初中数学二次根式运算

1、第一讲二次根式运算业中考要求内容基本要求略高要求较高要求一次根式的 化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法 则会进行二次根式的化简，会进行 二次根式的混合运算（不要求分 母有理化）业知识点睛一、二次根式概念及化简二次根式的概念：形如& （f/>0）的式子叫做二次根式.二次根式的基本性质：&NO （ n > 0 ）双重非负性；（2）（点尸=（”?0）:=同=、"（"一八）1 1-4 （U < 0）二、分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化.互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个

2、代数式互为有理化因式. JZ+而与JZ-J3互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0.也重、难点1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是 非负数.2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式面中被开方数非负包20）,算术平方根非负（620）.3、利用（丫=。（，0）得到。=（&（420）成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方例题精讲一、二次根式的概念及性质【例1】当X 时，J一 " 有意义. Vx*-2x + 3【巩固】当、取何值时，式子 忌 在实数范围内有意义.【巩固】（第12届希望杯邀请赛）求

3、代数式«+>/77+43的最小值.【例2】若y = Jx-3 + l3-x + 2 ,求y”的值.【巩固】（人大附中初一第2学期期末考试）已知： =4疯=7 + 2VT巾+ 2,求J_ + L的平方根. a h【巩固】 方与十加工二6二+石工在实数范围成立，那么平的值是多少?【例3】（2007年成都）已知Vn-2 + S + 5尸=0 ,那么a + b的值为.【巩固】已知实数。与非零实数x满足等式:x2-3 + - x”-1-x=0 .求 J(a- 2)2 .二、二次根式估算【例4】 如右图，在数轴上A , B两点之间表示整数的点有B估计病的值（）A.在3到4之间B.在4到5之

4、间 C.在5到6之间 D.在6到7之间5-/的整数部分是【巩固】估算M + 2的值（A.在5和6之间C.在7和8之间B.在6和7之间D.在8和9之间【巩固】若整数。满足“5 =2219006624,试确定。的值.三、二次根式比较大小【例5】把根号外的因式适当变形后移入根号内：（1）-376；（，+ 3）J-a-4【巩固】把根号外的因式适当变形后移入根号内：m+3）Q万【例6】比较下列各组中两个数的大小.2次与3力（2）-2次与-L师2【巩固】（2007年河北省中考题）比较大小：7 屈.（2）（20052006学年人大附中初一第2学期期末考试）实数-"，-2应，-3的大小关系是 .（用

5、表示）【例7】（盐城中考）比较大小：“=m-vn, =«-加，贝ij”b【巩固】（第12届“希望杯”培训题）已知M=MT-VH行，N =炳-腐，则M与N的大小关系是 （ ）A. M>N B. M <NC M=N D. MWN【巩固】比较大小：小-小与-立【例8】（山东市数学竞赛）已知 C>1，X = y/c> y = & + l -, Z = J。+ 2 - & + 1 ,比较 K , y, Z 的大小.【例9】（2002年全国初中数学联合竞赛试卷）己知” = a -1, b = 2丘-瓜,c = >/6 2 9那么a, b , c的大小

6、关系是A.a<b<c B,b<a <c C.c<h<a D,c<b<a【巩固】（ 2007年“希望杯”培训试题）设从=而丽-6.8 =,比较大小：A B V2007【巩固】设/24, a = l-L, ,厂，_K,则下列各式一定成立的是r，+ w «+1r/r + >Jr + jA. a >b>c B. b>c> a C. c>a>h D. c>b> a【例io】比较大小：五+#与6+6【巩固】比较大小：/ + /与4【巩固】t匕较一戊一般与一小一式大小.mu）（第12届“希望杯”培

7、训题）设=加"="+1,。=&+点，则”小。的大小关系是（ A. a >h>c B. b>c> a C. c>a>b D. h>a>c【例12】比较下歹ij二次根式的大小:2 与6V14-V10 G【巩固】比较下列二次根式的大小:yfa +4 , . yfa +5y/a +5 4a +6【例13（第12届“希望杯”培训试题）己知6+4=<而+上<正+4=,则“也c的大小关系是（）yjbc Jac jabA. a >b>cB. a <h<cC. b>c>aD. c<a

8、 <b【补充】（江苏省第二十届初中数学竞赛第1试试卷）正实数a, ，c, 满足a+ + c + d = l, 设 p = j3a +1 + 43b + 1 + T + J3d +1 则（）.A./?>5B. = 5C.p<5 D, 'j5的大小关系不确定.四、二次根式中的配方思想【例14一知实数 x, y , z 满足 |4x-4y + l| + ；j2y + z + z? -z + ； = 0 ,求（y + z）的值.【巩固】已知实数a, b, c满足1|a-6| + &Ti7+c2-2c+l = 0,求a（b + c） 2【例15】已知正数。和，有下列命题

9、：若 a + = 2 ,则 y/ab < 1 ：若a + = 3 ,则 4ab ；（3）若 “ + = 6 ,则 ab <3.根据以上三个命题所提供的规律，猜想若“+ = 9,则疑.a+b = ，则府,并式证明上式成立.【巩固】己知非零实数* 满足等式2+上=3+三，求/+二 的值. a b 而 b a依 +2G【例16】（02年北京数学竞赛）若正数，满足1+ 4隔7-247-4石?+4 = 3, 求十一父_匚亚+2册 + 2002【补充】已知正数。，且满足八/F二/+ "二7=1,求证：/+=1【例17己知« +-1 + Jz-2 =；(x + y + z),

10、求x、y、z 的值.【巩固】设” + + c + 3 = 2(& + /ZT + GT),求代数式l+ZZ+c?的值.【巩固】如果实数“，/”满足“ =2"&且"+苧h9。，求的值.【巩固】设4,c 是实数，若“ + 1+ c = 2Ja +1 + 41b + 1+ 6yle-2 -14 ,则 2Z?c=五、双（多）重二次根式双重二次根式：形如3-6 ,二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式.多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式.双（多）重 二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法.【

11、例18】化简：（1） / + 2卡/ - 4后【例19】（2000年全国初中数学联赛题）计算J14 + 6" - J14-6君的值.【巩固】化简：76+底+6-辰.【巩固】若同表示实数。的整数部分，则,1 等于（）.1出6-66.A.l B.2C.3D.4.【例20（北京市竞赛题）计算2/+ >/5-2而+，7-26 +的-2回+ J11-2同+J13-2疯 + J15-2 回 + 小7-2配【例21】若正整数。、加、满足J/-4触=疯-而,则。、相、的值依次是【巩固】（第五届“希望杯”数学邀请赛初二试题）设M,、，y均为正整数，且“W = 则x+y + M的值是.六、无理方程

12、【例22解方程：V+8-V5a + 20=2【巩固】解方程： "工T+7T万=2«【例23】解方程符-2后=1 【巩固】无理方程2固-15、-42上-15x +1998 = -18的解是家庭作业1. 若4-2/2 + 5 = 0,求逝+ ”的值. 曲-b2. 如果 “ + Z? 2ja 1 4,b-2 = 3:c-3 5.那么 “+c 的值是（）.A.6B.9C.20D.243. （第9届“希望杯”试题）代数式& +病+血-阿=.4. （ 2006年山东省初中数学竞赛）已知。25-£ 715-x? =2.则侬-丁+川-丁的值为（ ）.5. （2007年江西省）在数轴上与表示小的点的距离最近的整数点所表示的数是.（2）（2007年河南省）已知x为整数，且满足点九6,则人=.（3）（2007淄博市）估计商 的大小应（）A.在9. 19. 2之间 B.在9. 29.3之间 C.在9. 39.4之间 D.在9. 49.5之间6. 比较闻而一画而与回位一闻旃的大小.7. 比较大小：一/一四与-2- 68.试比较小1与1的