例谈利用排列组合培养学生发散思维

1、例谈利用排列组合培养学生发散思维发散思维是依据研究对象所提供的各种信息， 使思维打破 常规，寻求变异，广开思路，充分想象，探索多种解决方案或新 途径的思维形式 .它的主要特征是求异性和多样性 . 我在排列组 合教学中，精心设计一些培养发散思维的习题，通过一题多变、 一题多解、一题多问和一题多答等对学生进行发散思维的训练， 从而灵活地掌握各知识点， 进而达到知识迁移和巧解巧算之目的 下面是具体做法，以飨读者 .一、一题多变变化发散 一题多变，主要通过条件变换，促使学生举一反三，使学生 对问题的认识有实质性的理解，具体做法就是让学生经过思考， 把原题变成保持原知识点不变的题 . 通过一题多变，培养

2、学生的 变化发散思维 .案例 1 7 个相同的小球放入 4个相同的盒子中，每盒至少一 个，有几种不同的放法？发散 1： x1+x2+x3+x4=7 的正整数解有几个？发散 2： x1+x2+x3+x4=7 的非负整数解有几个？发散 3：7个相同的小球放入 4 个相同的盒子中，有几种不 同的放法？发散 4：小朋友苗苗有 10 块相同的巧克力糖块，苗苗是个 贪吃的小朋友，她决定每天至少吃一块巧克力糖块，直到吃完 同学们，你能帮她算算有多少种不同的吃糖方法吗？二、一题多解解法发散 一题多解，就是广开思路，充分挖掘各种条件，从多个角度 去处理同一组合问题， 这样， 脑海中储存的大量信息会充分调动 起来

3、，在探求问题的解法方案中，使思维极大地得到发散 .案例 2 一张节目单上原有 6 个节目，如果保持这些节目的 相对顺序不变， 再添进去 3 个节目， 求共有多少种不同的安排方 法.发散 1：分为三步来做，第一步先添一个节目，原来有6 个节目，中间共有 7 个位置，有 7 种选择；第二步再添一个节目， 因为现在已有 7 个节目，共有 8 个位置，有 8 种选择；第三步把 最后一个节目添进去，根据已有 8 个节目，有 9 个位置好放，有 9种选择由分步计数原理共有 7X 8X 9=504种选择.发散 2：分类处理，因为三个节目添进去，可以相邻也可以 不相邻，（1）三个节目不相邻，由插空法，有 C3

4、7A33=210种办 法；（ 2）三个节目都相邻，由捆绑法与插空法，有 C17A33=42 种办法；（ 3）三个节目有且仅有两个相邻，有C27A22A33=252，由分类计数原理有 210+42+252=504种选择 .发散 3： 换个角度，相当于 9 个节目中选择 3 个，排成一 列 C39A33=504.发散4:多方位思考，9个节目排成一排，有 A99种办法， 但是原有6个节目的相对顺序不变，6个节目排列有A66种办法，每一种可能性都是一样，所以共有A99A66=504种办法.三、一题多答分析发散一题多答主要有： 一是对同一问题有不同的表达方式； 二是 由于条件的不定性， 使同一问题有不同

5、的答案 . 解决这类问题时， 要善于抓住问题的本质， 并从本质出发， 去思考表达或解决这一 问题的不同方法 . 这种以知识点为中心的一题多答，既培养了学 生的发散思维能力，还有助于学生准确全面地掌握知识 .案例 3 7 个人分到 6个班级学习，有多少种分法？发散 1：7人报名参加 6个项目比赛，每人限报一项，多少 种报名方法 . ？发散 2：7个人抢占 6个座位，每个位子坐 1人，位子坐完 为止，多少种坐法？发散 3：7个人分为 6个小组有几种方法？发散 4：7个相同的小球分为 6堆，共有几种办法？四、反向思考逆向发散利用特殊题型，培养学生对数学问题的逆向思维能力 . 逆向 思维属于辩证思维，

6、 是一种重要的科学思维， 它的一个重要形式 就是由目标至条件的反向思考 .案例 4 7 个不同的球放入不同编号的 7 个盒子中，只有一个 盒子空着的方法有多少？发散：表达式 nC2nAn-1n-1 可以作为下列哪一问题的答案？A. n 个不同的球放入不同编号的 n 个盒子中，只有一个盒子 放两个球的方法数n 个盒子中，只有一个盒子n 个盒子中，只有两个盒子n 个盒子中，只有两个盒子B. n 个不同的球放入不同编号的 空着的方法数C. n 个不同的球放入不同编号的 放两个球的方法数D. n 个不同的球放入不同编号的 空着的方法数五、设计新题迁移发散迁移发散就是利用已有知识解决新的问题 . 要解决

7、新问题要 从问题出发， 联想与问题有关的所有知识， 利用这些知识去分析 问题，这样在迁移中发散，发散促进了迁移，从而优化了思维， 提高了学生分析问题和解决问题的能力 .案例 5 小朋友苗苗有 10 块相同的巧克力糖块，苗苗是个贪 吃的小朋友，她决定每天至少吃一块巧克力糖块，直到吃完 . 同 学们，你能帮她算算有多少种不同的吃糖方法吗？分析 本题就是相同的元素分成几块的问题，原来的背景我 们非常的熟悉， 本题就是创设一个与学生密切相关的情景， 激发 学生的兴趣，提高他们参与的力度 .案例6某理想城市的街道如图，要想从 A到B的最短路程 有多少种走法？分析 问题是一个组合问题，置于一个全新的背景之下发散思维就像教学花园中的一朵奇葩，发散着动人的光彩 发散性思维