =2中(a) -13.连续型随机变量函数的概率分布定理：记x=h(y)为y=g(x)的反函数，贝U Y=g(X)的概率密度:2)设XN(H,OX -),求e的概率密度对数正态分布:fY(y) =fX(ln yp-y ,y 0,Qy0.:、我e0, y 0(lny,y 022。分布函数对离散型随机变量F (x)=f (x)r, 、fX(h(y)h(y),： ：y 芝fY(y广0,其他fY(yFY(y)=2yfX(0 fX(-Jy_yy =e的反函数为反 ln y, y = -2lnx 的的反函数样e23直接

7、变换法:第三章多维随机变量及其概率分布二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数f （x, y）联合分布函数F(x, y)f(x，y)_00三F(x,y)三1_ _ f (x,y)dxd1F(x, y) =PX w,Y y)离散联合分布函数的概率：PxiX壬x2,yiY急2=F(x2,y)F(x2,y)一F(x，y?)F(xi,y)-0性质F（一二，y） =F（x,一二）=F（一二，一二）=0, F（二，二）=1离散边缘分布律：pj =PlX=x=PilP j =PY =yj= ?,piji联合密度pi _0, p j _0,i, j =1,2.PX =i,Y = j) =PX =

8、i)PY = j)二维边缘密度baf (x) = f(xy)dy ,-二x-bofY(y) = =f (x,y)dx,二VI1,(x,y)在D矩形,a x y b,c玄x -事J兀RJg其他。，其他LJI.0,其他f(x,y)=12二己J -:?2(x-4)22.-(x 4)(yi2) /2e2(1-)二2c2离散型随机变量的独立性F(x,y) =Fx(x)FY(y)连续型随机变量的独立性f(x,y) =fX(x)fY(y)第四章 随机变量的数字特征数学期望离散型随机变量，数学期望定义期望性质：E(a)=a，其中a为常数E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数，E(CX)=CE(X),

9、其中C为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y) , X、Y为任意随机变量E(XY)=E(X)E(Y),X,Y相互独立方差的性质D(a)=0，其中a为常数D(a+bX)=b2(X)，其中a、b为常数D(X+Y)=D(X)+D(Y)当X、丫相互独立时E(g(X)= g(xk)Pk=Eg(X)= g(x)fx(x)dx常用公式：二维随机变量的期望连续E(X)= JJxf (x,y)dxdyE(XY) = JJxyf (x, y)dxdyE(Y)=yf(x, y)dxdyg(X)Eg(X,Y)=、g(xi,yj)Pj ：二EG(X,Y) = .g(x, y)f(x, y)dxdy,方差定义式离散：D(X

10、) = (xi-E(X)2Pii =1常用计算式D(X) =E(X2) -E(X)】2常用公式D(X Y) =D(X) D(Y) 2E( X -E(X)(Y - E(Y)协方差与相关系数连续型随机变量，数学期望定义E(X) = jx f(x)dx皿-boE(X)= - xkPkk =3随机变量g(X)的数学期望E(X) = xpi=q xPijii jE(丫)=yiP j=， ypjJi jE(XY)4 xyR当X与Y独立时，E(XY) = E(X)E(Y)E(X +Y) = E(X)十E(Y)连续D(X)=顷-E(X)2f(x)dxD(X Y) = D(X) D(Y)Cov(X,Y) =E(

11、XY)E(X)E(Y)|EX E(X) IY E(Y) = E(XY) E(X)E(Y)_ CoMX,Y)XY1-JD(X)D(Y)|Cov(X,Y) = (x -E(X)(Y -E(Y)f (x, y)dxdy协方差Cov(X,Y)的性质Cov(X,X) =E(X2)(E(X)2=D(X)Cov(aX,bY) =abCov(X,Y)Cov(X +Y,Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,z)当X与Y相互独立时，贝U Cov(X,Y)=0相关系数PXY的性质1. |AXY| 12. |PXY|=1的充分必要条件是存在 常数，a ,b使便X =aX +b=1,且a =03.若相关相关饮Y =0则

12、舟戏Y不相关独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立标准正态分布的概率计算公式P(Z a广P(Za广：(a)P(Z - a) = P(Z a) = 1(a)P(a三Z三b) = (b) (a)P(a Z a) = ：(a)一( a) = 2(a)1一般正态分布的概率计算XN(P,B2)UZ =X一* N(0,1) cr一般正态分布的概率计算公式.a-P(X 3) =P(X ；：a) = ,().a-JP(X -a) =P(X a) =1 f (),b -, a二土P(a %b)- ( )- (一CJCJ N (0,1)F分布正态总体条件下2(ni), V2(n2),贝U /1 F

13、(n,n2)V/n2FA(n,m)=-FiT(m,n)样本均值的分布:二2X N(七)nX -1第五章大数定律及中心极限定理1.切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)及方差D (X)存在,PXE(X)|占ahD P(X _E(X) D(X)、Xj -nlim Fn(x)=lim私壬x)=limpJt2n if3.棣昊费-拉普拉斯中心极限定理t2limPnTo公 *=x)eEdt=6(x)一二2=第六章统计量及其抽样分布样本方差1n_ c . c- Z (Xix),样本标准差s=Js n -1统计量样本K阶原点矩ak：x：样本K阶中心矩1kbfiK)卡方分布若X N(0,1),则Xj22(n

14、)卡方分布的密度函数f(y)=y2e2*0,否则则02y若YN(H,。2), M l：(Y一心72(n)(Jt分布若X N(0,1),Y /2(n),则t(n) .Y/n两个正态总体的方差之比2.9未知时呻勺置信区间Ifa(n1)s|a(m-1)s22x-,x +- -、n3.b2的置信区问样本方差的分布:_2(n-1)S2(n_1)2CTX、t(n-1) s/、n第七章参数估计点估计：参数的估计值为一个常数/F(n1,1)。1I二2矩估讨最大似然估计P147似然函数nL=n f(a)in=二P(XL)i J单个正态总体参数的置信区间1.珪已知时呻勺置信区间PXU-xUau2nu2. 置信区间

15、I,汀L BTa!UlTn,x UlTnj.n22二(n-1)s2一 二22x2=1置信区间_ a-一(n一1) ss(n-1),(n-1)-X_a(n-1)22xa2计算方法：什算x,2,a a确确定3.查标准正态分布表Ua,4计算Z :/2一样本均值I -一标准差（通常未知，可用样本标准差弋替）:p正态分布的分位点样本比例样本容量（大样本要求n 50）：Z&2正态分布的分位点；第八章假设检验假设检验的步骤1根据具体问题提出原假设H0和备择假设H12根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。 不可避免的两类错误

16、第1类（弃真）错误：原假设为真，第2类（取伪）错误：原假设为假，单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形但拒绝了原假设但接受了原假设z检验正态总体小样本、方差已知正态总体小样本、方差未知单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式比例一一特殊的均值的Z检验性质双边检验(1) H。：-口。H1：一，0左边检验(2) H。：。HI：0右边检验(3) H。：HI：0单正态总体均值的Z检验单正态总体均值的t检验单正态总体方差的卡方检验拒绝域双边检验左边检验右边检验第九章回归分析 最小二乘法n -lxy(xi-x)(yii Tn _Lyy(yi -y)2i