液氮容器内支撑玻璃钢管隔热的有限元分析

1、上海交通大学本科毕业（设计）论文液氮容器内支撑玻璃钢管隔热的有限元分析摘 要在了解低温容器的国内外研究现状的基础上，对低温储罐的内支撑结构进行有限元热分析。先比较几套网格划分方案，分析内支撑模型中，单元数与节点数对计算精度的影响，确定出合理的划分网格。再根据支承结构的特点建立玻璃钢管内支承结构有限元热分析简化模型，分析了长度、直径和厚度数据对玻璃钢管内支承漏热量的影响规律，并进行比较。分别绘出温度场、热流分布以及温度梯度图表，通过对图表的分析和比较，得到玻璃钢管长度、直径和厚度对传热量的影响规律。当长度L、直径D固定不变，厚度越大，造成玻璃钢上的温度差缩小，总传热量增大，平均热流随厚度的增加下

2、降。当长度L、厚度固定不变，直径D越大，玻璃钢上的温度场分布变化不大，热流略有增大，漏热量增大，且平均热流随D的增大而增大。当厚度、直径D固定不变，长度L越大，玻璃钢上的温度场分布变化不大，总传热量减小；平均热流随长度L的增加下降。为今后工程设计以及热应力分析提供依据。关键词：液氮低温储罐，内支撑结构，玻璃钢，网格划分，热应力，温度梯度FINITE ELEMENT ANALYSIS OFHEAT INSULATION FOR THE FIBER GLASSINNER SUPPORTS OF LIQUID NITROGEN VESSELABSTRACTThe main task of this

3、thesis is to analysis thermal finite element for fiber glass inner supports of liquid nitrogen vessel. According to knowledge of cryogenic liquid nitrogen vessel in and abroad, the inner supports structure and the thermal properties of fiber glass pipe are studied based on the demands of the Mission

4、 of Graduate Design. Then the solution is operated after modeling.During the procedures above, the author compares several schemes with different numbers of element and node in order to establish the proper meshing control for the number of element and node affect the exactness when computing. Model

5、s of fiber glass pipe with different length, diameter and thickness are computed with ANSYS respectively, and the results are compared. According to the diagrams of temperature field, heat flux and temperature gradient, we can draw the graph of discipline of heat flow and obtain that: heat flow incr

6、eases with the increasing of diameter and thickness, and decreases when length increases. The reliable gist is offered for thermal stress analysis and engineering design of special nitrogen vessel.KEY WORDS: liquid nitrogen vessel, inner support, fiber glass, mesh, thermal stress, temperature gradie

7、nt.目 录第一章 概论1 课题研究对象2 低温容器国内外研究现状3 有限元法在低温压力容器设计中的应用4 本人所做的主要工作第二章 液氮容器分析的有限元理论基础1 有限元方法的基本原理（1） 空间三维有限元单元介绍和比较（2） 有限元在稳态热传导分析的应用（3） 线性代数方程组的解法2 实际有限元分析的处理方法（1） 实际有限元分析的处理原则（2） 有限元计算中所使用的处理方法简介第三章 液氮容器内支撑玻璃钢管的稳态热分析研究1 内支撑玻璃钢管的传热分析模型2 内支撑玻璃钢管的稳态热分析（1） 热分析理论（2） ANSYS热分析简介（3） 非线性求解方法（4） ANSYS分析非线性理论（5）

8、 热分析过程和步骤3 计算结果汇总第四章 结论与展望参考文献附录致谢符号说明变量：导热系数（）：热量（）：温度（）：沿直角坐标系X方向的位移（）：沿直角坐标系Y方向的位移（）：沿直角坐标系Z方向的位移（）：热流量（）：发射率：压强（）：与温度有关的对流换热系数（）：厚度（）：长度（）：直径（）：形状因子：Stefon-Boltsman常数下标含义：max：最大值min：最小值I, j, m, n： 单元节点号x, y, z：X，Y，Z坐标平面t：温度第一章 概论1.1 课题研究对象众所周知，低温技术在能源使用、资源开发、空间技术、冶金、机械、医疗卫生、生物学和畜牧业等许多领域有着广泛的应用。由

9、于低温的产生、应用与研究都离不开低温液体的贮运，因而用语低温液体贮运的低温容器是低温工程必不可少的工具。对于低温储罐系统，需要具有良好的绝热性能。内支撑结构是解决漏热量和受力这对矛盾的关键，因此具有非常重要的研究价值。为细化研究内容，获取更可靠的研究数据，从而专门取低温容器内支撑结构的传热模型为课题研究的对象，阐述了内支撑设计的指导原则和具体的应用方法；针对材料的性质对内支撑的影响，分析了玻璃钢管直径、厚度与长度对于传热量的影响规律。内支撑结构的主要材料是玻璃钢管，材料物性见表1.1和1.2；液氮储罐内外罐体主要材料为0Cr18Ni9，材料物性见表1.3。表1.1 玻璃钢管料层向玻璃钢物性库温

10、度（K）293.15263.15233.15203.15173.15143.15113.1593.15压缩弹性模量（Gpa）36.036.4236.8337.2537.6738.0838.538.78泊松比(层内)0.2840.2980.3110.3250.3390.3520.3660.375泊松比(层间)0.7860.740.6940.6480.6010.5550.5090.478平均热膨胀系数×106（293.15K）（1/K）21.3321.1420.7720.2119.4818.5617.4616.63导热系数（W/mK）0.460.4470.4310.4140.3940.3

11、730.350.334表1.2 玻璃钢管料垂向玻璃钢物性库温度（K）293.15263.15233.15203.15173.15143.15113.1593.15压缩弹性模量（Gpa）12.814.215.617.018.419.821.222.13泊松比0.210.2140.2170.2210.2240.2280.2310.233平均热膨胀系数×106（293.15K）（1/K）50.649.3448.1246.344.0941.4938.536.29导热系数（W/mK）0.4090.3970.3810.3620.3390.3110.280.256表1.3 0Cr18Ni9物性库温

12、度（K）2952201801401109077压缩弹性模量（Gpa）200.00204.82207.39209.95211.88213.17214.00泊松比0.290.2860.2840.2810.2800.2790.278剪切弹性模量（Gpa）77.3079.5480.7381.9282.8283.4183.80平均热膨胀系数×106，（293.15K）（1/K）16.5015.6615.1114.4913.9813.6113.37导热系数（W/mK）14.8712.8711.8010.629.358.567.931.2低温容器国内外研究现状近半个多世纪以来，随着低温技术的发展，

13、低温容器已有了很大发展，其设计制造技术日趋成熟，如英国牛津仪表公司已全部采用计算机辅助设计（CAD），并对大多数零部件实行计算机辅助加工（CAM）。低温容器是储存和运输液化气体的设备的总称，也是杜瓦容器、低温储液器和储槽的统称。它一般包括储液容器、绝热结构、储槽外壳和机械构件等组成的储槽本体，液、气排注及回收系统，压力、温度、液面和流量的测量仪表组成的测量系统、安全设施等部分。根据低温容器的绝热类型，可分为非真空绝热型低温容器和真空绝热型低温容器两种，前者组合要用于沸点相对较高的气体液化储存或应用于大型场合，是大型的液氧、液氮和液化天然气的贮运容器；后者也称杜瓦容器，它主要是中、小型液氧、液氮

14、和液氦等的贮运容器。真空绝热类型即包括高真空绝热、真空粉末绝热、高真空多层或多屏绝热。按用途分，低温容器分为固定式和运输式两种；按工作压力又分为常压容器和高压容器，在接近大气压力下工作的容器称为常压容器，在1.53.0MPa左右工作的容器称为高压容器。常压容器适用于一般的贮运和运输，也适用于常规的低温实验研究，高压容器一般用于直接供液、供气或带压贮运等。低温容器的设计难度和制造成本与其用途、工作压力和液体温度相关，其中运输式低温压力容器的设计难度和制造成本较高，如液氧、液氮和液氢等容器。低温容器的设计要考虑到使用目的、工况、选材、结构、工艺以及漏热等多种因素，因此，低温容器的设计、制造和研究一

15、直是低温领域里的一项综合且复杂的任务。随着高性能材料的出现、制造水平的提高以及绝热技术的发展，如何应用这些新技术来设计高性能低温容器，使之适应更加恶劣的工作环境成为容器设计和研究中的重要课题。在高性能低温容器的设计中，容器的强度和蒸发率是关键因素。因此，容器的材料、筒体支撑结构和绝热形式设计是高性能低温容器设计中的重要的环节。小型低温容器也称杜瓦瓶（一般小于100L）。由于氮、氧、氩的沸点很接近，故液氧、液氮和液氩容器可不作改变换用。图示的液氮容器由双层球胆组成，内胆与外壳之间抽成高真空。内胆上有一根细长的颈管作为加注和取出低温液体用，也是内胆的支撑。为了防止晃动，内外壳体间有几块绝热弹性垫。

16、为了维持夹层的真空度，在内胆的下部设有吸附剂室，内装活性炭（不适于液氧容器）或分子筛。在液氮的贮藏中，必须注意其浓度的变化。若与空气接触，则由于空气中的氧溶入液氮，而使其沸点上升。故要保持液氮的高纯度（商品液氮，其纯度可达99.9%以上）时，可在杜瓦容器的上部安装带有法门的橡皮管，并预先与油浸扩散器连接，以防空气侵入。另外也可安装止逆阀。液氧、液氮由于在工业上的用途很广，甚至50m3左右的容器也已得到普遍应用。很显然在使用量大，甚至还要长时间保持的情况下，具有一个大型贮槽贮液比随时购买低温液体更为方便经济。目前国内外生产的液氮贮槽大多采用真空粉末绝热或高真空多层绝热形式。真空粉末绝热生产成本低

17、，周期短，但绝热层应有适当的厚度；贮槽越大（如大于5 m3），采用真空粉末绝热的优越性越明显。5 m3以下的贮槽也可以考虑采用高真空多层绝热，其生产成本较高，周期较长，但真空绝热夹层可很薄，因而尺寸紧凑，另外其绝热性能优越，绝热层抗振性能强。其典型结构如图1-1图1-1 3500L液氮储罐流程RV1安全阀 CV1压力调节阀 V3增压阀 3增压器 V1液体排出阀V2液体加注/排出阀 V4液位计液相阀 L1液位表 V5液位计旁通阀V6液位计气相阀 V9排气阀 12截止阀 BD1内罐防爆膜 RV2安全阀1VS1切换阀 RV3安全阀2 V7抽真空阀 BD2外壳防爆膜 P1压力表考虑到储罐需要经过长途运

18、输，会有多次的吊装，吊装时对储罐表面的油漆会有较大的磨损，引起外壳生锈，影响储罐的外观，故考虑外罐材料也选用不锈钢材料。材料牌号选用304不锈钢或0Cr18Ni9。支撑结构的形式多种多样，但都必须具有高性能的绝热效果和可靠的机械强度。支撑结构必须满足的强度条件： （1-1）根据傅立叶导热方程，支撑结构的漏热量： （1-2）从方程（1-1）（1-2）式中消去 ，将得到： （1-3）要使漏热最少，则 （1-4）已确定，故最少漏热量与乘积有关。而是由支撑材料决定的。选用导热系数小，强度高的材料可以减少漏热。一般讲，非金属材料的值大，但在低温下脆性也大，不能适用于冲击和振动大的容器。金属材料的较小，但

19、在低温下强度较高。可作支撑结构材料一般有不锈钢、蒙乃尔合金、聚四氟乙烯、因科镍、纤维增强环氧树脂、山毛榉、德银管等。表1-4废除了某些材料的值。根据Fourier公式，减少漏热的另一途径就是减少支撑结构的温度梯度，也就是增加支撑材料的传热热阻。有以下措施：l 在可能范围内，增加管道长度，减少管壁厚度。l 采用多层叠片支撑，可比整体金属支撑减少热流数10倍之多。l 连接件之间采用线接触（圆管和球），链接触（链锁）和点接触（球和平面）等方法，增加接触热阻。l 用液氮冷蒸汽冷却热桥，减少传热温差。低温液体贮槽的内支撑结构设计时，除了要解决机械强度和漏热问题外，还要考虑温度补偿问题。因为贮槽在灌注液体

20、时，内胆容器突然冷却，内胆壁必然会产生收缩。据文献19报道，0Cr18Ni9不锈钢内容器平均收缩率为1.13%，如果内胆容器直径大，收缩量是相当可观的。而支撑构件一端处于液体温度，一端处于室温，也必然产生收缩。文中8证明了收缩比，并列出了集中材料的收缩比。如何解决构件受冷收缩后以及温度分布不均而产生的热应力也是至关重要的。为了补偿低温下的支撑构件冷缩现象，管道连接是可采用波纹管或做成绕性管，也可采用“U”型膨胀节。支柱、吊杆可采用球形活动接头或弹簧补偿器。表1-4 不同材料的强度和导热性能材料名称铝2024382.570.05.46铝7075480.574.56.45退火铜823.74072.

21、02哈司特镍合金（B）451.18.156.69哈司特镍合金（C）333.48.837.89蒙乃尔（K）686.514.846.38退火的304不锈钢245.28.827.86不锈钢10297.7133.7纯钛588.431.818.504%Al-4%Mn钛合金1000.35.2192.4聚脂纤维137.30.131056.1涤纶68.60.13528.1尼龙137.20.27508.5聚四氟乙烯13.70.2165.4容器内支撑的结构形式变化较多，设计时一定要根据具体的容器强度指标、所采用的绝热形式以及内外壳体的间距等有关因素来选用。为了减少支撑构件的漏热，总是在满足强度要求的情况下选择导热

22、系数低的材料，同时尽量采用增加构件的传热长度、减少传热面积及增大接触热阻等方法。对于运输式容器，为了满足运输时要承受冲击和振动的要求，支撑结构必须牢固。总的来讲，支撑结构有拉杆、压杆、吊杆、链锁、不锈钢薄片、球形支撑、钢带和垫块等形式，他们各有优缺点。拉杆、压杆设计计算和安装较方便，是通常采用的内支撑结构，但在内外容器间隙小的情况下难以实现。链锁结构因接触热阻大而漏热少，但是要解决稳定性问题，而且具有与拉杆相同的缺点：在狭小的空间中难以布置。而钢带布置不但要解决稳定性问题，而且难与高真空多层绝热形式同时布置。不锈钢薄片、球形支撑和垫块具有漏热少，需求空间尺寸不大等优点，不过，球形支撑难以用在冲

23、击载荷大的强矿下，因为球支撑与内外容器呈点接触，应力集中大，一旦内外容器表面有凹坑，产生裂纹和疲劳破坏的危险性极大。它一般用在低温液体输送管道中较理想。1.3 有限元法在低温压力容器设计中的应用随着计算机技术的飞速发展和有限元法的广泛应用，有限元方法已经渗透到各行各业的研究设计中，如物体的结构强度设计、温度场和传热特性研究、电磁场和流场计算等方面。在压力容器设计中，有限元法也有重要的应用价值。而且随着压力容器分析设计方法的应用，有限元法已成为采用分析设计高性能压力容器必不可少的手段。目前，有限元法在压力容器设计中主要具有以下应用：l 研究接管、开孔和支撑等结构局部不连续区域的应力分布，分析这类

24、结构在各种载荷下的安全性，有时还结合优化设计方法优化结构的设计。l 研究压力容器的温度场和传热特性。l 研究压力容器在受到冲击时的动力特性和频率响应。l 研究压力容器的焊接区域的焊接性能。1.4 本人所做的主要工作本人所做的主要工作有以下几个方面：l 根据毕业设计任务书提出的模型要求，通过各种渠道熟悉了低温容器的内支承结构、玻璃钢管的热性能。l 查阅工具书以及通过对例题实际模型求解操作，熟悉了有限元分析软件ANSYS在热分析这一方向的使用方法和技巧。比较几套网格划分方案，分析在此内支撑模型中，单元数与节点数对计算精度的影响，确定出合理的划分网格。l 利用获得资料，建立玻璃钢管内支撑结构有限元热

25、分析简化模型，分析在长度分别为80mm、120mm、150mm，直径分别为50mm、80mm、100mm、120mm，厚度分别为5mm、10mm、15mm、20mm情况下的48组玻璃钢管的温度场，得到了相应的传热量数据，并进行比较。l 分别绘出图表，通过对图表的分析和比较，得出玻璃钢管长度、直径和厚度对传热量的影响规律，为今后工程设计提供依据和建议。第二章 液氮容器分析的有限元理论基础2.1 有限元方法的基本原理有限元方法是通过离散形式处理连续介质的一种普遍方法，它利用变分原理，目前主要分为变分法和加权余数法等。大多数工程问题和物理问题是用微分方程来确定的，而有限元方法需要的是一种积分表达式，

26、它寻求使具有一定已知边界条件的泛函取驻值的未知数。换句话说，既是寻找一种泛函，使它的Euler方程恰好对应于已知的微分方程。一般来说，这个工作在处理复杂问题是比较困难的，所以各种各样的加权余数法越来越受到重视，因为这种方法可以直接从原来的微分方程组产生积分表达式，加权余数法中的伽辽金法（Galerkin）是一种最一般的方法，它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但是变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而用途很广，主要用于求解结构、流体、热传导等问题。在这方面应当指出，当考虑某一类问题时，一般不是存在唯一的合适的泛函，而是有许多泛函可以适用。有限元方法基于的变分原理正是用来确定不同泛

27、函的。它可分为自然变分原理如结构应力分析的最小位能原理以及最小余数原理和约束变分原理如H-W变分原理以及H-R变分原理。虚功原理中的虚位移原理和虚应力原理就分别为最小位能原理和最小余能原理。用有限元方法解题的基本步骤是这样的：选取一种坐标系，对区域划分得到节点和单元，对单元和节点分别编号，将连续结构变为离散化模型；假定位移模式，确定单元内任意一点的位移与节点之间的关系，建立形函数，解出位移和应变的关系式以及应变和应力的关系式；针对每个单元将积分方程离散化，建立单元刚度矩阵和单元载荷向量；装配成总刚矩阵和总载荷向量；由边界条件进行约束处理；解线性方程组，求出节点位移，算出单元应力，节点应力和支承

28、反力。在利用有限元软件的实际应用中，以上的计算部分是由有限元软件的程序本身完成的。用户的主要责任是分析模拟和适当地简化实际结构，绘制物体图形，采用合理有限元的单元划分实体，建立离散化模型和添加受力和边界条件。计算结果的合理性和精度与模拟简化程度、选取的单元类型以及施加的边界条件息息相关。也和网格划分的精度、网格划分器的设置、求解器的设置（ANSYS）、非线性迭代的方法等有很大关系。下面就空间三维有限单元进行介绍和比较。2.1.1 空间三维有限元单元介绍和比较2.1.1.1 四节点四面体单元有限元计算公式在空间问题中，4节点四面体单元是最简单的单元形式。1. 空间应力分析的基本方程如果选用直接坐

29、标系（x,y,z），对于空间问题，一共有15个未知数：（1）3个位移分量： （2-1）（2）6个应变分量，其方程为： （2-2）上式中对不计初应变时的各向同性材料来说，各分量的表达式为 （2-3）相应地，几何方程为 （2-4）（3）6个应力分量，其基本方程为 （2-5）根据物理方程，由式（2-3）可写出用应变分量表示的应力分量表达式： （2-6）式中 （2-7）2. 四面体单元的计算公式（1）单元位移函数如图2-1所示的四面体e，其节点编号为 i, j, m, n, 其节点位移列阵为： （2-8） (i, j, m, n) （2-9）xyznijm图2-1 四面体单元示意图结构各点的位移是x,

30、 y, z的函数。假定单元足够地小，单元内各点的位移可以近似的用最简单的线性多项式描述，即 （2-10）式中，是12个待定系数，它们由单元节点上的位移和坐标来决定。假设节点i, j, m和n的坐标分别为，和，将他们代入式（2-10）的第一式，得出各节点在x方向的位移为： （2-11）解上述线性方程组，就可求得，并将其代入（2-10）的第一式，则得： （2-12）式中 （2-13）式（2-13）为四面体单元位移的形状函数表达式，称为四面体单元的形函数。他们的系数是： （2-14）式（2-13）中的符号V是四面体单元的体积，其表达式为： （2-15）用同样的方法，可以求得，将其分别代入式（2-10

31、）的第二式和第三式，得到 （2-16） （2-17） 将式（2-12），（2-16），（2-17）写成矩阵形式为： （2-28）式中，I为三阶单位阵，N为形函数矩阵。（2）应力应变关系式 已知单元体内各点的位移后，就可确定单元体内任一点的应变，将式（2-12），（2-16），（2-17）代入几何方程式（2-4），得 （2-19）式中 （2-20） 上式表明几何矩阵B中的元素都是常数，因此，单元的应变也定是常数。由此可知，采用线性位移函数得到四面体单元是常应变单元。在有限元法中，常用的物理方程是已应变表示应力的形式，对于各向同性的线弹性材料来说，应力矩阵可写成： （2-21）式中，D为弹性矩阵，

32、它完全取决于材料性质，对于各向同性材料，矩阵D的表达式为： （2-22）将式（2-22）代入（2-21），并利用式（2-20）得 （2-23）式中，表达式为， ， （2-24）S称为应力矩阵，显然对应中的应力也是常数。当考虑出应变时，对于各向同性材料来说，就有 （2-25）式中，为膨胀系数，T为单元平均温升。这时应力表达式为： （2-26）（3）刚度矩阵表达式对于单元e，利用虚功原理，可以得到 （2-27）式中， （2-28）为单元刚度矩阵，写成分块形式为 （2-29） 由于单元中的应变及应力分量为常数，所以刚度矩阵可以写成显式积分，则上式中的子阵可以写成，利用（2-20），经过矩阵的乘法运算

33、，得出上式的显式：（2-30） 如果将空间弹性体划分为个四面体单元，n个节点，经过刚度总装后可得到弹性体空间问题的平衡方程，即： （2-31）式中，P为整体结构节点载荷列阵，为整体结构节点位移列阵，K为整体刚度列阵，其式为，则有： （2-32）（4）等效节点载荷列阵 整体结构节点载荷列阵可写成 （2-33）其中， 单元上各种应力的等效载荷列阵见参考文献6。2.1.1.2 10节点、20节点四面体单元和8节点、20节点六面体单元的形函数介绍及比较 在前面2.1.1.1节已经相当详细地表明，怎样利用非常简单的有限元形式建立线性弹性力学问题的公式并求解，虽然知识对于四面体的形状函数进行了详细的代数运

34、算，但是显然可以采用其他相对更好的单元形式。实际上，一旦确定了单元及响应的形状函数，随后的工作就可以遵照完全确定的标准过程进行，因此，只要规定了形状函数，就可以编制程序处理各类问题，由此可见形函数的重要性，下面我们将只介绍形函数，其余不再赘述。在介绍10节点、20节点四面体单元和8节点、20节点六面体单元的形函数前，还有必要介绍二维和等参单元。众所周知，二维三角形和四个节点的矩形单元的优缺点是：三角形单元比较容易进行网格划分和逼近边界形状，应用比较灵活。其缺点是单元的应力和应变都是常数，精度不够理想。特别在应力集中部位产生的误差较大；后者优点是单元应力应变是线性变化，因而反映实际应力分布的能力

35、比前者强。缺点是单元不能适应曲面边界和斜边界，也不便随意改变大小，通用性是非常有限的。这两种单元给出了最低级的逼近形式，精度受到一定的限制，当然也可以用增加节点的办法来改善单元的精度，但带来的问题是计算费用剧增，而对曲线边界也不能有效地去逼近。因而引进任意四面体划分，精确度比较高，边界逼近比较好。由于任意四边形边线上的唯一模式不再是线性变化（整体坐标），在该边线上的各点位移值将不能有边线两节点的函数值唯一决定，从而相邻单元的公共边将不能保证一直性，即收敛条件得不到满足。因而要利用坐标变换。利用坐标变换，在局部坐标系下基函数的表达式与矩阵单元的双线性插值相同。切由于这种单元坐标变换和插值函数都是

36、以节点值为参数，并且参数的树木相同，采用的基函数也相同，故我们称其为等参单元。同理，三维情况下等参单元也是以局部坐标为基础的。以下列出10、20节点四面体等参单元和8、20节点六面体等参单元形函数。相应的任意四面体或者六面体的在整体坐标系下的单元形函数需要进行Jacobi矩阵变换。同平面问题高次三角形单元一样，为分析高次四面体单元方便起见，首先要引进空间问题的自然坐标系，它正是进行坐标变换的前提和Jacobi矩阵变换的必要条件。二维问题等参单元的自然坐标系的物理意义是面积坐标，三维问题等参单元的自然坐标系可解释为体积坐标，如图2-2。（扫描） （2-34）自然坐标和整体坐标之间的关系可表示为

37、（2-35）写成矩阵形式为 （2-36）对（2-36）式求逆可得： （2-37）从（2-37）式可见，体积坐标的值等于四面体单元的形函数。 自然坐标的函数对整体坐标的微分公式为 （2-38）式中，下面列出不同单元的形函数：1. 四节点四面体线性单元 （如前面所介绍）2. 10节点四面体二次单元把四面体得各条棱边中点增加一个节点，构成10节点四面体单元，如图2-3，角节点编号为5，6，7，8，9，10。利用空间自然坐标系得特点，得到形函数为：角节点 棱内节点 ， ， ， （扫描）3. 20节点四面体三次单元由空间巴斯卡三角形可知，完全得三次多项式共由20项，因此节点数需要20个。其中，六条棱边三

38、分点上各设置2个节点，四个边面形心处各设置1个节点，如图2-4所示，20节点四面体单元得形函数为角节点 棱边三分点 表面形心 4. 8节点六面体线性单元六面体单元和平面问题得矩阵单元类似，引入三个自然坐标和符号，仿照二维单元插值函数构造方法可以得到三维单元得插值函数，如图2-5所示 xyz51287634图2-5 8节点六面体单元示意图5. 20节点六面体二次单元六面体单元在12条棱边中点各增加一个节点就成为20节点六面体单元，其形函数为：角节点 边节点 增加单元的复杂性，是否得到经济性或者其他好处，这个问题不容易回答，一般来说，对于给定的精度，随着单元阶次的提高，误差的阶也会增加，解答会更迅

39、速地收敛于精确值，而且一个问题的未知量总数能够减少，从经济效益来看，则要求减少总的计算及数据准备工作量，然而虽然现在减少了求解方程的时间，但计算单元特性所需地时间却增加了，因此未知量总数的减少不一定提高经济效益。所以一般来说，必须视具体情况确定最优单元。2.1.2 有限元在稳态热传导分析的应用2.1.2.1 固体的热传导方程 在分析热传导状态时，假设材料服从热传导的Fourier定律，可得到： （2-39）其中为单位体积在单位时间内所生成的热。在热传导分析中考虑了各种边界条件：第一类边界条件：在物体的某一部分边界上各时刻的温度为已知，即 （2-40）为已知函数。第二类边界条件：在物体的某已部分

40、边界处法向热流密度已知，即为已知函数，比如绝热边界。第三类边界条件：这类边界条件有两种情况。（1） 对流边界： （2-41）h时与温度有关的对流换热系数，是环境温度，为对流边界的温度（2） 辐射边界条件： （2-42）为两个黑度的乘积，f为形状因子，为Stefon-Boltman常数，为辐射流的温度，为物体表面温度。 因为低温容器的温度分布稳定后为稳态热传导问题，因而本文只研究稳态热传导方程的有限元离散法。由稳态热传导方程及边界条件可确定温度场的分布T（x,y,z）。根据变分原理，这个问题等价于求解使下述泛函取驻值的函数。 控制热传导的泛函为： （2-43）是集中热流的输出量。利用的驻值条件，

41、可以得到（因为T是唯一的变量） （2-44）其中 ， 代表“对什么变分”，求解稳态热传导问题可归结于求解（2-44）该积分方程式。 可以看出，（2-44）控制热流量积分方程式与应力分析中使用的虚功方程是相象的，特别是把温度T的变分理解为一个虚量，则（2-44）的控制热传导速率的方程与应力分析中的虚位移原理是类似的。 由于控制方程的相似性，在应力分析有限元解法中讨论过的概念够可直接用于式（2-44）的有限元解法中。特别是那些用来建立应力分析有限元控制平衡方程的方法以及收敛和精度的考虑等等，都可直接应用。主要的不同点是此处要计算的仅仅是一个未知温度变量T。2.1.3 线性代数方程组的解法单元特性矩

42、阵集合而成的有限元求解方程Ka=P是一组联立的线性代数方程组。这组方程在静力平衡问题中就是以节点位移为基本未知量的系统节点平衡方程；在求解稳定温度场的问题中就是以节点温度为基本未知量的热平衡方程。有限元求解的效率很大程度上取决于这组线性代数方程组的解法。在线性静力分析中，解线性方程组的时间在整个解题时间中占有很大的比重。而在动力分析和非线性分析中这部分比重也是相当大的。若采用不适当的求解技术，不仅计算费用大量增加，更严重的是有可能导致求解过程的不稳定和求解的失败。线性联立方程组的解法可以分作两大类：直接解法和迭代解法。直接解法以高斯消去法为基础，求解效率高；迭代答有赛德尔迭代、超松弛迭代等。直

43、接解法有几种常用的比较有效的直接解法，如等带宽高斯消去法、三角分解法以及上述两法为基础适用于更大型方程组求解的分块解法和波前法等。 波前法解题的特点是：刚度矩阵K和载荷矩阵P不按自然编号进入内存而按计算时参加运算的顺序排列；在内存中只保留尽可能少的一部分K和P中的元素。波前法和分块解法解决了计算机内存容量不够的问题，他们的区别在于：l 分块解法（1） 自由度集成完一批消去一批。（2） 允许内存大于D（D+1）即可求解，能充分利用内存。（D是求解问题中系数矩阵包括主元在内的半带宽）（3） 内外存交换次数较少。（4） 无外存时也能求解。（5） 程序实现简单。l 波前法（1） 自由度集成完一个消去一

44、个。（2） 内存大于最大波前区就可求解。内存要求比分块解法要小。（3） 内外存交换频繁。（4） 无外存时不能求解。（5） 程序编制较复杂。波前法和分块解法的基本思想都是基于对高斯消去法的在分析上，由先集成后消元发展到集成和消元交替进行。基于这种分析，派生出的各种解法是不少的，不同的解法各有特点，但基本思路则相同。2.2 实际有限元分析的处理方法2.2.1 实际有限元分析的处理原则进行有限元分析，首先要建立好模拟实际情况的模型，一般来说要做必要的简化，方便用户操作也方便计算机解决问题，值得注意的是，在建模时，能用总体模拟的，尽量不要用局部，因为往往把局部从总体分离出来时，需要额外地进行力矩转移，

45、还要施加约束，而这往往是造成结构刚度变大的原因。 其次，边界条件正确与否，对有限元法的计算结果由很大影响。因此，必须正确确定边界条件，也就是正确确定结构在边界上所受的外部载荷以及边界位移所受到的外部限制。具体包括如下几个方面：（1） 在结构受到外部载荷作用的表面或边界上，应该按照载荷作用的实际情况（例如是集中力还是分布载荷），根据弹性体的静力等效原则向节点简化（在ANSYS中由计算机解决），变成节点载荷。（2） 在处理一些对称问题时，为了节省计算机的储存，应利用对称性只取其中的二分之一、四分之一进行计算。例如温度分析中只取了内支撑结构的四分之一计算。这大大减少了计算量，但计算时必须加上限制对称

46、面法向绝热的边界条件。（3） 规定边界的瘟疫约束时，其约束的最低限度数目必须使结构不发生刚体位移和转动，即保证刚体使静定不可动的，如果不满足以上条件，有限元方法将无法求解。（4） 在需要求支承反力的边界上，可以用刚性或弹性支承处理。再次，有限元计算结果的合理性和精度与用户设置分析的类型、网格划分的精度、网格划分器的设置、求解器的设置（ANSYS）也有很大关系。第一，用户首先要对分析由一个大体的概念，比如说到底是静态分析、动态分析还是耦合场分析等，只有在ANSYS分析类型中确定正确的分析选项，才有可能得到正确的解答。第二，对于简单的模型，往往用映射划分；复杂模型则采用自由划分中的智能划分。需要注

47、意的是，ANSYS中六面体单元影射划分复杂体往往由于几何拓扑问题而无法划分，自由划分往往又会自动退化为四面体单元，而退化的四面体和直接使用的四面体比较的话，精度并不提高而且还增加了多余的节点。2.2.2.1 ANSYS有限元计算中的预处理在采用有限元软件计算物体结构的应力场、温度场时，首先必须对结构适当简化，确定结构计算时必须采用的有限元单元模型，然后采用有限元软件自带的作图工具或绘图软件做出相应的结构图，利用网格划分工具或手工把结构图划分成合理的网格单元，最后加上正确的边界条件和单元载荷。对于平面结构或简单的三维结构划分网格是很方便的，因此在简化结构时最好向平面或简单三维结构转化。对于复杂结

48、构则必须采用高级的绘图软件和网格划分工具。现今几乎所有的有限元分析模型都用实体模型建模，类似于AUTOCAD、ANSYS以数学的方式表达结构的几何形状，用于在里面填充节点和单元，还可以在几何模型边界上方便地施加载荷。但是，几何实体模型并不参与有限元分析，所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解。 ANSYS软件中有六类图元，从最高阶到最低阶依次为单元、节点、体、面、线及关键点。体由面围成，代表三维实体；面由线围成，代表实体表面、平面形状或壳（可以使三维曲面）；线（可以是空间曲线）以关键点为端点，代表物体的变；关键点则代表物体的角点。如果低阶图元连在

49、高阶图元上，则低阶图元不能删除。因此，不能删除已划分网格的物体，必须先清除网格。ANSYS有几种不同类型的坐标系系统：全局坐标系、局部坐标系、工作平面坐标系、节点坐标系、显示坐标系、结果坐标系和单元坐标系等。每一种坐标系有不同的用途，用户要建立和定位模型，可通过全局坐标系、局部坐标系或者工作平面坐标系，通过全局或者局部坐标系建模的方式使从低阶到高阶的图元，通过工作平面使从高阶到低阶的图元。用户可根据需要取用。ANSYS库中由块、球、圆柱、圆台、棱柱、环体等六种三维基本体素，简单物体只要调出基本模型，输入尺寸就可得到。对于复杂结构，则必须利用相关的基本模型作布尔操作得到。布尔操作是指几何图元进行组合计算，ANSYS的布尔操作包括物体间相加、相减、相交、划分、粘结以及重叠等六种操作。他们不仅适用于简单体素中的图元，也适用于从CAD系统传入的复杂几何模型。 比较复杂的结构可以使用AUTOCAD建模，然后通过IGES文件形式输入到ANSYS中，再进行网格的划分、加载等工作。不过由于AUTOCAD传输过来的IGES文件要进行拓扑、几何修复和几何简化，实际得到的结构并不一定尽如人意。几何建模后进行人工网格划分。网格划分主要包括以下几个步骤：